Зачем такие мудрености?
Что такое «точка»? Точки нет в реальности. Это не абстракция существующего объекта.
Но именно на этой абстракции базируется то, что находит применение в реальности.
С комплексными так же.
Вообще, математика- это противоположность физики в данном аспекте. Физика — это перевод реальности в абстракцию. Математика — это абстракция, находящая зачастую применение в реальности.
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
M>Что мнимые числа значат?
А тебе зачем?
Задач с мнимыми числами у тебя явно нет.
А если надо — залезь в физику, там они есть в электротехнике.
Связисты без них — никуда.
Хочешь быть счастливым — будь им!
Без булдырабыз!!!
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, HrorH, Вы писали:
HH>Здравствуйте, pagid, Вы писали:
P>>Хамство до добра не доведет. HH>Вот вы только хамство услышали, а про алгебраически замкнутое поле похоже нет. HH>А ведь в алгебраической геометрии работа над алгебраически замкнутым полем очень упрощает жизнь. HH>(Если бы у меня был мозг, я бы даже вспомнил, почему упрощает.)
Да если бы только в алгебраической геометрии.... Про обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами я уже упоминал. Та же нормальная (Жорданова) форма матрицы требует алгебраически замкнутого поля. А это все вещи, которые используются (явно или неявно) практически повсеместно. Грубо говоря, очень полезно знать, что любой полином можно рассматривать как произведение линейных функций, а любой (конечномерный) линейный оператор есть сумма полупростого (диагонального) и нильпотетного. Про более изысканные примеры вроде асимптотик быстро осциллирующих интегралов я умолчу.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.
Re[5]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Вообще-то метод расчета электрических цепей, который у полуграмотных КЫВТовцев ассоциируется с понятием комплексного числа (как и вообще стандартный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) основан как раз на теореме о корнях полиномов. Тот факт, что в Вашем ПТУ этого не объясняли (или Вы это благополучно забыли, т.к. нам об этом рассказывали в средней школе) говорит только о степени Вашего невежества.
Щеки так сильно не надувай — лопнут.
Но продолжай старательно скрывать ответ на вопрос ТС рассказами о своем великолепном образвании и ничтожестве окружающих, это забавно.
Re[6]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
P>Щеки так сильно не надувай — лопнут. P>Но продолжай старательно скрывать ответ на вопрос ТС рассказами о своем великолепном образвании и ничтожестве окружающих, это забавно.
Завидуйте молча Исходный вопрос бессмысленен, и я даже не пытаюсь на него отвечать в силу очевидной безнадежности пациента (он очевидно гуманитарий, если вообще имеет хоть-какое-то образование). Спрашивать, "что описывают комплексные числа" бессмысленно. Математика тем и полезна, что ее понятия и методы могут быть применены к самому широкому кругу проблем. Об этом как раз и пишет Ю. Вигнер в статье, которую я уже упоминал в этом топике. При этом комплексные числа являются настолько базовой вещью, что встречаются практически повсеместно. Если бы ТС был хоть чуть более грамотным (даже в гуманитарном смысле) и спросил о том, какова сфера применения комплексных чисел, то список бы получился практически бесконечным. Наиболее известные перечислены например в соответствующей статье в Википедии, в которую ТС видимо не удосужился заглянуть, или не понял.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Возник такой момент.
M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
Совсем тяжелый случай. Попробуйте сузить Ваш вопрос до умножения -1 на -1.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
3>Совсем тяжелый случай. Попробуйте сузить Ваш вопрос до умножения -1 на -1.
Зря минусуете. Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению). Ну же, напрягите мозги...
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
3>Зря минусуете. Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению). Ну же, напрягите мозги...
Ну вот. А Ваш однокашник по ЦПШ pagid хочет, чтобы я вам что-то объяснял. Да еще про комплексные числа...
Re[7]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ну да, грешен — люблю иногда потроллить КЫВТовских недоучек.
Что за тролль так легко поддающийся троллингу, да еще и переходящий на хамство?
3>Это — почти единственная причина, по которой я еще посещаю эту помойку.
Ага, почувствовать себя большим знатоком математики среди кывтовских неучей не кончавших физатов и матмехов.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Попробуем так. Комплексные числа — это по сути две вещи:
M>1. сложение по правилу параллелограмма, M>2. произведение по правилу перемножения длин и сложения аргументов.
M>Тогда надо понять, а для чего нужны две эти вещи. Какие объекты или что-либо требует двух операций именно по этому принципу?
M>В чём смысл сложения векторов по правилу параллелограмма? Чем оно нужно и удобно?
M>Что значит произведение длин и сложение углов (аргументов)? Какой в этом смысл, где именно такое нужно?
В математике, в общей алгебре, есть такие штуки, как группы, кольца и поля. Может слышал.
Каждая последующая — это проапгрейженная версия предыдущей.
Все они — это некие общие абстракции, обобщающие понятие числа. Множества, к которым прилагаются операции (сложение, умножение),
и на них накладываются определённые требования (аксиомы). Эти множества могут быть любой природы, лишь бы соблюдались требования.
Требования эти похожи на свойства обычных чисел, как например: наличие нулевого, единичного элемента, противоположного, обратного, коммутативность, ассоциативность, и всё в таком духе.
Обычные действительные числа являются полем. Как и комплексные. Насколько помню, определённый подвид матриц также может считаться полем.
Ну и вот определение операций для комплексных чисел указаны так, чтобы аксиоматика поля соблюдалась.
Про кватернионы не знаю, могут ли они считаться полем, но вот вроде группой могут.
Вот ты говоришь про сложение по правилу параллелограмма и произведение. Это всё некие подручные средства. Основное — это формулы получения новых пар действ. и мнимой части на основе имеющихся чисел.
Они отвечают аксиоматике поля, и вот эти правила иллюстрируют эти сухие формулы.
Про теорему Фробениуса я знал уже лет 10 назад где-то.
Вопрос про "значение комплексных чисел" — он дурной. Математикам, чтобы что-то там исследовать и придумывать, совсем не обязательно задаваться каким-то "значением" или "нужностью" их конструкций. Им достаточно интереса пофантазировать над чем-то. Ну а то что эта фантазия с "комплексными числами" оказалась полезной — это побочный результат. Разговоры о том, что они нужны чтобы всегда решались рациональные уравнения — это фуфло. Как будто, кому-то там свербило, что уравнения не решаются, и они выдумали эти компл. чиселки. Нет конечно. А кватериноны придуманы Гамильтоном. Там в Англии, даже сохранился мост, по которому он гулял, когда ему в голову пришла их идея. Так что они не открыты, а придуманы.
