Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Ну ты же утверждал, что "определять линейные пространства без произнесения слова "базис" совершенно необходимо". V>Откуда ты взял "совершенно" и "необходимо", если это же пространство можно определить через базис?
Потому что базис -- подмножество линейного пространства. "Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное".
V>Потому что сплошная вкусовщина.
Сказал человек, не мыслящий задания линейного пространства иначе как линейной оболочки линейно независимых векторов.
__>>Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство? V>Или открытие для тебя, что система линейных уравнений может быть избыточна.
Ну избыточна. И что?
V>Это смотря как задача стоит. V>Конкретно в твоём примере, если нам требуется оперировать элементами пространства решений диффура, то удобней иметь готовый их базис.
Вот именно. А ещё нам может не требоваться оперировать элементами пространства решений диффура.
V>Через численные методы можно найти корни многочлена, т.е. замечательным образом представить его в виде формулы. V>Итого, сделать это получится, т.е. преднамеренно ты врал или по незнанию — на выбор.
Итого: ты опять написал ерунду не по делу. По-прежнему, видимо, этого не понимая.
V>Бессмысленным было сравнивать несравнимое.
Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
__>>>>Бесконечные размерности разные бывают, если что. И выше были приведены конкретные примеры. V>>>Бесконечности можно сравнивать, но можно ведь и выражать друг через друга __>>Что значит "выражать друг через друга"?
V>y=x2, x->oo пойдёт?
Конечно нет (что бы эта бессмыслица не значила).
__>>Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма). V>Было сказано "среди неких пространств, отличающихся только размерностью".
Насколько я понимаю, ты хочешь сказать, что, подобно тому, что все n-мерные векторные пространства изоморфны, все бесконечномерные векторные пространства изоморфны. Это не так.
__>>Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное. V>В твоём примере, таки, функциональное пространство. V>Интересует аналитический вид предложенных тобой ф-ий и демонстрация озвученного на их примере. V>Если же ф-ии дискретные, то это был ответ в духе "летели два крокодила, один зеленый, другой на север".
Вид функций -- их описание выше (которое ты до сих пор умудрился не понять), демонстрация на их примере -- написана в цитировании. Но ты и это не понял.
V>Т.е. набор пар таких точек образует двумерное пространство, ограниченное равнобедренным прямоугольным треугольником со стороной в длину окружности, каждой точке которого поставлена в соответствие дельта ф-ия.
Какое-то безумие.
V>Сдаётся мне, что скалярное произведение тут уже определено, поэтому я не совсем понимаю, как этот пример демонстрирует линейное пространство без ортогональности.
Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Потому что базис -- подмножество линейного пространства.
Что с того, если все пространство через него выразимо?
__>"Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное".
Скорее, естественное желание не оперировать избыточностями.
V>>Потому что сплошная вкусовщина. __>Сказал человек, не мыслящий задания линейного пространства иначе как линейной оболочки линейно независимых векторов.
Твой пример с дискретными ф-иями с непересекающимися областями, где ф-ия имеет отличное от 0-ля значение, тоже сводится к этому.
__>>>Для тебя открытие, что решения системы линейных уравнений -- линейное пространство? V>>Или открытие для тебя, что система линейных уравнений может быть избыточна. __>Ну избыточна. И что?
Не что, а зачем?
Меня твой пример с ф-иями от точек на окружности напряг именно избыточностью сразу по нескольким аспектам.
Т.е. или во всём этом был какой-то глубокий смысл, или было незачем.
V>>Это смотря как задача стоит. V>>Конкретно в твоём примере, если нам требуется оперировать элементами пространства решений диффура, то удобней иметь готовый их базис. __>Вот именно. А ещё нам может не требоваться оперировать элементами пространства решений диффура.
Но ты предложил рассмотреть именно пространство решений диффура.
Приведи пример, плиз, когда это пространство нужно, но способ найти любой его элемент не требуется.
V>>Через численные методы можно найти корни многочлена, т.е. замечательным образом представить его в виде формулы. V>>Итого, сделать это получится, т.е. преднамеренно ты врал или по незнанию — на выбор. __>Итого: ты опять написал ерунду не по делу. По-прежнему, видимо, этого не понимая.
Достаточно того, что корни характеристического уравнения 5-й степени найти можно, а значит вот это твоё утверждение ложно:
при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится
Неразрешимость в радикалах не является препятствием.
V>>Бессмысленным было сравнивать несравнимое. __>Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
Насколько я помню, когда сравнивают бесконечности, то сравнивают лишь значения неких ф-ий, чьи аргументы стремятся к бесконечности.
Т.е. когда есть зависимость этих ф-ий друг от друга или от третьего/третьих параметров, которые стремятся к бесконечности с одинаковой "скоростью".
Из классики: сравнить y1=2*x vs y2=3*x, x->oo
или найти: (1+x)/(1-x), x->oo
В этих примерах 'x' стремится к такой бесконечности oo, которая одна на всех. ))
y1 и y2 тоже не уходят в разные бесконечности, они уходят в одну и ту же, просто с разной скоростью при одинаковой скорости ухода в бесконечность своего аргумента.
