Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

Ориентированный объём.

Можно стандартно инвертировать направление определение->свойства с целью обобщения. А именно, без каких свойств объём параллелепипеда, построенного на упорядоченном наборе векторов, вообще не объём, оставить их и попытаться построить аксиоматическое определение объёма. Т.е. хотим определить функцию V(v_1, ..., v_n). Что от неё хотим (не можем не хотеть)?

1. Линейность: V(..., v_k + u_k, ...) = V(..., v_k, ...) + V(..., u_k, ...), V(..., a v_k, ...) = a V(..., v_k, ...).
2. Обнуление на вырожденных параллелепипедах: V(..., v, ..., v, ...) = 0.
3. Нормировка (равенство 1 на единичном кубе): V(e_1, ..., e_n) = 1.

Нетрудно видеть, что такая функция существует и единственна. Так как никаким свойством поступиться нельзя, она обязана быть объёмом или тесно связана с ним.

Из 1 и 2 следует, что V(..., v, ..., u, ...) = — V(..., u, ..., v, ...) (идея та же, что в перемене местами значений двух переменных не заводя третью). Таким образом, знак функции зависиот от порядка аргументов, и она является ориентированным объёмом.

Если выбрать базис e_1, ..., e_n, то каждому аргументу функции можно сопоставить его координатный столбец. Так что, слегка абьюзя нотацию, V является функцией от n столбцов или, если угодно, квадратной матрицы. Она и назыавется детерминантом.

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

Ориентированный объём.

Можно стандартно инвертировать направление определение->свойства с целью обобщения. А именно, посмотреть без каких свойств объём параллелепипеда, построенного на упорядоченном наборе векторов, вообще не объём, оставить их и попытаться построить аксиоматическое определение объёма. Т.е. хотим определить функцию V(v_1, ..., v_n). Что от неё хотим (не можем не хотеть)?

1. Линейность: V(..., v_k + u_k, ...) = V(..., v_k, ...) + V(..., u_k, ...), V(..., a v_k, ...) = a V(..., v_k, ...).
2. Обнуление на вырожденных параллелепипедах: V(..., v, ..., v, ...) = 0.
3. Нормировка (равенство 1 на единичном кубе): V(e_1, ..., e_n) = 1.

Нетрудно видеть, что такая функция существует и единственна. Так как никаким свойством поступиться нельзя, она обязана быть объёмом или тесно связана с ним.

Из 1 и 2 следует, что V(..., v, ..., u, ...) = — V(..., u, ..., v, ...) (идея та же, что в перемене местами значений двух переменных не заводя третью). Таким образом, знак функции зависиот от порядка аргументов, и она является ориентированным объёмом.

Если выбрать базис e_1, ..., e_n, то каждому аргументу функции можно сопоставить его координатный столбец. Так что, слегка абьюзя нотацию, V является функцией от n столбцов или, если угодно, квадратной матрицы. Она и назыавется детерминантом.