Отличный пример математических отвлечённых измышлений, которым хрена с два найдёшь применение — это теоремы Чевы и Менелая в геометрии. Я вот когда их изучал, когда их требовали на экзамене, всё думал — нафига мне про них знать? Какой мне прок от них? Самое разумное, до чего я додумался — это то, что у нас в математике все рассуждения должны опираться на факты. И вот эти теоремы — полезные элементы в копилку фактов, которые могут пригодиться при случае. Это чисто математика для самой математики. И вот когда ты спрашиваешь, зачем нужно правило параллелограммов, ты просто можешь считать что это вот такой вот факт, который приведён в математической книжке. Тебя же не удивляет, что в биологическом справочнике написано про несметное количество видов животных, их особенности? Кому это всё нужно? Может кому-то и нужно, тираж у справочника большой.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
M>Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
M>Что мнимые числа значат?
В этом плане они аналогичны «несуществующим в природе» отрицательным числам: чтобы упростить запись и решения некоторых вещей в природе (например, фазу и амплитуду тока)
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
M>Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
M>Что мнимые числа значат?
Проблема с такими вопросами, как у вас, в том, что полный ответ будет предусматривать широкий исторический обзор, как какие-то вещи решались и почему именно представление через мнимые и комплексные числа оказалось лучше, чем возможные альтернативы, если они вообще были.
Любые математические понятия — это удобные абстракции. Даже обыкновенные натуральные числа: когда вы говорите, например, "три человека" или "семь яблок", вы в этот момент временно/локально игнорируете все различия между ними. Мнимые числа — такая же абстракция: вот оказалось, что они не просто адекватно расширяют вещественные, но и отлично помогают в целой пачке практических применений: от геометрии до электрофизики.
Есть рядом другие похожие абстракции, но не такие удачные. Вот, например, кватернионы: там три разных мнимых единицы. Звучит дико, но хорошо помогает в проективной/вычислительной геометрии — но вроде и только там. Были и другие, более странные — не буду называть каждую конкретно, потому что уже плохо помню даже пару из них, и боюсь соврать о том, как у них что не получилось.
Именно с комплексными числами вот википедия говорит — я бы всё равно половину этого с ходу не вспомнил, поэтому лучше процитирую: "Свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел."
Ну а "чтобы рациональные уравнения всегда решались" это скорее следствие, чем причина. Вон, предположим, есть уравнение 0*x+2=3 — оно рациональное, но никаких решений не имеет. Не было бы комплексных чисел — так и писали бы и на обычные типа x^2=-1: решений нет. Но наличие удобной абстракции позволяет говорить, что есть решение в том, что она допускает.
Если вам не нравится именно дидактический принцип обоснования их изучения — ok, об этом можно спорить. Но это будет зависеть от того, насколько даже намёк на соответствующие целевые области будет признан полезным для конкретной учебной программы.
The God is real, unless declared integer.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Что мнимые числа значат?
Смысл не в самих числах, а в исследовании взаимосвязей между величинами, например если эта взаимосвязь описывается полиномом(квадратные, кубические и прочие степенные уравнения). Пользы от них особенной не было, и многие математики считали их бесполезными на практике.
Но ими также описываются волны от колебаний шарика на нитки и струны, до переменного тока и электромагнитных.
Вместо синусов и косинусов используют степень e^ix.
Смысл в том, что взаимосвязи многих явлений в природе не описываются только рациональными числами. Плюс есть применение в гидродинамике, насколько я знаю.
Но началось исследование минимых чисел именно с математики, без приложений.
У сложных вещей обычно есть и хорошие, и плохие аспекты.
Берегите Родину, мать вашу. (ДДТ)
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали: M>Что мнимые числа значат?
Сколько бестолковых людей на форуме, ужас.
Я опишу на примере электротехники зачем нужны комплексные числа. В электрических цепях на практике всегда присутствуют активные (сопротивление) и реактивные (ёмкость и индуктивность) элементы. Активные элементы воздействуют на амплитуду сигналов, а реактивные — на сдвиг фазы сигналов. Теперь каким образом можно посчитать токи и напряжения в узлах электрической цепи? Обычно действуют путём решения дифференциальных уравнений. Их можно решить вручную через математические выкладки либо численными методами на ЭВМ через разностные уравнения. Оба способа довольно трудоёмки. Чтобы облегчить решение придумали комплексные числа (z = a + jb) — такой трюк позволяет решать не дифференциальные уравнения, а обычные линейные, применяя приёмчики для комплексных чисел. Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады. Спрашивай, если что-то я не совсем понятно объяснил.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
P>Сколько бестолковых людей на форуме, ужас.
Согласен. И ценю Вашу самокритичность.
P>Я опишу на примере электротехники зачем нужны комплексные числа. В электрических цепях на практике всегда присутствуют активные (сопротивление) и реактивные (ёмкость и индуктивность) элементы. Активные элементы воздействуют на амплитуду сигналов, а реактивные — на сдвиг фазы сигналов. Теперь каким образом можно посчитать токи и напряжения в узлах электрической цепи? Обычно действуют путём решения дифференциальных уравнений. Их можно решить вручную через математические выкладки либо численными методами на ЭВМ через разностные уравнения. Оба способа довольно трудоёмки. Чтобы облегчить решение придумали комплексные числа (z = a + jb) — такой трюк позволяет решать не дифференциальные уравнения, а обычные линейные, применяя приёмчики для комплексных чисел. Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады. Спрашивай, если что-то я не совсем понятно объяснил.
Вообще-то комплексные числа вошли в оборот в 16 веке, ибо неизбежно возникают при применении формулы Кардано для нахождения корней уравнения 3-й степени, причем как раз в ситуации, когда все три корня вещественные. До расчетов электрических цепей было еще очень далеко. И вообще, ситуации, когда математические понятия возникали из практических нужд реально очень редки. Советую в связи с этим ознакомиться с известной статье Ю. Вигнера "Непостижимая эффективность математики в естественных науках"
Просто поразительно, что куча народу вспомнила про электротехнику, но ни один не упомянул тот фундаментальный факт, что именно над полем комплексных чисел любое (полиномиальное, от одной переменной) уравнение имеет столько корней (с учетом их кратности), какова его степень.. И исторически эти был первый пример т.н. алгебраически замкнутого поля. Где вы все учились?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Просто поразительно, что куча народу вспомнила про электротехнику, но ни один не упомянул тот фундаментальный факт, что именно над полем комплексных чисел любое (полиномиальное, от одной переменной) уравнение имеет столько корней (с учетом их кратности), какова его степень.. И исторически эти был первый пример т.н. алгебраически замкнутого поля.
