Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>Пааазвольте! Откуда такое определение?
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>>Не пойму где я неправ?
V>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
Ух-ты! Если честно я не знал (или забыл) доказательства d[sinx]/dx Через такую ж*пу доказать производную это круто!
Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>Пааазвольте! Откуда такое определение?
Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>>>Не пойму где я неправ?
V>>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
C>Ух-ты! Если честно я не знал (или забыл) доказательства d[sinx]/dx Через такую ж*пу доказать производную это круто!
Да я тоже сейчас что-то подумал, и не придумал, как там замечательный предел в выводе производной присобачить. Есть две очевидных альтернативы: через ряд и с использованием тригонометрических формул.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:
C>>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
C>>>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя
C>>>>А вообще я тока первокурсник
V>>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
C>>Что такое дифф. в этом контексте вообще? C>>Для Лопиталя нужен предел формы oo/oo или o/o (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html). lim x->0 sin x стремится к нулю, надеюсь c этим мы оба согласимся? lim x->0 x тоже стремится к нулю. Имеем 0/0. Находим производные знаменателя/числителя. C>>d/dx (sin x) = cos x, не так ли? C>>d/dx (x) = 1
C>>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.
C>>Не пойму где я неправ?
V>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
Простите пожалуйста математику учил на английском. Что за ряды?
V>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
V>Ну можно и без Лопиталя. V>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда) V>Замечание. sin(x) нечетная V>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить) V>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.
V>>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы
V>>Ну можно и без Лопиталя. V>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда) V>>Замечание. sin(x) нечетная V>>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить) V>>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
V>Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.
Так при дифференцировании ряда, который сходится абсолютно, Вам ничего не надо. Производная ряда для синуса -- ряд для косинуса.
Отсюда, разумеется, следует существование и пределаЮ, так как он, по сути, просто производная синуса в нуле.
А вышу я показал, как можно показать этот замечательный предел без доказательства дифференцируемости.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>>Пааазвольте! Откуда такое определение?
V>А что Вам не нравится?
Главным образом то обстоятельство, что *определение* синуса — геометрическое (половина хорды, стягивающей удвоенный угол, или должная проекция радиус-вектора).
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
V>Простите пожалуйста математику учил на английском. Что за ряды?
Ну так вестимо Taylor(Maclaurin) series
Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>>>Пааазвольте! Откуда такое определение?
V>>А что Вам не нравится?
vnp>Главным образом то обстоятельство, что *определение* синуса — геометрическое (половина хорды, стягивающей удвоенный угол, или должная проекция радиус-вектора).
V>>>Ну можно и без Лопиталя. V>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда) V>>>Замечание. sin(x) нечетная V>>>Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить) V>>>Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)
V>>Это серия либо Тейлора либо Маклорена в них тоже нужно дифференцировать синус и дифференцировать без этого лимита у вас не получится, точнее говоря существование лимита ведёт к существованию дифференцала а существование дифференцала (если он найден без использования лимита) ведёт к существованию лимита.
V>Так при дифференцировании ряда, который сходится абсолютно, Вам ничего не надо. Производная ряда для синуса -- ряд для косинуса.
V>Отсюда, разумеется, следует существование и пределаЮ, так как он, по сути, просто производная синуса в нуле.
V>А вышу я показал, как можно показать этот замечательный предел без доказательства дифференцируемости.
1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника?
2. Из вашего же утверждения x — x^3/3! < sin(x) < x => sin(x)/x<1, x<sqrt(20) => lim(sinx/x)<1 Такчто даже если принять то что вы сказали выше вы всёравно не доказали лимита.
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника?
Синус можно определить именно с помощью ряда, тем более, что это позволит расширить область определения на комплексные числа.
Свойства с треугольниками можно вывести как обычно — доказав эквивалентность "стандартного" определения и определения через ряды на множестве вещественных чисел.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Здравствуйте, vnp, Вы писали:
vnp>>>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>>>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...
vnp>>>>Пааазвольте! Откуда такое определение?
V>>>А что Вам не нравится?
vnp>>Главным образом то обстоятельство, что *определение* синуса — геометрическое (половина хорды, стягивающей удвоенный угол, или должная проекция радиус-вектора).
