Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.

... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"! С вами были ведущие — дядя Ньютон и дядя Лейбниц. Спокойной ночи!
Спонсор трансляции — компания Extremе Limited, всё для спорта и туризма.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.

Интересно, что за книжка?
У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы.

Здравствуйте, ДимДимыч, Вы писали:

V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.
ДД>Интересно, что за книжка?
ДД>У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы.
Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x"). Точно так же, "для почти всех чисел" означает "для всех вещественных чисел за исключением множества чисел с лебеговой мерой равной нулю" и т.п.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

ДД>>У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы.
C>Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x").

Такой человек он, принципиальный. "Достаточно малое x" — это допустимо, а вот за "маленькое" выжимал из студентов все соки

C>Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x"). Точно так же, "для почти всех чисел" означает "для всех вещественных чисел за исключением, быть может, множества чисел с лебеговой мерой равной нулю" и т.п.

обычно так

Здравствуйте, vitaly_spb, Вы писали:

C>>Почему? Это достаточно стандартное сокращение для "при x стремящемся к нулю" (хотя обычно говорят "при достаточно малом x"). Точно так же, "для почти всех чисел" означает "для всех вещественных чисел за исключением, быть может, множества чисел с лебеговой мерой равной нулю" и т.п.
_>обычно так
Да, так лучше. Хотя если заниматься буквоедством — мое определение тоже правильное, так как множество исключений может быть пустое

C>Да, так лучше. Хотя если заниматься буквоедством — мое определение тоже правильное, так как множество исключений может быть пустое

Угу)) Мне больше всего нравится название "последовательность почти наверное сходится".

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.

К>... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"! С вами были ведущие — дядя Ньютон и дядя Лейбниц. Спокойной ночи!
К>Спонсор трансляции — компания Extremе Limited, всё для спорта и туризма.

Да нет, там все вполне серьезно. Да и прикол не в этом. Жалко только, что не все сразу замечают. Особенно авторы...

Здравствуйте, ДимДимыч, Вы писали:

ДД>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.

ДД>Интересно, что за книжка?
ДД>У нас бы за фразу "для любых маленьких" на матане декан бы сразу на пересдачу отправил и больше тройки не поставил бы.

книжка заморская... перевод дословный...

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

К>>... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"!
V>Да нет, там все вполне серьезно. Да и прикол не в этом. Жалко только, что не все сразу замечают. Особенно авторы...

Ты уж определись: КУ или не КУ

А то, что в поле бесконечно малых действует иная арифметика, чем в поле обычных чисел, но она по-прежнему сохраняет некоторые свойства... так это же здорово.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

К>>>... Вы прослушали радиопередачу "Матанализ для самых маленьких"!
V>>Да нет, там все вполне серьезно. Да и прикол не в этом. Жалко только, что не все сразу замечают. Особенно авторы...

К>Ты уж определись: КУ или не КУ

Ну еще чего, конечно в КУ.

К>А то, что в поле бесконечно малых действует иная арифметика, чем в поле обычных чисел, но она по-прежнему сохраняет некоторые свойства... так это же здорово.

Такое удивительное доказательство того, что exp(a) * exp(b) = exp(a+b) (для малых a и b, приблизительно!) вижу впервые.

V>

V>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)

Лемма 1 => exp(1 + x + y) ~ 2 + x + y
Следствие, Лемма 2 => exp(1 + x + y) ~ exp(1)*exp(x)*exp(y) ~ exp(1)*(1+x)*(1+y) ~ exp(1)*(1+x+y)

=> 2+x+y ~ exp(1)*(1+x+y)

Так как это верно для любых маленьких x, y (следовательно и для -1000, -1000; но нам нужно лишь 0, 0)
=> 2 ~ exp(1) уже безо всяких x и y

Здравствуйте, vitaly_spb, Вы писали:

V>>

V>>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)

_>Лемма 1 => exp(1 + x + y) ~ 2 + x + y
[]

Начиная отсюда, уже можно было бы подставить x=y=0 и получить то, что Вы получили. Однако это неверно, ибо лемма один для маленьких z, а 1+x+y не маленькое, даже если x и y ОЧЕНЬ МАЛЕНЬКИЕ.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Это не шутка, только что в книжке наткнулся.

