V>>>Ну можно и без Лопиталя.
V>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда)
V>>>Замечание. sin(x) нечетная
V>>>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить)
V>>>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)


V>>Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.

V>Так при дифференцировании ряда, который сходится абсолютно, Вам ничего не надо. Производная ряда для синуса -- ряд для косинуса.

V>Отсюда, разумеется, следует существование и пределаЮ, так как он, по сути, просто производная синуса в нуле.

V>А вышу я показал, как можно показать этот замечательный предел без доказательства дифференцируемости.

1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника?

2. Из вашего же утверждения x — x^3/3! < sin(x) < x => sin(x)/x<1, x<sqrt(20) => lim(sinx/x)<1 Такчто даже если принять то что вы сказали выше вы всёравно не доказали лимита.