ТС спросил зачем нужны мнимые числа. Pitirimov дал ответ, неполный, но понятный. Ты же рассказал об истории и причинах появления понятия. Хорошо рассказал, но все равно возможность иметь столько корней уравнения какова его степень это не ответ на вопрос зачем.
3>Где вы все учились?
Ты уверен, что в курсе высшей математики всех технических ВУЗов на всех технических специальностях теория числовых полей изучается или изучалась, или это просто еще один способ рассказать в каком хорошем, в отношении высшей математики ВУЗе ты учился.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
Re[5]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ну вот. А Ваш однокашник по ЦПШ pagid хочет,
Классно твое высокомерие и хамство позволяет и раскручивает на дальнейшую демонстрацию этих черт.
3>Да еще про комплексные числа...
Ну да, еще тот бином Ньютона, а уж если дело дойдет до святого святых — числовых полей...
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению).
Ну наконец-то, выдавил.
3>Ну же, напрягите мозги...
Ну если поднапрячь, то будет следующий шаг — именно в таком виде и с этими правилами опрараций они полезны, но думаю ты этот шаг не захочешь сделать, прячась за теорией числовых полей, которая тебе все объясняет.
Re[7]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, pagid, Вы писали:
P>Хамство до добра не доведет.
Вот вы только хамство услышали, а про алгебраически замкнутое поле похоже нет.
А ведь в алгебраической геометрии работа над алгебраически замкнутым полем очень упрощает жизнь.
(Если бы у меня был мозг, я бы даже вспомнил, почему упрощает.)
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали: M>Поставил +1, но не потому, что получил ответ какой хотел, а потому, что интересно.
Добавлю лишь, что может возникнуть вопрос, а почему, к примеру, токи и напряжения в узлах электрических цепей нельзя описать линейными уравнениями? Так было бы гораздо проще эти уравнения решать. Дело в том, что сопротивления линейны, а вот ёмкости и индуктивности — нелинейны по своей природе. Что это значит? Токи и напряжения на катушках и конденсаторах возрастают и уменьшаются нелинейно (сначала быстро, а затем медленно или наоборот) с течением времени, так они устроены изнутри. Поэтому токи и напряжения в узлах любой электрической цепи приходится описывать системами дифференциальных (нелинейных) уравнений. Иногда проще прикинуть в уме и получить решение сразу, а не решать каждый раз дифференциальные уравнения на ЭВМ. А решать нелинейные системы уравнений для первого приближения в уме довольно трудоёмко. Поэтому ввели комплексные числа (z = a + jb), где jb — реактивная (мнимая) часть комплексного (полного) числа z, а а — действительная (линейная) часть этого же полного комплексного числа z.
Почему нельзя выбросить мнимую составляющую числа jb и использовать только действующую составляющую а? Амплитуды токов и напряжений зависят лишь от действительных токов и напряжений. Дело в том, что фаза (временной сдвиг) токов и напряжений тоже имеет значение. Где? Например, если подключить два громкоговорителя вместо одного для усиления громкости звучания, то выходные сигналы звукового усилителя необходимо подогнать по фазе, чтобы динамики громкоговорителей не звучали вразнобой.
Как ёмкость и индуктивность сдвигают фазы токов? Например, если воткнуть конденсатор в электрическую розетку, то возникнет вспышка от резкого броска тока, хотя напряжение на конденсаторе в это время мало. Это означает, что ток опережает напряжение на конденсаторе. Катушка сопротивляется быстрому нарастанию тока, поэтому у неё напряжение опережает ток. Если подобрать величины ёмкости и индуктивности, соединённых последовательно, для определённой частоты входного сигнала, то общее комплексное сопротивление может получиться почти нулевым из-за того, что активное (действительное) сопротивление катушки и ёмкости малы, а реактивные (мнимые) сопротивления самоуничтожились за счёт своих обратных друг к другу фаз. Это свойство используют в фильтрах сигналов, например, в звуковой карте, когда выдают на выход лишь слышимые ухом звуки, а остальное давят в ноль.
Про умножение отрицательных чисел лучше расскажут другие форумчане. Спрашивай, если я что-то не совсем понятно написал.
Здравствуйте, deimos, Вы писали:
D> Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады.
D>А обычные числа разве существуют. не выдуманы ли они искусственно?
В квантовой механике есть точные значения типа 1/2 (спин), 2/3 (заряд u-кварка) и т.п.
The God is real, unless declared integer.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Возник такой момент.
M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
Ну вообще, такой вопрос довольно туманный. Многое зависит от того, на что ты изначально опираешься в рассуждениях.
я тут немножко перепечатаю учебник...
Вот есть группы, у них есть множество элементов и групповая операция. Для неё, как известно есть аксиомы:
1. ассоциативности операции: (a * b) * c = a * (b * c)
2. наличие нейтрального элемента e, для которого a * e = e * a = a
3. для каждого элемента a группы есть противоположный a', с которым операция даёт нейтральный элемент: a * a' = e
если операция коммутативна, группа называется коммутативной
если операция обозначается как +, группа называется аддитивной, если она обозначается умножением *, группа мультипликативная
т.е. отсюда получается, что для нейтрального элемента e есть ему противоположный (возможно, он сам, если группа вырождена до самого e)
теперь берём действительные числа. они являются полем (а значит и кольцом). у них есть 2 операции: + и *
операция + образует группу, где нейтральный элемент 0
также, они являются коммутативным кольцом с единицей, что значит что умножение коммутативно и обладает нейтральным элементом, сиречь действительной единицей
к единице прилагается прилагается ему противоположная -1, т.к. у нас же группа по сложению
у всех колец есть аксиома, что сложение дистрибутивно относительно умножения.