V>

V>Лемма 1. Для любого маленького z: exp(z) ~ 1 + z.
V>Лемма 2. Для любых маленьких x, y: (1 + x)(1 + y) ~ 1 + x + y.
V>Следствие. Для любых маленьких x, y: exp(x) * exp(y) ~ exp(x + y)

– Взгляни на этого математика, – сказал логик. – Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любые числа – меньше сотни.
– Физик верит, – сказал математик, – что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делился на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.
– Да, но взгляни на инженера, – возразил физик. – Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 – досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом, но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, – говорит он, – я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.

Из книги Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения, ИЛ, 1957.

Здравствуйте, IID, Вы писали:

IID>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:

NBN>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1

C>>А разве не так?

C>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1

IID>нет конечно
IID>sin x ~ x при x->0
IID>откуда вы косинус взяли-то ?
IID>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс),
IID>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!

Причем бОльшая половина.

Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:

C>Здравствуйте, IID, Вы писали:

IID>>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:

NBN>>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1

C>>>А разве не так?

C>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1

IID>>нет конечно
IID>>sin x ~ x при x->0
IID>>откуда вы косинус взяли-то ?
IID>>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс),
IID>>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!


C>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя

C>А вообще я тока первокурсник

Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы

Здравствуйте, vvs86, Вы писали:

V>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:

C>>Здравствуйте, IID, Вы писали:

IID>>>Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:

NBN>>>>>Из той же серии, что lim(x->0)sin(x)/x = 1

C>>>>А разве не так?

C>>>>lim(x->0) sin x/x = lim(x->0) cos x = 1

IID>>>нет конечно
IID>>>sin x ~ x при x->0
IID>>>откуда вы косинус взяли-то ?
IID>>>А вообще ужас, это ведь основы матанализа, самое начало высшей математики (у некоторых вообще школьный курс),
IID>>>а половина отписавшихся в ветке никаких представлений о этом не имеет!!!


C>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя

C>>А вообще я тока первокурсник

V>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы

Ну можно и без Лопиталя.
Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-... (если надо, доказываем сходимость по признаку знакопеременного ряда)
Замечание. sin(x) нечетная
Утверждение. Для всех 0 < x < sqrt(20): x — x^3/3! < sin(x) < x (показывается легко, т.к. хвост легко ограничить)
Следствие. sin(x)/x->1 при x->0 (теперь очевидно)

Здравствуйте, vvs86, Вы писали:


C>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя

C>>А вообще я тока первокурсник

V>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы

Что такое дифф. в этом контексте вообще?
Для Лопиталя нужен предел формы oo/oo или o/o (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html). lim x->0 sin x стремится к нулю, надеюсь c этим мы оба согласимся? lim x->0 x тоже стремится к нулю. Имеем 0/0. Находим производные знаменателя/числителя.
d/dx (sin x) = cos x, не так ли?
d/dx (x) = 1

lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.

Не пойму где я неправ?

Здравствуйте, chipsеt, Вы писали:

C>Здравствуйте, vvs86, Вы писали:


C>>>Если там sin (x/x) то сорри, не понял синтаксиса. Если там (sin x)/(x) то я готов спорить и вытягивать правило Лопиталя

C>>>А вообще я тока первокурсник

V>>Для дифф. синуса используется этот самый предел (проверь если хочешь) такчто Лопиталь не покатит. Для Лопиталя нужна дифф. а для дифф. нужен предел. Учите основы

C>Что такое дифф. в этом контексте вообще?
C>Для Лопиталя нужен предел формы oo/oo или o/o (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html). lim x->0 sin x стремится к нулю, надеюсь c этим мы оба согласимся? lim x->0 x тоже стремится к нулю. Имеем 0/0. Находим производные знаменателя/числителя.
C>d/dx (sin x) = cos x, не так ли?
C>d/dx (x) = 1

C>lim x->0 cos x = 1 через тупое подставление 0 в cos и признание того что cos не прерывается на хотя-бы интервале -pi/2,pi/2.

C>Не пойму где я неправ?

Да нет, просто что он имел в виду, это что факт d[sin(x)]/dx = cos(x) доказывается с использованием первого замечательного предела (см. выделенное жирным в его замечании выше). На мой взгляд это не обязательно (например, sin и cos определяем через ряды, а их дифференцируемость доказываем по признакам, в этом случае cosx=1 по определению).

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Определение. sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-...

Пааазвольте! Откуда такое определение?