Здравствуйте, pva, Вы писали:

pva>Есть у нас гранд-отель для счетных, в который, несмотря на заполненность, всегда можно впихнуть новый элемент множества и его равномощность не изменится.
pva>Есть у нас "принцип масштабирования" для несчетных как в одной размерности (с интервалами), так и по размерностям (шары, гиперразмерности?), который показывает что несчетные биективны (?) и равномощны.

Ага, тут везде один и тот же метод по сути используется: мы строим функцию-биекцию, взаимно-однозначное соответствие. Она связывает два множества поэлементно как застежка-молния, демонстрируя их равномощность. Для отеля эта функция сопоставляет старый и новый номер комнаты для каждой комнаты. Для интервалов, шаров и пр. — отображает точки, тоже по сути говорит кто куда переезжает, просто вместо номера комнаты там координаты точки. Можно еще заметить, что для мощности множества "размерность" множества не важна, в 1Д отрезке столько же точек, сколько в 2Д квадрате или 3Д шаре. Можно сконструировать функцию-биекцию, это показывающую.

pva>И теорема Кантора нам говорит что мощность показательного множества для счетного множества — несчетное множество.
pva>вот здесь у меня разрыв, ведь показательное множество, по сути, комбинация элементов счетного множества и согласно гранд-отелю, мы всегда можем добавить новую комбинацию к списку имеющихся не меняя мощности.

Тут предлагаю опять смотреть на типы. Множество подмножеств уже имеет другой тип элементов по сравнению с оригинальным множеством, это уже совсем другое множество. Поэтому "не меняя" тут сказать нельзя — мы не пытаемся что-то менять, добавляя, мы изначально с другим объектом дело имеем.

Интуитивно можно так на это посмотреть. Счетное множество можно представить мысленно как бесконечный ряд комнат, имеющий начало, и уходящий в бесконечность. Одно его подмножество можно закодировать, поставив 1 рядом с комнатами, что входят в подмножество, и 0 рядом с теми, что не входят. Получаем последовательность из нулей и единиц, допишем перед ней "0." и получим вещественное число в двоичном представлении в интервале [0, 1]. Одно вещественное число кодирует целое подмножество нашего исходного счетного множества. А множество всех таких подмножеств — это множество таких вот вещественных чисел, т.е. это интервал [0, 1] в R. Который равномощен R. Вот и выходит, что 2^N = R.

Здравствуйте, pva, Вы писали:

pva>Есть у нас гранд-отель для счетных, в который, несмотря на заполненность, всегда можно впихнуть новый элемент множества и его равномощность не изменится.
pva>Есть у нас "принцип масштабирования" для несчетных как в одной размерности (с интервалами), так и по размерностям (шары, гиперразмерности?), который показывает что несчетные биективны (?) и равномощны.

Ага, тут везде один и тот же метод по сути используется: мы строим функцию-биекцию, взаимно-однозначное соответствие. Она связывает два множества поэлементно как застежка-молния, демонстрируя их равномощность. Для отеля эта функция сопоставляет старый и новый номер комнаты для каждой комнаты. Для интервалов, шаров и пр. — отображает точки, тоже по сути говорит кто куда переезжает, просто вместо номера комнаты там координаты точки. Можно еще заметить, что для мощности множества "размерность" множества не важна, в 1Д отрезке столько же точек, сколько в 2Д квадрате или 3Д шаре. Можно сконструировать функцию-биекцию, это показывающую.

pva>И теорема Кантора нам говорит что мощность показательного множества для счетного множества — несчетное множество.
pva>вот здесь у меня разрыв, ведь показательное множество, по сути, комбинация элементов счетного множества и согласно гранд-отелю, мы всегда можем добавить новую комбинацию к списку имеющихся не меняя мощности.

Тут предлагаю опять смотреть на типы. Множество подмножеств уже имеет другой тип элементов по сравнению с оригинальным множеством, это уже совсем другое множество. Поэтому "не меняя" тут сказать нельзя — мы не пытаемся что-то менять, добавляя, мы изначально с другим объектом дело имеем.

Интуитивно можно так на это посмотреть. Счетное множество можно представить мысленно как бесконечный ряд комнат, имеющий начало, и уходящий в бесконечность. Одно его подмножество можно закодировать, поставив 1 рядом с комнатами, что входят в подмножество, и 0 рядом с теми, что не входят. Получаем последовательность из нулей и единиц, допишем перед ней "0." и получим вещественное число в двоичном представлении в интервале [0, 1]. Одно вещественное число кодирует целое подмножество нашего исходного счетного множества. А множество всех таких подмножеств — это множество всех таких вот вещественных чисел, т.е. это интервал [0, 1] в R. Который равномощен R. Вот и выходит, что 2^N = R.