И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 22.01.21 21:14
Оценка:
http://files.rsdn.org/55905/Triangle-10-22-26-28.jpg
геометрия
Re: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: kov_serg Россия  
Дата: 22.01.21 21:17
Оценка: +1
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle-10-22-26-28.jpg

70
Re: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: Шахтер Интернет  
Дата: 25.01.21 15:34
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle-10-22-26-28.jpg


<Ехидно> Может, уже пора от констант перейти к переменным? </>

<Вопрос> А что, теорему синусов в школе больше не преподают? </>
В XXI век с CCore.
Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы
Re[2]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 25.01.21 16:43
Оценка: +1
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш><Ехидно> Может, уже пора от констант перейти к переменным? </>


Интересная часть этих задач в том, как упростить комбинацию тригонометрических функций от "необычных" углов, чтобы в ответе получилось целое число градусов. Иногда это проще сделать не тригонометрически, а с помощью дополнительных геометрических построений.
Re[3]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 25.01.21 16:52
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

Ш>><Ехидно> Может, уже пора от констант перейти к переменным? </>


N>Интересная часть этих задач в том, как упростить комбинацию тригонометрических функций от "необычных" углов, чтобы в ответе получилось целое число градусов. Иногда это проще сделать не тригонометрически, а с помощью дополнительных геометрических построений.


Кстати, если взять общую формулу, подставить туда углы из условия такой задачи, приравнять к правильному ответу, и попросить Mathematica упростить это равенство, то не для всех таких задач она может упростить его до True (т.е. доказать, что равенство действительно верно).
Re[4]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: vopl Россия  
Дата: 25.01.21 19:47
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Интересная часть этих задач в том, как упростить комбинацию тригонометрических функций от "необычных" углов, чтобы в ответе получилось целое число градусов. Иногда это проще сделать не тригонометрически, а с помощью дополнительных геометрических построений.


N>Кстати, если взять общую формулу, подставить туда углы из условия такой задачи, приравнять к правильному ответу, и попросить Mathematica упростить это равенство, то не для всех таких задач она может упростить его до True (т.е. доказать, что равенство действительно верно).


А разве такое можно доказать с помощью дополнительных геометрических построений? Там же тоже будут те самые 69.9999999999999 и 70.0000000000001, разве нет?
Отредактировано 25.01.2021 19:48 vopl . Предыдущая версия .
Re[5]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 25.01.21 23:10
Оценка:
Здравствуйте, vopl, Вы писали:

V>А разве такое можно доказать с помощью дополнительных геометрических построений? Там же тоже будут те самые 69.9999999999999 и 70.0000000000001, разве нет?


Ну посмотри мои другие недавние задачи про углы в этом разделе, там есть примеры построений и основанных на них рассуждений, которые приводят к точному ответу (который выражается целым числом градусов). Там нет никаких приближенных вычислений, только известные теоремы из геометрии.
Re[3]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: Шахтер Интернет  
Дата: 26.01.21 14:50
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:


Ш>><Ехидно> Может, уже пора от констант перейти к переменным? </>


N>Интересная часть этих задач в том, как упростить комбинацию тригонометрических функций от "необычных" углов, чтобы в ответе получилось целое число градусов. Иногда это проще сделать не тригонометрически, а с помощью дополнительных геометрических построений.


Не проверял, но подозреваю, что всё это можно проделать чисто алгебраически манипулируя с синусами.
Я даже подозреваю, что можно дать некоторое описание всех случаев, когда получается целое число градусов.
Вот это было бы наверное реально интересно (но не школьно).
В XXI век с CCore.
Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы
Re: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 27.01.21 16:49
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle-10-22-26-28.jpg


Ответ 70, решение чисто алгебраическое, синусы я там свернул, но это уродство(
Re[2]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: FireHose  
Дата: 27.01.21 23:40
Оценка: 5 (1)
Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:

TB>Здравствуйте, nikov, Вы писали:


N>>Image: Triangle-10-22-26-28.jpg


TB>Ответ 70, решение чисто алгебраическое, синусы я там свернул, но это уродство(





Image: geogebra-export.png

Я заметил, когда превращал произведение синусов в сумму, что для тригонометрического вывода имеет важное значение соотношение sin(26)+sin(34)=sin(86). И я попытался понять, что оно означает геометрически.

На чертеже это соотношение можно увидеть в равенстве sin(ABE)+sin(FEB)=sin(AOB), ведь синусам соответствуют отрезки AE, FB и AB, а треугольники AET и TBF — равносторонние. Точка O — центр окружности.
Кажется отсюда можно вывести, что угол FEB = 34. И как мне кажется после этого решение уже близко.
Re[3]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: FireHose  
Дата: 28.01.21 12:19
Оценка:
Здравствуйте, FireHose, Вы писали:

FH>Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:


TB>>Здравствуйте, nikov, Вы писали:


N>>>Image: Triangle-10-22-26-28.jpg


TB>>Ответ 70, решение чисто алгебраическое, синусы я там свернул, но это уродство(





FH>Image: geogebra-export.png


FH>Я заметил, когда превращал произведение синусов в сумму, что для тригонометрического вывода имеет важное значение соотношение sin(26)+sin(34)=sin(86). И я попытался понять, что оно означает геометрически.