Даже если бы y1=x2 и y2=xx — всё в силе.
Поэтому, что ты там ввёл отношения м/у пространствами — это ни под условие не попадало, и сам по себе приём исскуственный, бо нас не интересует скорость ухода в бесконечность.
__>>>Выше ты сказал, что бесконечномерное пространство одно (видимо, с точностью до изоморфизма). V>>Было сказано "среди неких пространств, отличающихся только размерностью". __>Насколько я понимаю, ты хочешь сказать, что, подобно тому, что все n-мерные векторные пространства изоморфны, все бесконечномерные векторные пространства изоморфны. Это не так.
Я сказал то, что сказал:
среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью,
Собери все пространства в группы, в каждой из которых будут содержатся только изоморфные друг другу плюс отличающиеся только размерностью, и накати на каждую группу в отдельности это утверждение.
V>>Интересует аналитический вид предложенных тобой ф-ий и демонстрация озвученного на их примере. V>>Если же ф-ии дискретные, то это был ответ в духе "летели два крокодила, один зеленый, другой на север". __>Вид функций -- их описание выше (которое ты до сих пор умудрился не понять)
Пока что есть вопросы, да.
1. Почему ты определил ф-ии только на попарно-различимых точках?
2. Зачем именно окружность, почему не отрезок?
3. Если уж приводить в пример дискретные ф-ии, то почему бы не привести минимально-достаточный пример — некое мн-во ф-ий от одного аргумента, где области (или точки) в которых ф-ии имеют значения, отличные от 0-ля, не пересекаются?
__>демонстрация на их примере -- написана в цитировании. Но ты и это не понял.
Это:
Берёшь определение аффинного пространства, ассоциинованного с векторным. Подставляешь конкретное.
?
Это твой пример, поэтому берешь и подставляешь ты.
Тем более, что тут произвольное функциональное пространство.
V>>Т.е. набор пар таких точек образует двумерное пространство, ограниченное равнобедренным прямоугольным треугольником со стороной в длину окружности, каждой точке которого поставлена в соответствие дельта ф-ия. __> Какое-то безумие.
И что не так?
Ты же сам захотел попарность?
В дискретном виде это была бы таблица или половина её по диагонали, если порядок элементов в паре не важен.
В непрерывном, соответственно, область-квадрат или треугольник.
Ты ж задал свои ф-ии "многошагово", через "серию" пространств:
— всех точек на окружности;
— их попарных комбинаций, исключая пару с самим собой;
— выборка из последнего;
Мне лишь охота понять — был ли в этом всём какой-то смысл, и если был, то какой?
Или я наткнулся на болтуна, рассыпающего массу избыточной информации?
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
__>Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
V>Насколько я помню, когда сравнивают бесконечности, то сравнивают лишь значения неких ф-ий, чьи аргументы стремятся к бесконечности. V>Т.е. когда есть зависимость этих ф-ий друг от друга или от третьего/третьих параметров, которые стремятся к бесконечности с одинаковой "скоростью".
V>Из классики: сравнить y1=2*x vs y2=3*x, x->oo V>или найти: (1+x)/(1-x), x->oo
V>В этих примерах 'x' стремится к такой бесконечности oo, которая одна на всех. )) V>y1 и y2 тоже не уходят в разные бесконечности, они уходят в одну и ту же, просто с разной скоростью при одинаковой скорости ухода в бесконечность своего аргумента. V>Даже если бы y1=x2 и y2=xx — всё в силе.
V>Поэтому, что ты там ввёл отношения м/у пространствами — это ни под условие не попадало, и сам по себе приём исскуственный, бо нас не интересует скорость ухода в бесконечность.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
V>>Поэтому, что ты там ввёл отношения м/у пространствами — это ни под условие не попадало, и сам по себе приём исскуственный, бо нас не интересует скорость ухода в бесконечность. Vi2>В википедии есть страница про размерность множества. Именно про неё идёт речь.
Наверно, ты имел ввиду мощность множества?
Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Наверно, ты имел ввиду мощность множества? V>Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств.
Ну, а у пространства функций мощность несчётного множества.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
V>>Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств. Vi2>Ну, а у пространства функций мощность несчётного множества.
В "своей группе" рассуждения остаются верными: есть бесконечное мн-во двойственных пространств к бесконечному мн-ву линейных пространств конечной размерности и всего одно двойственное к линейному бесконечномерному пространству.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>Что есть линейные пространства со счётным базисом, есть линейные пространства с несчётным базисом. Они не изоморфны.
Вдогонку, бери пространства с дробной размерностью, их бесконечное мн-во с конечной размерностью — тоже континиум и тоже среди них всего одно пространтсво с бесконечной размерностью.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Практическое объяснение:
Проводим прямую, а к ней два перпендикуляра. Вырезаем прямоугольник с шириной, равной расстоянию между перпендикулярами. Говорим: смотри, вот я положил прямоугольник вплотную ко всем трём линиям — он касается всех трёх без зазоров. Теперь переворачиваем прямоугольник тыльной стороной наверх, кладём обратно на место — опа, он опять касается всех трёх без зазоров.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
__>>"Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное".
V>Скорее, естественное желание не оперировать избыточностями.
