V>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы

V>Ну можно и без Лопиталя.
V>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда)
V>Замечание. sin(x) нечетная
V>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить)
V>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)


Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.