Здравствуйте, Khimik, Вы писали:

K>Любую карту можно раскрасить четырьмя красками (т.е. больше четырёх точно не необходимо), так что любые две граничащие страны не будут сливаться. Это для карты на плоскости и для сферы. Для тора же может потребоваться до семи красок. Всё это было бы понятно, если бы нам показали рисунки...

Не знаю как доказать, что для тора нужно 7 красок. Но что очевидно:
Если взять резиновый глобус. На противоположных концах выбрать 2 страны. Деформировать глобус растяжениями не разрывая, превратить его в цилиндр. 2 страны окажутся на круглых основаниях цилиндра (каждая страна занимает основание целиком). Здесь по-прежнему нужно 4 краски.
Если теперь согнуть цилиндр и состыковать 2 круглых основания, 2 страны в основаниях исчезнут. Очевидно, если красок станет не хватать, то это будет на месте стыка — сольются несколько стран.

Но не понятно — зачем обязательно искривлять этот цилиндр. Есть же пространства замкнутые, но не искривленные. Условно "Pac-Man пространство" — на экране компьютера зацикленные 2D пространства — там где заканчивается правый край сразу начинается левый.

Если у такого цилиндра(описанного выше) удалить круглые основания и развернуть его в замкнутое но не искривленное 2D пространство — разве будут отличия от тора (по количеству красок)?

Здравствуйте, Khimik, Вы писали:

K>Любую карту можно раскрасить четырьмя красками (т.е. больше четырёх точно не необходимо), так что любые две граничащие страны не будут сливаться. Это для карты на плоскости и для сферы. Для тора же может потребоваться до семи красок. Всё это было бы понятно, если бы нам показали рисунки...

Не знаю как доказать, что для тора нужно 7 красок. Но что очевидно:
Если взять резиновый глобус. На противоположных концах выбрать 2 страны. Деформировать глобус растяжениями не разрывая, превратить его в цилиндр. 2 страны окажутся на круглых основаниях цилиндра (каждая страна занимает основание целиком). Здесь по-прежнему нужно 4 краски.
Если теперь согнуть цилиндр и состыковать 2 круглых основания, 2 страны в основаниях исчезнут. Очевидно, если красок станет не хватать, то это будет на месте стыка — сольются несколько стран.

Но не понятно — зачем обязательно искривлять этот цилиндр. Есть же пространства замкнутые, но не искривленные. Условно "Pac-Man пространство" — на экране компьютера зацикленные 2D пространства — там где заканчивается правый край сразу начинается левый.

Если у такого цилиндра(тора, описанного выше) удалить круглые основания и развернуть его в замкнутое но не искривленное 2D пространство — разве будут отличия от тора (по количеству красок)?
Хотя шар так развернуть не получится. Т.к. если на шаре пройдешь половину пространства вверх, потом половину в перпендикулярном направлении(вправо) — окажешься в той же точке но вверх ногами. Это уже будет не "Pac-Man пространство".