FH>На чертеже это соотношение можно увидеть в равенстве sin(ABE)+sin(FEB)=sin(AOB), ведь синусам соответствуют отрезки AE, FB и AB, а треугольники AET и TBF — равносторонние. Точка O — центр окружности.

FH>Кажется отсюда можно вывести, что угол FEB = 34. И как мне кажется после этого решение уже близко.

Хм, все эти построения сами по себе ничего не дают. FEB = 34 — это итак ясно.
Возможно, надо как-то ещё обыграть sin(54)=sin(18)+sin(30). Это соотношение тоже возникает в тригонометрическом решении.
Re[4]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: kov_serg Россия  
Дата: 28.01.21 12:58
Оценка: 5 (1)
Здравствуйте, FireHose, Вы писали:


FH>Хм, все эти построения сами по себе ничего не дают. FEB = 34 — это итак ясно.

FH>Возможно, надо как-то ещё обыграть sin(54)=sin(18)+sin(30). Это соотношение тоже возникает в тригонометрическом решении.
Ну это равенство просто можно проверить так:
sin(30)=sin(54)-sin(18)

sin(54)-sin(18)=2*sin((54-18)/2)*cos((54+18)/2)
=2*sin(18)*cos(36)
=2*sin(18)*cos(18)/cos(18)*cos(36)
=sin(36)*cos(36)/cos(18)
=0.5*sin(72)/cos(18)
=0.5*cos(18)/cos(18)
=0.5

sin(30)=0.5

FH>...тригонометрического вывода имеет важное значение соотношение sin(26)+sin(34)=sin(86)
sin(26)+sin(34)=sin(86)
2*sin((26+34)/2))*cos((26-34)/2)=sin(86)
2*sin(30)*cos(4)=sin(86)
2*0.5*sin(86)=sin(86)
1=1
Re[5]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: FireHose  
Дата: 28.01.21 15:10
Оценка:
Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, FireHose, Вы писали:



FH>>Хм, все эти построения сами по себе ничего не дают. FEB = 34 — это итак ясно.

FH>>Возможно, надо как-то ещё обыграть sin(54)=sin(18)+sin(30). Это соотношение тоже возникает в тригонометрическом решении.
_>Ну это равенство просто можно проверить так:
_>
_>sin(30)=sin(54)-sin(18)

_>sin(54)-sin(18)=2*sin((54-18)/2)*cos((54+18)/2)
_>=2*sin(18)*cos(36)
_>=2*sin(18)*cos(18)/cos(18)*cos(36)
_>=sin(36)*cos(36)/cos(18)
_>=0.5*sin(72)/cos(18)
_>=0.5*cos(18)/cos(18)
_>=0.5

_>sin(30)=0.5
_>

FH>>...тригонометрического вывода имеет важное значение соотношение sin(26)+sin(34)=sin(86)
_>
_>sin(26)+sin(34)=sin(86)
_>2*sin((26+34)/2))*cos((26-34)/2)=sin(86)
_>2*sin(30)*cos(4)=sin(86)
_>2*0.5*sin(86)=sin(86)
_>1=1
_>


Это да, тригонометрически можно.
Идея проверить это равенство геометрически. Какие-нибудь правильные треугольники и т.д.
И потом может быть найти что-то похожее в задаче про углы.
Для
sin(26)+sin(34)=sin(86)
получилось, а для
sin(30)=sin(54)-sin(18)
пока нет. Ясно, что 54 связан с пятиугольником, но пока это не помогает.
Re[3]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 28.01.21 20:10
Оценка:
Здравствуйте, FireHose, Вы писали:

FH>Я заметил, когда превращал произведение синусов в сумму, что для тригонометрического вывода имеет важное значение соотношение sin(26)+sin(34)=sin(86). И я попытался понять, что оно означает геометрически.


Да, я когда сворачивал синусы, тоже прошёл через это равенство.
Геометрически это очень просто: наклони равносторонний треугольник на 34 градуса и померяй проекцию расстояния между верхней и нижней точкой на вертикальную ось двумя способами: как проекцию левой стороны, или как сумму проекций правых сторон.
А дальше я хз(
Re[2]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: alpha21264 СССР  
Дата: 15.03.21 15:37
Оценка:
Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:

TB>Здравствуйте, nikov, Вы писали:


N>>Image: Triangle-10-22-26-28.jpg


TB>Ответ 70, решение чисто алгебраическое, синусы я там свернул, но это уродство(


А разве не достаточно знать, что сумма углов в треугольнике 180?
http://s19.rimg.info/0871fde0709f1bd37b3b012eb22a4583.gif
Течёт вода Кубань-реки куда велят большевики.
Re[3]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 15.03.21 17:48
Оценка:
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:

A>А разве не достаточно знать, что сумма углов в треугольнике 180?


Нет, если использовать только это, то неизвестных будет больше, чем независимых уравнений.
Re[3]: И ещё один: 10°, 22°, 26°, 28°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 15.03.21 19:58
Оценка:
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:

A>А разве не достаточно знать, что сумма углов в треугольнике 180?


Нет. Попробуй предположить, что там 80 градусов, на противоречие на напорешься, если будешь просто считать углы.
 
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.