Естественным является желание определить объект обсуждения.
V>Но ты предложил рассмотреть именно пространство решений диффура. V>Приведи пример, плиз, когда это пространство нужно, но способ найти любой его элемент не требуется.
Вычисление размерностей когомологий де Рама.
Типичным способом различать сложные объекты является вычисление некоторых инвариантов, постоянных при отображениях, сохраняющих все свойства объектов. Соответственно, если инварианты различны, объекты разные. Скажем, для "голых" векторных пространств есть только размерность. И этим инвариантом векторное пространство однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется. В этом смысле теория векторных пространств тривиальна.
Примером такого инварианта для многообразий (формализация и обобщение идеи поверхности) являются когомологии де Рама. Технически -- это как раз классы эквивалентности решений некоторых диффуров. Например, для сферы пространство первых когомологий де Рама нульмерно, а для тора двумерно. Что доказывает, что тор нельзя гладко продеформировать в сферу.
V>Достаточно того, что корни характеристического уравнения 5-й степени найти можно, а значит вот это твоё утверждение ложно: V>
V>при желании явно-явно предъявить в нём базис, этого сделать не получится
V>Неразрешимость в радикалах не является препятствием.
Нет нельзя. Именно в написанном смысле.
V>>>Бессмысленным было сравнивать несравнимое. __>>Речь шла о сравнении размерностей векторных пространств. Ничто не мешает сравнить любые размерности.
V>Насколько я помню, когда сравнивают бесконечности, то сравнивают лишь значения неких ф-ий, чьи аргументы стремятся к бесконечности.
Помнишь неправильно.
V>Я сказал то, что сказал: V>
V>среди бесконечного мн-ва неких линейных пространств, отличающихся только размерностью,
V>Собери все пространства в группы, в каждой из которых будут содержатся только изоморфные друг другу плюс отличающиеся только размерностью, и накати на каждую группу в отдельности это утверждение.
Т.е. я верно тебя понял. Твоё утверждение неверно. Пример (ты его снова не поймёшь, но для других): векторные пространства многочленов и формальных степенных рядов оба бесконечномерные, отличаются размерностью и не изоморфны.
V>И что не так?
То, что ты пишешь ахинею, никак не связанную с написанным мной. И не способен понимать текст уровня средних классов.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
Vi2>>В википедии есть страница про размерность множества. Именно про неё идёт речь.
V>Наверно, ты имел ввиду мощность множества?
размерность векторного пространства.
V>Если мы рассматриваем мн-ва линейных пространств с целочисленной размерностью, то у них у всех одинаковая мощность, равная мощности счётных множеств.
Это зависит от поля, и, очевидно, для всех не нульмерных пространств над действительными числами, неверно.
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ?
Берёшь часы с циферблатом, ставишь 12:15 и говоришь, что это выглядит так. Потом берёшь и рисуешь круг... ну и дальше по цепоче абстракций.
Здравствуйте, Kernan, Вы писали:
K>Берёшь часы с циферблатом, ставишь 12:15 и говоришь, что это выглядит так. Потом берёшь и рисуешь круг... ну и дальше по цепоче абстракций.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
Q>Здравствуйте, Kernan, Вы писали:
K>>Берёшь часы с циферблатом, ставишь 12:15 и говоришь, что это выглядит так. Потом берёшь и рисуешь круг... ну и дальше по цепоче абстракций.
Q>В 12:15 между стрелками угол не прямой, а острый.
А ведь ты прав!
Sic luceat lux!
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Понятие перпендикулярности имеет смысл только для векторных пространств со скалярным произведением (симметрической билинейной формой), т.е. требуется дополнительная структура. Более того, чтобы перпендикулярность соответствовала "житейской" интуиции, эта форма должна буть невырожденной (или даже положительно определенной). Так что понятин перпендикулрности реально "более сложное".
Re: можно ли объяснить перпеникулярные прямые без понятия угла
Здравствуйте, okon, Вы писали:
O>Вот для паралельных прямых есть хорошее объяснение практическое — это прямые которые никогда не пересекаются, а есть ли подобное объяснение для перпендикуляра ? O>Если нет, то ощущается какая-то ассиметрия, получается перпендикулярные прямые это более усложненое понятие чем паралельные.
Практическое объяснение:
Проводим прямую, а к ней два перпендикуляра. Вырезаем прямоугольник с шириной, равной расстоянию между перпендикулярами. Говорим: смотри, вот я положил прямоугольник вплотную ко всем трём линиям — он касается всех трёх без зазоров. Теперь переворачиваем прямоугольник тыльной стороной наверх, кладём обратно на место — опа, он опять касается всех трёх без зазоров.
Какое-то безумие.