(a + b)*c = a*c + b*c ; c*(a + b) = c*a + c*b
и вот если брать уже просто кольцо с единицей, то пусть есть любой его элемент a, и ему противоположный -a
для них выполняется
0 = x*a — x*a = (x — x)*a = 0*a где x — любой какой-то элемент кольца
т.е. здесь показано, что умножение на нулевой элемент кольца всегда даёт нулевой элемент
a + (-1)*a = 0
-a + a + (-1)*a = -a + 0
0 + (-1)*a = -a + 0
(-1)*a = -a
а здесь показано, что умножение любого элемента кольца на противоположный единице элемент даёт противоположный ему элемент.
т.е. если у нас действительные числа, то умножение числа на -1 должно поменять его знак на противоположный
В частности, это значит, что умножая -1 на саму себя, эта -1 должна стать снова единицей.
(-1)*(-1) = -(-1) = 1
а если мы говорим о произвольном отрицательном действительном числе... пусть это x.
тогда x = -1 * |x| = -|x|, где |x| — модуль x, положительное число
как видно, все такие числа представимы в виде произведения отрицательной единицы на положительное число
таким образом, если у нас есть ещё некое любое действительное число y, то произведение x * y = -1 * |x| * y = -1 * (|x| * y) = -(|x| * y)
|x| не меняет знак y, а вот -1 заставляет брать противоположное к произведению |x| * y
вот и ответ на твой вопрос, Marzec19.
в общем, это всё рассуждения, показывающие что наличие определённых фактов (аксиом кольца) влечёт за собой другие факты.
одно тянет за собой другое. только вот если брать твой главный вопрос: "почему умножение положительного числа на отрицательное должно давать отрицательное?", какие предпосылки мы будем принимать за исходные?
аксиомы кольца/поля? а с чего бы вдруг? ты тут можешь ещё спросить, с чего вдруг должна быть дистрибутивность сложения относительно умножения?
как по мне, здесь всё очень попахивает философией. в неё оч. легко удариться в конечном счёте.
вот ещё пример с вычитанием. в большой науке вычитание в группе определяется через сложение элемента, противоположного к данному.
но вот в начальной школе не то что про группы, даже про отрицательные числа никто не говорит. там идёт речь про натуральные числа и ноль, и результат вычитания не всегда определён.
какой подход самый правильный? если мы зададимся необходимостью всегда иметь результат вычитания, это одно. если на это пофиг, то другое.
аналогично деление. есть деление нацело, деление с остатком, и рациональные дроби наконец.
Есть определение мнимого числа.
Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
Что мнимые числа значат?
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
M>Спасибо, что хоть поняли вопрос. M>Для чего — необычная модель и теория, поэтому интересно, что это может значить. У меня время от времени такое: если встречаю крайне необычное и непонятное обозначение (в широком смысле), то становится интересно, а для чего это, как это устроено, и т.д.
Мнимые числа уже настолько обычная теория, что никто уже не интересуется, откуда и зачем они появились.
В любом техническом вузе их изучают в первом семестре. А некоторые и в школе.
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
Хочешь быть счастливым — будь им!
Без булдырабыз!!!
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Вещественное число — координата точки, лежащей на бесконечной в обе стороны числовой прямой.
Мнимое число — координата точки, лежащей на другой, перпендикулярной числовой прямой.
Комплексное число — координата точки на числовой плоскости, в которой те две прямые лежат.
Размерности можно добавлять до бесконечности. Если какие-то задачи удобнее решать, считая числа точками не на прямой, а на плоскости или в пространстве произвольной размерности, то почему бы и нет — всё равно никаких чисел не существует, это абстракция.
Мнимое число ничем не отличается от вещественного. Это точно такое же число, но на другой числовой прямой. Пара из таких чисел даёт комплексное число или двумерный вектор. Если надо, можно работать и с трёхмерными векторами, и четырёхмерными, и до бесконечности.
Иногда удобнее работать сразу с несколькими числами одновременно, чем с каждым по-отдельности. «Вектор» — это просто такая пара или тройка или больше чисел и сам по себе смысла не имеет, как не имеет смысла само по себе число 5. Скаляры и вектора наделяются смыслом при решении конкретной задачи. Например, двумерный вектор может описывать фазу и амплитуду, может положение точки на плоскости, может смещение от одной точки до другой, может описывать направление. Ты сам наделяешь числа/вектора значением.
комплексные числа , также как и вектора， матрицы， тригонометрические функции, логарифмы и пр — синтаксический сахар，
который упрощает решение ряда задач.
Т.е. в процессе решения некоторых задач стал виден определенный повторяющийся паттерн,
который если ввести такое понятие как корень из -1 и комплексное число,
то вместо длиннющего выражения будет просто c = а * b, так же как с матрицами.
Комплексные числа насколько мне известно появились именно из прикладных задач, например авиация，эдектродинамика.
”Жить стало лучше... но противнее. Люди которые ставят точку после слова лучше становятся сторонниками Путина, наши же сторонники делают акцент на слове противнее ( ложь, воровство, лицемерие, вражда )." (с) Борис Немцов
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Эйнсток Файр, Вы писали:
N>> Были и другие, более странные — не буду называть каждую конкретно, потому что уже плохо помню даже пару из них, и боюсь соврать о том, как у них что не получилось.
ЭФ>Гы-гы, вообще-то не бывает других, и по этому поводу есть Теорема Фробениуса
Октонионы же. Просто у них еще меньше числоподобных свойств, но все же.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
Чаще всего они описывают колебания. Либо позволяют заменяют одной переменной сразу две переменные в уравнениях, что очень упрощает вычисления.
Еще можно делать всякие занятные пространственные преобразования, если любопытно смотрите ТФКП
M>Что мнимые числа значат?
Тоже что и обычные числа — это просто абстракция которая помогает описывать окружающие нас явления.
Re[6]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
3>>Ну же, напрягите мозги... P>Ну если поднапрячь, то будет следующий шаг — именно в таком виде и с этими правилами опрараций они полезны, но думаю ты этот шаг не захочешь сделать, прячась за теорией числовых полей, которая тебе все объясняет.
Какой же Вы смешной однако в своем воинствующем невежестве Впрочем, Вы мне уже надоели, да и работы невпроворот, так что откланиваюсь. А Вы, если сможете, можете разжевать для ТС, почему из требования ассоциативности и дистрибутивности умножения целых чисел следует, что (-1)*(-1) = 1. Сам он явно не в состоянии этого понять. Помогите младшему собрату по несчастью
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
Алгебру я не оч. знаю, но вот так наверное можно доказать, что -1*-1=1.
