Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
V>
V>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
Теорема: 60 делится без остатка на все числа.
Доказательство:
1. Докажем сначала, что 60 делится на все маленькие числа. Возьмём какое-нибудь маленькое число, например 2. Мы видим, что 60 на него делится. Возьмём ещё какое-нибудь маленькое число, например 3. И на него 60 тоже делится. И ещё возьмём какое-нибудь маленькое число, например 5. И даже на него 60 делится. (Про единицу мы уже даже и не упоминаем.) Следовательно, данное утверждение можно считать доказанным.
2. Теперь докажем, что 60 делится на все большие числа. Возьмём какое-нибудь большое число, например 12. 60 на него делится. Возьмём ещё какое-нибудь большое число, например 15 (или даже 20 или 30). И на него 60 тоже делится. Следовательно, 60 делится на все большие числа.
Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>Здравствуйте, IID, Вы писали:
IID>>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
NBN>>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1
C>>>А разве не так?
C>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1
IID>>нет конечно IID>>sin x ~ x при x->0 IID>>откуда вы косинус взяли-то ? IID>>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс), IID>>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!
C>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
C>А вообще я тока первокурсник
Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
C>>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
C>>>А вообще я тока первокурсник
V>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
C>Что такое дифф. в этом контексте вообще? C>Для Лопиталя нужен предел формы oo/oo или o/o (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html). lim x->0 sin x стремится к нулю, надеюсь c этим мы оба согласимся? lim x->0 x тоже стремится к нулю. Имеем 0/0. Находим производные знаменателя/числителя. C>d/dx (sin x) = cos x, не так ли? C>d/dx (x) = 1
C>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>Не пойму где я неправ?
Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
NBN>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1
C>А разве не так?
C>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1
нет конечно
sin x ~ x при x->0
откуда вы косинус взяли-то ?
А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс),
а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!
Здравствуйте, neFFy, Вы писали:
FF>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1 IID>>>нет конечно IID>>>sin x ~ x при x->0 IID>>>откуда вы косинус взяли-то ? C>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
FF>спорь
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"! С вами были ведущие — дядя Ньютон и дядя Лейбниц. Спокойной ночи!
Спонсор трансляции — компания Extremе Limited, всё для спорта и туризма.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
V>
V>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
Здравствуйте, NikeByNike, Вы писали:
NBN>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
V>>
V>>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
Здравствуйте, NikeByNike, Вы писали:
NBN>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
V>>
V>>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
Здравствуйте, IID, Вы писали:
IID>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
NBN>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1
C>>А разве не так?
C>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1
IID>нет конечно IID>sin x ~ x при x->0 IID>откуда вы косинус взяли-то ? IID>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс), IID>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!
Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1 IID>>нет конечно IID>>sin x ~ x при x->0 IID>>откуда вы косинус взяли-то ? C>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
Здравствуйте, neFFy, Вы писали:
FF>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1 IID>>>нет конечно IID>>>sin x ~ x при x->0 IID>>>откуда вы косинус взяли-то ? C>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
FF>спорь
Кстати странно что там lim x->oo (1+1/x)^x без доказательства. Вообще-то оно занимает минут 10 а довольно важно. Поправить что-ли
Здравствуйте, neFFy, Вы писали:
FF>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
NBN>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1 V>>Не понял...
FF>первый замечательный предел
Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:
RO>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>
V>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
RO>Я настойчиво подозреваю, что это выполняется для любых x и y, даже для немаленьких.
Так естественно! Именно это меня и поразило! Кстати, их следствие является абсолютно строгим следствием предыдущих двух утверждений. Просто авторы, видимо, не заметили, что получили тождество, которое выполяется всегда! Это как если бы они написали, что (1+x)(1+y)~1+x+y для маленьких, отсюда следуется, что 1*1~1.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:
RO>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>
V>>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
RO>>Я настойчиво подозреваю, что это выполняется для любых x и y, даже для немаленьких.
V>Так естественно! Именно это меня и поразило! Кстати, их следствие является абсолютно строгим следствием предыдущих двух утверждений. Просто авторы, видимо, не заметили, что получили тождество, которое выполяется всегда! Это как если бы они написали, что (1+x)(1+y)~1+x+y для маленьких, отсюда следуется, что 1*1~1.
А я подозреваю, что под exp они подразумевают не exp, а _exp_(x) = 1 + x.
