И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 17.01.21 19:37
Оценка:
http://files.rsdn.org/55905/Triangle8-1000x615.jpg
Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.
геометрия
Re: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: Qulac Россия  
Дата: 17.01.21 19:59
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.

Где-то наверно точно обсчитался: 85,5 Но идея такая: тот угол — 164-?, другой угол — 360-111-164-? = 85-? и т.д. пока не получится уравнение с одним ?. Его и решаем.
Программа – это мысли спрессованные в код
Re[2]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 17.01.21 20:57
Оценка:
Здравствуйте, Qulac, Вы писали:

N>>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.

Q>Где-то наверно точно обсчитался: 85,5 Но идея такая: тот угол — 164-?, другой угол — 360-111-164-? = 85-? и т.д. пока не получится уравнение с одним ?. Его и решаем.


Эту задачу (как и две мои предыдущие) невозможно решить, используя только баланс углов в треугольниках; там всегда будет не хватать одного уравнения. Нужно ещё использовать теорему синусов, или теорему косинусов, или какой-то их эквивалент.
В этой задаче ответ выражается целым числом градусов (но это не часть условия, на это нельзя полагаться в её решении).
Re[3]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: Pzz Россия https://github.com/alexpevzner
Дата: 17.01.21 21:35
Оценка: +1
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Эту задачу (как и две мои предыдущие) невозможно решить, используя только баланс углов в треугольниках; там всегда будет не хватать одного уравнения. Нужно ещё использовать теорему синусов, или теорему косинусов, или какой-то их эквивалент.


Почему невозможно?

Верхний угол нижнего внутреннего треугольника подсчитать несложно, потому, что известны два других его угла. Дальше, у нас есть 4 неизвестных угла, и 4 уравнения:
1. сумма углов верхнего левого треугольника
2. сумма углов верхнего правого треугольника
3. сумма углов вокруг общей вершины в середине
4. сумма углов вокруг самой верхней вершины (которая известна потому, что известны остальные 2 угла внешнего треугольника)

Мне сейчас больше хочется спать, чем думать, но вроде как все эти уравнения линейно независимы
Re: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 17.01.21 21:46
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.

Я при помощи автокада нашёл ответ, но нормального решения дать пока не могу
Re[4]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 17.01.21 21:49
Оценка:
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:

Pzz>Мне сейчас больше хочется спать, чем думать, но вроде как все эти уравнения линейно независимы


Они линейно зависимы.
Re: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: kov_serg Россия  
Дата: 18.01.21 09:49
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.
67
Re[2]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: FireHose  
Дата: 18.01.21 16:44
Оценка:
Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, nikov, Вы писали:


N>>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.
_>67


Можно через теорему синусов или через теорему Чевы (как советовал Буравчик) убедиться, что нужно проверить

sin(67) sin(7) sin(32) = sin(21) sin(37) sin(16).

Имеем следующую цепочку эквивалентных уравнений
2 sin(67) sin(7) cos(16) = sin(21) sin(37).

2 (cos(67-7)-cos(67+7)) cos(16) = cos(37-21)-cos(37+21).

2 (1/2-cos(74)) cos(16) = cos(16)-cos(58).

cos(16) — 2 sin(16) cos(16) = cos(16) — sin(32).
Re: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 18.01.21 17:57
Оценка: 15 (1)
Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.

Эта попроще
  ответ
http://files.rsdn.org/121311/screen120117.png

Строим точки E, F так, чтоб OAE=7, ECA=16, FAB=16.
Замечаем, что FAE=EAC, DCE=ECA, значит AE, EC это биссектрисы в AFC, значит AFE=EFC=44
Далее, FAB=FCB=16, значит FACB вписанный, значит BFC=44.
Значит E, B симметричный относительно FC, OD, OA биссектрисы в ABD, значит ABO=21, значит OBC=67
Отредактировано 18.01.2021 19:35 T4r4sB . Предыдущая версия .
Re[2]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: kov_serg Россия  
Дата: 18.01.21 19:14
Оценка:
Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:

TB>Эта попроще

TB>
  ответ
TB>Image: screen120117.png

TB>Строим точки E, F так, чтоб OAE=7, ECA=7, FAB=16.