V>Да, а число е вы как определяете?
Обычно определяют функцию exp(x) а не е. Для неё есть несколько эквивалентных определений. Что важно так это то чтобы из определения можно было вывести все свойства конструкции. К примеру. Есть круг его радиус EC=CB. В нём прямоугольный треугольник EAB. EAC — равнобедренный треугольник тоесть углы EAC и ACE. Угол DCB=_BD/EC, символ подчёркивания чтобы показать что я имею в виду часть окружности круга. DCB=ACE=EAC. Теперь имея эту конструкцию сможите ли вы доказать из вашего определения что sin(EAC)=AB/EB?
Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>Обычно определяют функцию exp(x) а не е. Для неё есть несколько эквивалентных определений. Что важно так это то чтобы из определения можно было вывести все свойства конструкции. К примеру. Есть круг его радиус EC=CB. В нём прямоугольный треугольник EAB. EAC — равнобедренный треугольник тоесть углы EAC и ACE. Угол DCB=_BD/EC, символ подчёркивания чтобы показать что я имею в виду часть окружности круга. DCB=ACE=EAC. Теперь имея эту конструкцию сможите ли вы доказать из вашего определения что sin(EAC)=AB/EB?
Да. Самое простое — пользуясь геометрическим определением рассчитать производную для "геометрического" синуса и показать, что в итоге получится ряд Тейлора, соответствующий исходному определению.
А теперь покажите, как геометрически определить синус для комплексного аргумента.
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>>1. Я серёзно сомневаюсь что синус опеределён так как вы сказали, мне кажется его определение будет связанно либо с треугольниками либо с векторами (и векторным продуктом). Сможете ли вы от этого определения вывести свойства прямоугольного треугольника? C>Синус можно определить именно с помощью ряда, тем более, что это позволит расширить область определения на комплексные числа.
C>Свойства с треугольниками можно вывести как обычно — доказав эквивалентность "стандартного" определения и определения через ряды на множестве вещественных чисел.
Простите мою навязчивость но как бы вы это сделали НЕ используя Маклорена и Тейлора, без дифференсации. В ручную ведь не выйдет так как ряды безконечные. Насчёт комплексных чисел вы может быть правы, но можно это сделать и по другому используя изоморфизм из пространства комплексных чисел в двумерное векторное пространство действительных чисел. В любом случае вы доказываете не равенство а эквивалентность (изоморфизм).
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>>Обычно определяют функцию exp(x) а не е. Для неё есть несколько эквивалентных определений. Что важно так это то чтобы из определения можно было вывести все свойства конструкции. К примеру. Есть круг его радиус EC=CB. В нём прямоугольный треугольник EAB. EAC — равнобедренный треугольник тоесть углы EAC и ACE. Угол DCB=_BD/EC, символ подчёркивания чтобы показать что я имею в виду часть окружности круга. DCB=ACE=EAC. Теперь имея эту конструкцию сможите ли вы доказать из вашего определения что sin(EAC)=AB/EB? C>Да. Самое простое — пользуясь геометрическим определением рассчитать производную для "геометрического" синуса и показать, что в итоге получится ряд Тейлора, соответствующий исходному определению.
В том то и дело что вам нужно доказать геом. определение
C>А теперь покажите, как геометрически определить синус для комплексного аргумента.
Изоморфизм из комплексного пространства в пространство действительных двумерных веркторов а потом простой геометрией. Если зададите вопрос конкртней дам более точный ответ.
Здравствуйте, Sergey Chadov, Вы писали:
SC>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:
V>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>>Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).
V>>Простите пожалуйста математику учил на английском. Что за ряды? SC>Ну так вестимо Taylor(Maclaurin) series
Через такую ж*пу доказать производную это круто!
"Всё что не убивает нас, делает нас сильнее..."
Да я тоже сейчас что-то подумал, и не придумал, как там замечательный предел в выводе производной присобачить. Есть две очевидных альтернативы: через ряд и с использованием тригонометрических формул.
В том то и дело что вам нужно доказать геом. определение