1) Определение -1
-1 + 1 == 0
2) Прибавим слева -1*-1
-1*-1 -1 +1 == -1*-1
3) Определение 1 (т.е. a*1=a)
-1*-1 + -1*1 + 1 == -1*-1
3)Транзитивность первых двух слагаемых
-1*(-1 + 1) + 1 == -1*-1
4) Определение -1
-1*0 + 1 = -1*-1
5) из a*0=0:
1 = -1*-1, доказано вроде как
У сложных вещей обычно есть и хорошие, и плохие аспекты.
Берегите Родину, мать вашу. (ДДТ)
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, marcopolo, Вы писали:
M>Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.
Комплексный обед состоит их нескольких блюд. Комплексное число состоит из двух компонент.
Обед ко́мплесный, и число тоже ко́мплексное. Ни разу не копле́ксное.
Обед у математиков тоже комле́ксный?
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали: M>Что мнимые числа значат?
судя по истории математики ооочень долго мурыжились вокруг да около квадратного корня от отрицательного числа,
потому что не могли например вычислить объем пирамиды и какие другие простые уравнения,
которые должны иметь решение, потом придумали некую воображаемую величину (imaginary) квадрат которой равен -1,
и решить эти простые уравнения, а раз это работает и решения вполне реальные,
то они попытались их как-то "легализовать" в виде визуализации на отдельной оси, а потом просто все привыкли
Значение мнимых чисел с точки зрения физики — они описывают физические процессы, которые наш примитивный мозг и органы чувств не может воспринимать. Например, из возможности колебаний в комплексной плоскости следует наличие свойств, которые мы называем зарядом. То есть притягивание и отталкивание электронов происходит потому, что они описываются чем-то, что колеблется в комплексной плоскости.
С точки зрения математики — комплексные числа это самые "сложные" числа, которые можно построить. То есть это такие объекты, которые описываются парой вещественных чисел и которые можно, без ограничений, коммутативно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме нуля). Вектора можно складывать, но умножать и делить вектора на вектора нельзя в общем случае. С матрицами, многочленами, распределениями случайных величин и всеми остальными мат. объектами похожая ситуация. Мнимая единица, определена так, как определена, для того, чтобы получившаяся конструкция (x + y*i) была числом и поддерживала коммутативное сложение, вычитание, умножение и деление. То, что комплексные числа это самые "сложные" числа устанавливает теорема Фробениуса. Заменить мнимую единицу на что-то еще можно, но результат будет вкладываться в множество комплексных чисел.
Можно сказать, что мнимых чисел как бы нет, потому что не бывает объектов длиной (1 + i) или потому что аналогичный "физический" аргумент. Но тогда нет и вещественных чисел, потому что во всей вселенной не найдется объекта, с длинной Pi метров. Что-то близкое будет, возможно очень близкое, но точного совпадения не будет с вероятностью 100%, на этот счет тоже есть теорема
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, LaptevVV, Вы писали:
M>>Что мнимые числа значат? LVV>А тебе зачем? LVV>Задач с мнимыми числами у тебя явно нет.
Спасибо, что хоть поняли вопрос.
Для чего — необычная модель и теория, поэтому интересно, что это может значить. У меня время от времени такое: если встречаю крайне необычное и непонятное обозначение (в широком смысле), то становится интересно, а для чего это, как это устроено, и т.д.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
М>В этом плане они аналогичны «несуществующим в природе» отрицательным числам: чтобы упростить запись и решения некоторых вещей в природе (например, фазу и амплитуду тока)
Благодарю за попытку, но всё равно непонятно.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
Это как шаблоны в плюсах. Мнимые (комплексные) ввели для того, чтобы уравнения решались. Вроде здравая цель. А потом на это дело нахерачили еще представление амплитуда + фаза для физики (дико удобно), возможность решать специфические дифуры на поверхности путем ее перевода в шар, способы считать интегралы по контурам и.т.д. Для последних двух комплексные числа нахер не нужны, но истрически резульататы были получены с их применением. Любой самый идиотский инструмент будет использован через жопу, что может сделать его менее идиотским
<Подпись удалена модератором>
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Homunculus, Вы писали:
H>Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
H>Зачем такие мудрености? H>Что такое «точка»? Точки нет в реальности. Это не абстракция существующего объекта.
Почему не существует? В понятийном смысле она есть, а то что математика сводит точку к своему предельному значению не меняет самого понятия.
H>С комплексными так же.
Неа.
H>Вообще, математика- это противоположность физики в данном аспекте. Физика — это перевод реальности в абстракцию. Математика — это абстракция, находящая зачастую применение в реальности.
Математика безусловно абстракция, но меня тоже всегда интересовали физические значения некоторых математических терминов и операций — комплексные числа, или, например, определитель — с помощью него решают задачи, но нагуглить как его вывели сходу не получилось. Или, например, число e — можно пользоваться им как константой, а можно точно знать как его получили и что оно означает.
ARI ARI ARI... Arrivederci!
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
N> Были и другие, более странные — не буду называть каждую конкретно, потому что уже плохо помню даже пару из них, и боюсь соврать о том, как у них что не получилось.
Гы-гы, вообще-то не бывает других, и по этому поводу есть Теорема Фробениуса
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Эйнсток Файр, Вы писали:
N>> Были и другие, более странные — не буду называть каждую конкретно, потому что уже плохо помню даже пару из них, и боюсь соврать о том, как у них что не получилось.
ЭФ>Гы-гы, вообще-то не бывает других, и по этому поводу есть Теорема Фробениуса
"Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R." Кто сказал, что только к конечномерным? Но я учту, спасибо (никогда не требовалось, но вдруг...)
The God is real, unless declared integer.
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
M>Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
M>Что мнимые числа значат?
Тут полезно обратится к истории. Вообще изначально числа были придуманы для ведения счета, но как только числа стали воспринимать как чистую абстракцию и продолжать использовать ту аксиоматику которая была придумана для ведения простого счета, то стали появляться разные "чудища": иррациональные числа, комплексные числа, бесконечно малые и т.д. Т.е те числа, которые в простом счете не встречаются. Вообще это свойство формальных систем, если мы придумываем формальную систему для какой-то сугубо практической цели, то у нас неизбежно появляются "побочные продукты" этой теории, которые в практике не встречаются. Вот так и с числами. Хотя нужно признать, что эти "чудища" все таки нашли свое практическое применение уже после их открытия.
Программа – это мысли спрессованные в код
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, kgd, Вы писали:
kgd>Ты прогулял в вузе электротехнику?