Т.е. _exp_(x) * _exp_(y) = 1 + x + y + xy ~ 1 + x + y = _exp_(x + y)
Здравствуйте, andrey.desman, Вы писали:
AD>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:
RO>>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>>
V>>>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
RO>>>Я настойчиво подозреваю, что это выполняется для любых x и y, даже для немаленьких.
V>>Так естественно! Именно это меня и поразило! Кстати, их следствие является абсолютно строгим следствием предыдущих двух утверждений. Просто авторы, видимо, не заметили, что получили тождество, которое выполяется всегда! Это как если бы они написали, что (1+x)(1+y)~1+x+y для маленьких, отсюда следуется, что 1*1~1.
AD>А я подозреваю, что под exp они подразумевают не exp, а _exp_(x) = 1 + x. AD>Т.е. _exp_(x) * _exp_(y) = 1 + x + y + xy ~ 1 + x + y = _exp_(x + y)
Ну Вы можете подозревать все, что угодно, но Ваше утверждение это просто Лемма 2, т.е. последнее Следствие было выведено из Леммы 1 и того, что Вы пишете.
Здравствуйте, ДимДимыч, Вы писали:
V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся. ДД>Интересно, что за книжка? ДД>У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы.
Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x"). Точно так же, "для почти всех чисел" означает "для всех вещественных чисел за исключением множества чисел с лебеговой мерой равной нулю" и т.п.
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
ДД>>У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы. C>Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x").
Такой человек он, принципиальный. "Достаточно малое x" — это допустимо, а вот за "маленькое" выжимал из студентов все соки
Обязательно бахнем! И не раз. Весь мир в труху! Но потом. (ДМБ)
C>Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x"). Точно так же, "для почти всех чисел" означает "для всех вещественных чисел за исключением, быть может, множества чисел с лебеговой мерой равной нулю" и т.п.
обычно так
...Ei incumbit probatio, qui dicit, non qui negat...
Здравствуйте, vitaly_spb, Вы писали:
C>>Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x"). Точно так же, "для почти всех чисел" означает "для всех вещественных чисел за исключением, быть может, множества чисел с лебеговой мерой равной нулю" и т.п. _>обычно так
Да, так лучше. Хотя если заниматься буквоедством — мое определение тоже правильное, так как множество исключений может быть пустое
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
К>... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"! С вами были ведущие — дядя Ньютон и дядя Лейбниц. Спокойной ночи! К>Спонсор трансляции — компания Extremе Limited, всё для спорта и туризма.
Да нет, там все вполне серьезно. Да и прикол не в этом. Жалко только, что не все сразу замечают. Особенно авторы...
Здравствуйте, ДимДимыч, Вы писали:
ДД>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
ДД>Интересно, что за книжка? ДД>У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
К>>... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"! V>Да нет, там все вполне серьезно. Да и прикол не в этом. Жалко только, что не все сразу замечают. Особенно авторы...
Ты уж определись: КУ или не КУ
А то, что в поле бесконечно малых действует иная арифметика, чем в поле обычных чисел, но она по-прежнему сохраняет некоторые свойства... так это же здорово.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
К>>>... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"! V>>Да нет, там все вполне серьезно. Да и прикол не в этом. Жалко только, что не все сразу замечают. Особенно авторы...
К>Ты уж определись: КУ или не КУ
Ну еще чего, конечно в КУ.
К>А то, что в поле бесконечно малых действует иная арифметика, чем в поле обычных чисел, но она по-прежнему сохраняет некоторые свойства... так это же здорово.
Такое удивительное доказательство того, что exp(a) * exp(b) = exp(a+b) (для малых a и b, приблизительно!) вижу впервые.
V>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
Лемма 1 => exp(1 + x + y) ~ 2 + x + y
Следствие, Лемма 2 => exp(1 + x + y) ~ exp(1)*exp(x)*exp(y) ~ exp(1)*(1+x)*(1+y) ~ exp(1)*(1+x+y)
=> 2+x+y ~ exp(1)*(1+x+y)
Так как это верно для любых маленьких x, y (следовательно и для -1000, -1000; но нам нужно лишь 0, 0)
=> 2 ~ exp(1) уже безо всяких x и y
...Ei incumbit probatio, qui dicit, non qui negat...
V>>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
_>Лемма 1 => exp(1 + x + y) ~ 2 + x + y
[]
Начиная отсюда, уже можно было бы подставить x=y=0 и получить то, что Вы получили. Однако это неверно, ибо лемма один для маленьких z, а 1+x+y не маленькое, даже если x и y ОЧЕНЬ МАЛЕНЬКИЕ.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
V>
V>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)
– Взгляни на этого математика, – сказал логик. – Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любые числа – меньше сотни.
– Физик верит, – сказал математик, – что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делился на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.
– Да, но взгляни на инженера, – возразил физик. – Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 – досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом, но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, – говорит он, – я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.
Из книги Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения, ИЛ, 1957.
Здравствуйте, IID, Вы писали:
IID>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
NBN>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1
C>>А разве не так?
C>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1
IID>нет конечно IID>sin x ~ x при x->0 IID>откуда вы косинус взяли-то ? IID>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс), IID>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>Здравствуйте, IID, Вы писали:
IID>>>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
NBN>>>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1
C>>>>А разве не так?
C>>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1
IID>>>нет конечно IID>>>sin x ~ x при x->0 IID>>>откуда вы косинус взяли-то ? IID>>>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс), IID>>>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!
C>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
C>>А вообще я тока первокурсник
V>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
Ну можно и без Лопиталя.
Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда)
Замечание. sin(x) нечетная
Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить)
Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
C>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
C>>А вообще я тока первокурсник
V>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
Что такое дифф. в этом контексте вообще?
Для Лопиталя нужен предел формы oo/oo или o/o (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html). lim x->0 sin x стремится к нулю, надеюсь c этим мы оба согласимся? lim x->0 x тоже стремится к нулю. Имеем 0/0. Находим производные знаменателя/числителя.
d/dx (sin x) = cos x, не так ли?
d/dx (x) = 1
lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>Пааазвольте! Откуда такое определение?
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>>Не пойму где я неправ?
V>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
Ух-ты! Если честно я не знал (или забыл) доказательства d[sinx]/dx Через такую ж*пу доказать производную это круто!
Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>Пааазвольте! Откуда такое определение?
Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>>>Не пойму где я неправ?
V>>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
C>Ух-ты! Если честно я не знал (или забыл) доказательства d[sinx]/dx Через такую ж*пу доказать производную это круто!
Да я тоже сейчас что-то подумал, и не придумал, как там замечательный предел в выводе производной присобачить. Есть две очевидных альтернативы: через ряд и с использованием тригонометрических формул.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
C>>>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
C>>>>А вообще я тока первокурсник
V>>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
C>>Что такое дифф. в этом контексте вообще? C>>Для Лопиталя нужен предел формы oo/oo или o/o (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html). lim x->0 sin x стремится к нулю, надеюсь c этим мы оба согласимся? lim x->0 x тоже стремится к нулю. Имеем 0/0. Находим производные знаменателя/числителя. C>>d/dx (sin x) = cos x, не так ли? C>>d/dx (x) = 1
C>>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>>Не пойму где я неправ?
V>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
Простите пожалуйста математику учил на английском. Что за ряды?
V>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
V>Ну можно и без Лопиталя. V>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда) V>Замечание. sin(x) нечетная V>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить) V>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.
V>>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
V>>Ну можно и без Лопиталя. V>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда) V>>Замечание. sin(x) нечетная V>>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить) V>>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
V>Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.
Так при дифференцировании ряда, который сходится абсолютно, Вам ничего не надо. Производная ряда для синуса -- ряд для косинуса.
Отсюда, разумеется, следует существование и пределаЮ, так как он, по сути, просто производная синуса в нуле.
А вышу я показал, как можно показать этот замечательный предел без доказательства дифференцируемости.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>>Пааазвольте! Откуда такое определение?
V>А что Вам не нравится?
Главным образом то обстоятельство, что *определение* синуса — геометрическое (половина хорды, стягивающей удвоенный угол, или должная проекция радиус-вектора).
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
V>Простите пожалуйста математику учил на английском. Что за ряды?
Ну так вестимо Taylor(Maclaurin) series
Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>>>Пааазвольте! Откуда такое определение?
V>>А что Вам не нравится?
vnp>Главным образом то обстоятельство, что *определение* синуса — геометрическое (половина хорды, стягивающей удвоенный угол, или должная проекция радиус-вектора).
V>>>Ну можно и без Лопиталя. V>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда) V>>>Замечание. sin(x) нечетная V>>>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить) V>>>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
V>>Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.
V>Так при дифференцировании ряда, который сходится абсолютно, Вам ничего не надо. Производная ряда для синуса -- ряд для косинуса.
V>Отсюда, разумеется, следует существование и пределаЮ, так как он, по сути, просто производная синуса в нуле.