Тю, зачем программистам электротехника если чё
А я честно изучал, лекции правда пропускал, но оба экзамена сдал с первого раза, в отличие от большинства однокурсников. Но формулы не помню, практически ни одной, кроме закона Ома, но это еще со школы. Вот такие дела
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>Тут полезно обратится к истории. Вообще изначально числа были придуманы для ведения счета, но как только числа стали воспринимать как чистую абстракцию и продолжать использовать ту аксиоматику которая была придумана для ведения простого счета, то стали появляться разные "чудища": иррациональные числа, комплексные числа, бесконечно малые и т.д. Т.е те числа, которые в простом счете не встречаются.
Насчет не встречаются. С иррациональными числами впервые столкнулись еще пифагорейцы (по крайней мере по легенде), когда обнаружили, что диагональ квадрата принципиально не может быть выражена через пропорции его сторон.
Причем надо заметить, что это для нас в данном факте нет ничего такого особенного. Не может диагональ быть выражена через отношение a/b целых чисел, ну и ладно. Но у древних греков просто-напросто не было другого способа записи чисел! То есть они даже не могли выразить это число, оно как бы не существовало.
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>1. сложение по правилу параллелограмма, M>2. произведение по правилу перемножения длин и сложения аргументов.
M>Тогда надо понять, а для чего нужны две эти вещи. Какие объекты или что-либо требует двух операций именно по этому принципу?
Например, физические явления в нашем мире требуют такого принципа.
Но кстати, не обязательно, в математике известны и другие способы. Тот что мы применяем определен в евклидовом пространстве, существуют и другие способы и пространства.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Что мнимые числа значат?
Тоже самое, что 'x' в уравнениях. Таскается везде как чёрный ящик (корень из минус единицы нерешаем сам по себе), при удобном случае сокращается на такой же или заменяется на всякие зависимости из синуса/косинуса с другими неизвестными, только в другом месте.
[In theory there is no difference between theory and practice. In
practice there is.]
[Даю очевидные ответы на риторические вопросы]
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Michael7, Вы писали:
M>Причем надо заметить, что это для нас в данном факте нет ничего такого особенного. Не может диагональ быть выражена через отношение a/b целых чисел, ну и ладно. Но у древних греков просто-напросто не было другого способа записи чисел! То есть они даже не могли выразить это число, оно как бы не существовало.
Число pi они же как-то записывали с нужной погрешностью.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
M>Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
M>Что мнимые числа значат?
Здравствуйте, Michael7, Вы писали:
M>Здравствуйте, Qulac, Вы писали:
Q>>Тут полезно обратится к истории. Вообще изначально числа были придуманы для ведения счета, но как только числа стали воспринимать как чистую абстракцию и продолжать использовать ту аксиоматику которая была придумана для ведения простого счета, то стали появляться разные "чудища": иррациональные числа, комплексные числа, бесконечно малые и т.д. Т.е те числа, которые в простом счете не встречаются.
M>Насчет не встречаются. С иррациональными числами впервые столкнулись еще пифагорейцы (по крайней мере по легенде), когда обнаружили, что диагональ квадрата принципиально не может быть выражена через пропорции его сторон.
M>Причем надо заметить, что это для нас в данном факте нет ничего такого особенного. Не может диагональ быть выражена через отношение a/b целых чисел, ну и ладно. Но у древних греков просто-напросто не было другого способа записи чисел! То есть они даже не могли выразить это число, оно как бы не существовало.
Еще по легенде, они того кто открыл иррациональные числа утопили, за то, что он поломал им всю "гармонию" чисел.
Программа – это мысли спрессованные в код
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, kgd, Вы писали:
kgd>Здравствуйте, Michael7, Вы писали:
M>>Причем надо заметить, что это для нас в данном факте нет ничего такого особенного. Не может диагональ быть выражена через отношение a/b целых чисел, ну и ладно. Но у древних греков просто-напросто не было другого способа записи чисел! То есть они даже не могли выразить это число, оно как бы не существовало.
kgd>Число pi они же как-то записывали с нужной погрешностью.
Ну да, много позднее правда, но известно "число Архимеда" 22/7. Но смысл с в том, что число Pi измеряли как-то приблизительно и могли думать, что просто не нашли подходящей дроби. А вот с диагональю доказали, что она невыражаема через дробь. В чем-то это было тоже самое, что и мнимые числа сейчас. (Строгое доказательство иррациональности и трансцендетности Pi появилось уже в 19-м веке только).
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Эйнсток Файр, Вы писали:
DM>> Октонионы же. Просто у них еще меньше числоподобных свойств, но все же. ЭФ>Вот про квартернионы: ЭФ>https://fpmi.bsu.by/main.aspx?guid=28141 ЭФ>Теперь твоя очередь. Зачем тебе Октонионы ?
> Понятно, что описывают действительные числа — количества
Судя по тому, что вы несете в этой ветке, боюсь, что вам только кажется, что вы понимаете что такое действительные числа и зачем они нужны.
Между прочим, строгое определение действительных чисел гораздо сложнее, чем определение мнимых.
Кроме того, вопрос "Что мнимые числа значат?" вряд ли имеет ответ, который вас устроит.
Попробуйте ответить на аналогичные вопросы вида
"Что натуральные числа значат?"
"Что целые числа значат?"
"Что рациональные числа значат?"
"Что действительные числа значат?"
"Что p-адические числа значат?"
"Что значат числа по модулю некоторого числа?"
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, baily, Вы писали:
>> Понятно, что описывают действительные числа — количества
B>Судя по тому, что вы несете в этой ветке, боюсь, что вам только кажется, что вы понимаете что такое действительные числа и зачем они нужны. B>Между прочим, строгое определение действительных чисел гораздо сложнее, чем определение мнимых.
B>Кроме того, вопрос "Что мнимые числа значат?" вряд ли имеет ответ, который вас устроит. B>Попробуйте ответить на аналогичные вопросы вида B>"Что натуральные числа значат?" B>"Что целые числа значат?" B>"Что рациональные числа значат?" B>"Что действительные числа значат?" B>"Что p-адические числа значат?" B>"Что значат числа по модулю некоторого числа?"
Вы не ответили на вопрос.
Во-вторых, объявите отдельную тему и напишите туда ответы на эти вопросы. Интересно почитать будет.
Мне интересен ответ на вопрос, который я спросил.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
M>Вы не ответили на вопрос. M>Во-вторых, объявите отдельную тему и напишите туда ответы на эти вопросы. Интересно почитать будет. M>Мне интересен ответ на вопрос, который я спросил.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, marcopolo, Вы писали:
M>Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.
В него обязательно входит салат Фибоначчи — из остатков вчерашнего и позавчерашнего салата.
Если повезёт, то в нём будет салат "Рекурсивный": огурцы, помидоры, салат.
The God is real, unless declared integer.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Pitirimov, Вы писали:
P>Здравствуйте, Marzec19, Вы писали: M>>Что мнимые числа значат? P>Сколько бестолковых людей на форуме, ужас. P>Я опишу на примере электротехники зачем нужны комплексные числа. В электрических цепях на практике всегда присутствуют активные (сопротивление) и реактивные (ёмкость и индуктивность) элементы. Активные элементы воздействуют на амплитуду сигналов, а реактивные — на сдвиг фазы сигналов. Теперь каким образом можно посчитать токи и напряжения в узлах электрической цепи? Обычно действуют путём решения дифференциальных уравнений. Их можно решить вручную через математические выкладки либо численными методами на ЭВМ через разностные уравнения. Оба способа довольно трудоёмки. Чтобы облегчить решение придумали комплексные числа (z = a + jb) — такой трюк позволяет решать не дифференциальные уравнения, а обычные линейные, применяя приёмчики для комплексных чисел. Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады. Спрашивай, если что-то я не совсем понятно объяснил.
Поставил +1, но не потому, что получил ответ какой хотел, а потому, что интересно.
Физики у меня в вузе не было.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Поставил +1, но не потому, что получил ответ какой хотел, а потому, что интересно.
Похоже с ответом тебе угадать не сможет никто.
M>Физики у меня в вузе не было.
В технических ВУЗах рассказанное обычно изучается в курсе теории электротехники. Но при большом желании её можно считать разделом физики, хотя в ВУЗовской классификации это может быть не так.
Математики у тебя в ВУЗе тоже не было? Если не секрет, это ВУЗ какой направленности? И не стоит принимать близко к сердцу вопрос, ITшниками, в том числе программистами, случается вполне успешными и профессионально умелыми работают иногда и совсем без высшего образования.
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
P>ТС спросил зачем нужны мнимые числа. Pitirimov дал ответ, неполный, но понятный. Ты же рассказал об истории и причинах появления понятия. Хорошо рассказал, но все равно возможность иметь столько корней уравнения какова его степень это не ответ на вопрос зачем.
Вообще-то метод расчета электрических цепей, который у полуграмотных КЫВТовцев ассоциируется с понятием комплексного числа (как и вообще стандартный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) основан как раз на теореме о корнях полиномов. Тот факт, что в Вашем ПТУ этого не объясняли (или Вы это благополучно забыли, т.к. нам об этом рассказывали в средней школе) говорит только о степени Вашего невежества.
Re[6]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Какой же Вы смешной однако в своем воинствующем невежестве
Хамство до добра не доведет.
3>Впрочем, Вы мне уже надоели, да и работы невпроворот, так что откланиваюсь. А Вы, если сможете, можете разжевать для ТС, почему из требования ассоциативности и дистрибутивности умножения целых чисел следует, что (-1)*(-1) = 1.
Зачем? ТС пусть сам разбирается, если ему интересно. А для меня математика не кладезь сакральных знаний и не объект поклонения, а всего лишь инструмент.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Возник такой момент.
M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
S> или, например, определитель — с помощью него решают задачи, но нагуглить как его вывели сходу не получилось.
Определитель матрицы nxn — объем параллепепида из n векторов размерности n.
Вывести как минимум можно геометрически.
Вот тензоры запутаннее точно, чем определитель) S>Или, например, число e — можно пользоваться им как константой, а можно точно знать как его получили и что оно означает.
Опять прямо из вики: Число e может быть определено несколькими способами. .... Как единственное положительное число a {\displaystyle a} a, для которого верно
У сложных вещей обычно есть и хорошие, и плохие аспекты.
Берегите Родину, мать вашу. (ДДТ)
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
S>> или, например, определитель — с помощью него решают задачи, но нагуглить как его вывели сходу не получилось. lpd>Определитель матрицы nxn — объем параллепепида из n векторов размерности n.
Это все же не есть определение детерминанта. Хотя бы потому, что объем предполагает наличие меры (а, для сформулированного Вами факта, и евклидовой метрики), а детерминант имеет смысл для конечномерных линейных операторов над любым полем (например конечным).
Re[5]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, lpd, Вы писали:
S>>> или, например, определитель — с помощью него решают задачи, но нагуглить как его вывели сходу не получилось. lpd>>Определитель матрицы nxn — объем параллепепида из n векторов размерности n. 3>Это все же не есть определение детерминанта. Хотя бы потому, что объем предполагает наличие меры (а, для сформулированного Вами факта, и евклидовой метрики), а детерминант имеет смысл для конечномерных линейных операторов над любым полем (например конечным).
А, кроме того, объем всегда положителен, а определитель может иметь любой знак. Так что это "определение" просто неверно.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, HrorH, Вы писали:
HH>>Здравствуйте, pagid, Вы писали:
P>>>Хамство до добра не доведет. HH>>Вот вы только хамство услышали, а про алгебраически замкнутое поле похоже нет. HH>>А ведь в алгебраической геометрии работа над алгебраически замкнутым полем очень упрощает жизнь. HH>>(Если бы у меня был мозг, я бы даже вспомнил, почему упрощает.)
3>Да если бы только в алгебраической геометрии.... Про обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами я уже упоминал. Та же нормальная (Жорданова) форма матрицы требует алгебраически замкнутого поля. А это все вещи, которые используются (явно или неявно) практически повсеместно. Грубо говоря, очень полезно знать, что любой полином можно рассматривать как произведение линейных функций, а любой (конечномерный) линейный оператор есть сумма полупростого (диагонального) и нильпотетного. Про более изысканные примеры вроде асимптотик быстро осциллирующих интегралов я умолчу.
А есть ещё классификация простых алгебр Ли, где не только комплексные числа, но и кватернионы с алгеброй октав выскакивают.
Ш>А, кроме того, объем всегда положителен, а определитель может иметь любой знак. Так что это "определение" просто неверно.
Ну да. Просто у меня, как алгебраиста, детерминант ассоциируется с реальным объемом в последнюю очередь Хотя наверное можно дать определение "ориентированного объема", когда он может иметь любой знак.