V>А вышу я показал, как можно показать этот замечательный предел без доказательства дифференцируемости.
1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника?
2. Из вашего же утверждения x — x^3/3! < sin(x) < x => sin(x)/x<1, x<sqrt(20) => lim(sinx/x)<1 Такчто даже если принять то что вы сказали выше вы всёравно не доказали лимита.
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника?
Синус можно определить именно с помощью ряда, тем более, что это позволит расширить область определения на комплексные числа.
Свойства с треугольниками можно вывести как обычно — доказав эквивалентность "стандартного" определения и определения через ряды на множестве вещественных чисел.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>>>>Пааазвольте! Откуда такое определение?
V>>>А что Вам не нравится?
vnp>>Главным образом то обстоятельство, что *определение* синуса — геометрическое (половина хорды, стягивающей удвоенный угол, или должная проекция радиус-вектора).
V>Да, а число е вы как определяете?
Обычно определяют функцию exp(x) а не е. Для неё есть несколько эквивалентных определений. Что важно так это то чтобы из определения можно было вывести все свойства конструкции. К примеру. Есть круг его радиус EC=CB. В нём прямоугольный треугольник EAB. EAC — равнобедренный треугольник тоесть углы EAC и ACE. Угол DCB=_BD/EC, символ подчёркивания чтобы показать что я имею в виду часть окружности круга. DCB=ACE=EAC. Теперь имея эту конструкцию сможите ли вы доказать из вашего определения что sin(EAC)=AB/EB?
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>Обычно определяют функцию exp(x) а не е. Для неё есть несколько эквивалентных определений. Что важно так это то чтобы из определения можно было вывести все свойства конструкции. К примеру. Есть круг его радиус EC=CB. В нём прямоугольный треугольник EAB. EAC — равнобедренный треугольник тоесть углы EAC и ACE. Угол DCB=_BD/EC, символ подчёркивания чтобы показать что я имею в виду часть окружности круга. DCB=ACE=EAC. Теперь имея эту конструкцию сможите ли вы доказать из вашего определения что sin(EAC)=AB/EB?
Да. Самое простое — пользуясь геометрическим определением рассчитать производную для "геометрического" синуса и показать, что в итоге получится ряд Тейлора, соответствующий исходному определению.
А теперь покажите, как геометрически определить синус для комплексного аргумента.
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>>1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника? C>Синус можно определить именно с помощью ряда, тем более, что это позволит расширить область определения на комплексные числа.
C>Свойства с треугольниками можно вывести как обычно — доказав эквивалентность "стандартного" определения и определения через ряды на множестве вещественных чисел.
Простите мою навязчивость но как бы вы это сделали НЕ используя Маклорена и Тейлора, без дифференсации. В ручную ведь не выйдет так как ряды безконечные. Насчёт комплексных чисел вы может быть правы, но можно это сделать и по другому используя изоморфизм из пространства комплексных чисел в двумерное векторное пространство действительных чисел. В любом случае вы доказываете не равенство а эквивалентность (изоморфизм).
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>>Обычно определяют функцию exp(x) а не е. Для неё есть несколько эквивалентных определений. Что важно так это то чтобы из определения можно было вывести все свойства конструкции. К примеру. Есть круг его радиус EC=CB. В нём прямоугольный треугольник EAB. EAC — равнобедренный треугольник тоесть углы EAC и ACE. Угол DCB=_BD/EC, символ подчёркивания чтобы показать что я имею в виду часть окружности круга. DCB=ACE=EAC. Теперь имея эту конструкцию сможите ли вы доказать из вашего определения что sin(EAC)=AB/EB? C>Да. Самое простое — пользуясь геометрическим определением рассчитать производную для "геометрического" синуса и показать, что в итоге получится ряд Тейлора, соответствующий исходному определению.
В том то и дело что вам нужно доказать геом. определение
C>А теперь покажите, как геометрически определить синус для комплексного аргумента.
Изоморфизм из комплексного пространства в пространство действительных двумерных веркторов а потом простой геометрией. Если зададите вопрос конкртней дам более точный ответ.
Здравствуйте, Sergey Chadov, Вы писали:
SC>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
V>>Простите пожалуйста математику учил на английском. Что за ряды? SC>Ну так вестимо Taylor(Maclaurin) series
"Всё что не убивает нас, делает нас сильнее..."
Перекуём баги на фичи!
Обязательно бахнем! И не раз. Весь мир в труху! Но потом. (ДМБ)
В том то и дело что вам нужно доказать геом. определение