Re[7]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
Ш>>А, кроме того, объем всегда положителен, а определитель может иметь любой знак. Так что это "определение" просто неверно.
3>Ну да. Просто у меня, как алгебраиста, детерминант ассоциируется с реальным объемом в последнюю очередь Хотя наверное можно дать определение "ориентированного объема", когда он может иметь любой знак.
Ну да. Осталось определить, что такое ориентация. А это делается, сюрприз, через знак определителя.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
Ш>>А есть ещё классификация простых алгебр Ли, где не только комплексные числа, но и кватернионы с алгеброй октав выскакивают.
3>Строго говоря, классификация имеет место и без них. Про квартернионы я не уверен (в силу их ассоциативности), а октавы просто доставляют примеры.
Нет, извините, не имеет. Классификация основана на изучении систем корней простых алгебр Ли над полем комплексных чисел.
Октавы нужны для построения некоторых исключительных алгебр.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Ну да. Осталось определить, что такое ориентация. А это делается, сюрприз, через знак определителя.
Необязательно. GL(n) имеет две связные компоненты. Так что ориентация одинаковая, если матрица перехода принадлежит к связной компоненте единичного оператора. Все это, разумеется, эквивалентно. Хотя в предложенном варианте формально определитель не присутствует.
Re[12]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Ш>Нет, извините, не имеет. Классификация основана на изучении систем корней простых алгебр Ли над полем комплексных чисел. Ш>Октавы нужны для построения некоторых исключительных алгебр.
Именно. Для построения. Само доказательство, насколько я помню, октав не использует. Система корней вполне определяет структуру алгебры Ли. То, что ее можно реализовать через октавы — это приятный бонус. А сама теорема верна для любого алнгебраически замкнутого поля характеритики 0. Причем алгебраическая замкнутость обеспечивает расщепляемость рассматриваемых алгебр Ли, которую без это следовало бы требовать.
Re[9]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Ну да. Осталось определить, что такое ориентация. А это делается, сюрприз, через знак определителя.
3>Необязательно. GL(n) имеет две связные компоненты. Так что ориентация одинаковая, если матрица перехода принадлежит к связной компоненте единичного оператора. Все это, разумеется, эквивалентно. Хотя в предложенном варианте формально определитель не присутствует.
Угу. Осталось доказать, что GL(n) имеет две связные компоненты. Самый простой и естественный способ -- через определитель.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
Ш>>Нет, извините, не имеет. Классификация основана на изучении систем корней простых алгебр Ли над полем комплексных чисел. Ш>>Октавы нужны для построения некоторых исключительных алгебр.
3>Именно. Для построения. Само доказательство, насколько я помню, октав не использует. Система корней вполне определяет структуру алгебры Ли. То, что ее можно реализовать через октавы — это приятный бонус. А сама теорема верна для любого алнгебраически замкнутого поля характеритики 0. Причем алгебраическая замкнутость обеспечивает расщепляемость рассматриваемых алгебр Ли, которую без это следовало бы требовать.
Есть два пути доказательства теоремы существования алгебры Ли с заданной системой корней.
Первый -- прямой. Но он довольно сложный и техничный.
Второй -- получить сначала полную классификацию систем корней (которую всё равно нужно делать), а потом предъявить для каждой системы корней соответствующую алгебру Ли.
Этот путь оказывается более простым и наглядным. Тем более, что для почти всех систем корней получаются классические алгебры Ли. Остаётся несколько особых.
Поэтому при изложении теории алгебр Ли ему часто отдают предпочтение.
Ш>Есть два пути доказательства теоремы существования алгебры Ли с заданной системой корней. Ш>Первый -- прямой. Но он довольно сложный и техничный. Ш>Второй -- получить сначала полную классификацию систем корней (которую всё равно нужно делать), а потом предъявить для каждой системы корней соответствующую алгебру Ли. Ш>Этот путь оказывается более простым и наглядным. Тем более, что для почти всех систем корней получаются классические алгебры Ли. Остаётся несколько особых. Ш>Поэтому при изложении теории алгебр Ли ему часто отдают предпочтение.
Все правильно. Я просто говорил, что октавы появляются только на этапе построение алгебр Ли для система корней G(2), а не в процессе основного доказательства. И то, октавы просто делают это построение "более наглядным" что ли. Саму алгебру Ли можно предъявить и не апеллируя к октавам.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Есть определение мнимого числа. M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.
M>Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.
M>Что мнимые числа значат?
Исторически мнимые числа возникли из поиска формулы для решения кубических уравнений — формулы Кардано. Формула была найдена и работала, но в ряде случаев возникали отрицательные числа под корнями. Если на это закрыть глаза и применять стандатные математические операции, как будто корней с минусами нет, то корни эти сокращались, а решение приводило к нормальному корню в действительных числах.
"По мне, уж лучше пей, да дело разумей"
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Эйнсток Файр, Вы писали: ЭФ>Как человека без высшего образования они пугают меня.
как же так? ведь они используются в 3D-графике да и в уравнениях деформации от ударов, переноса тепла и проч., так что в физической виртуальности востребованы!
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, deimos, Вы писали:
N>>В квантовой механике есть точные значения типа 1/2 (спин), 2/3 (заряд u-кварка) и т.п.
D>А существует ли квантовая механика, не выдумана ли она искусственно?
Ну пока она верно описывает, что мы видим — да, существует.
The God is real, unless declared integer.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Что мнимые числа значат?
Численную меру двумерных сущностей.
Вот просто вероятность (интенсивность) потока вполне выражается вещественным числом. Но так это работает для потока пуль, например.
А если речь идёт о фотонах или ещё чем-то квантовом, то при сложении потоков может случится интерференция, то есть у потока есть не только интенсивность, но и фаза.
Вот эта интенсивность с фазой -- это вот и есть комплексное число.
То есть просто числа можно изобразить просто вертикальными стрелочками, определённой длины. (или горизонтальными)
Скажем ---> 3 -----> 5
--------> 8
А комплексные будут стрелочками под произвольными углами...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
Если ты взял в долг пять раз по пять, то твой долг увеличился на 25 рублей.
Если ты взял в долг минус пять раз (то есть отдал пять долгов) то твой долг уменьшился на 25 рублей
Что тут может быть не ясно?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Зря минусуете. Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению).
Зачем и кому этого хочется?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Исключения конечно есть, но их буквально единицы.
если чё