TB>Замечаем, что FAE=EAC, DCE=ECA, значит AE, EC это биссектрисы в AFC, значит AFE=EFC=44
TB>Далее, FAB=FCB=16, значит FACB вписанный, значит BFC=44.
TB>Значит E, B симметричный относительно FC, OD, OA биссектрисы в ABD, значит ABO=21, значит OBC=67

Че-то туплю почему BFC=44 ?
Re[2]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 18.01.21 19:32
Оценка:
Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:

TB>
  Скрытый текст
TB>Строим точки E, F так, чтоб OAE=7, ECA=7, FAB=16.
TB>Замечаем, что FAE=EAC, DCE=ECA, значит AE, EC это биссектрисы в AFC, значит AFE=EFC=44
TB>Далее, FAB=FCB=16, значит FACB вписанный, значит BFC=44.
TB>Значит E, B симметричный относительно FC, OD, OA биссектрисы в ABD, значит ABO=21, значит OBC=67


ECA = 7°? На чертеже не так.
Re[3]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 18.01.21 19:34
Оценка:
Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, T4r4sB, Вы писали:


TB>>Эта попроще

TB>>
  ответ
TB>>Image: screen120117.png

TB>>Строим точки E, F так, чтоб OAE=7, ECA=7, FAB=16.

TB>>Замечаем, что FAE=EAC, DCE=ECA, значит AE, EC это биссектрисы в AFC, значит AFE=EFC=44
TB>>Далее, FAB=FCB=16, значит FACB вписанный, значит BFC=44.
TB>>Значит E, B симметричный относительно FC, OD, OA биссектрисы в ABD, значит ABO=21, значит OBC=67

_>Че-то туплю почему BFC=44 ?
Потому что FACB вписанный, а в нём BAC=44
Re[3]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: T4r4sB Россия  
Дата: 18.01.21 19:35
Оценка:
Здравствуйте, nikov, Вы писали:


N>ECA = 7°? На чертеже не так.

Тьфу, ECA чтоб было 16
Re[3]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: FireHose  
Дата: 19.01.21 16:33
Оценка:
Здравствуйте, FireHose, Вы писали:

FH>Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:


_>>Здравствуйте, nikov, Вы писали:


N>>>Image: Triangle8-1000x615.jpg

N>>>Угол, который требуется найти, точно выражается целым числом градусов. Я понимаю, что можно нарисовать и измерить, но я предлагаю найти строгое геометрическое или тригонометрическое решение. Кстати, углы на картинке изображены по возможности верно.
_>>67


FH>Можно через теорему синусов или через теорему Чевы (как советовал Буравчик) убедиться, что нужно проверить


FH>sin(67) sin(7) sin(32) = sin(21) sin(37) sin(16).


FH>Имеем следующую цепочку эквивалентных уравнений

FH>2 sin(67) sin(7) cos(16) = sin(21) sin(37).

FH>2 (cos(67-7)-cos(67+7)) cos(16) = cos(37-21)-cos(37+21).


FH>2 (1/2-cos(74)) cos(16) = cos(16)-cos(58).


FH>cos(16) — 2 sin(16) cos(16) = cos(16) — sin(32).


Заметил, что если сделать замену
37 -> 45 — t/2
7 -> 15 — t/2
32 -> 2 * t
16 -> t
67 -> 75 — t/2,
то по той же логике равенство будет снова верным.
Re[4]: И ещё один угол: 7°, 37°, 32°, 16°
От: kov_serg Россия  
Дата: 19.01.21 17:05
Оценка: 5 (1)
Здравствуйте, FireHose, Вы писали:

FH>Заметил, что если сделать замену

FH>37 -> 45 — t/2
FH>7 -> 15 — t/2
FH>32 -> 2 * t
FH>16 -> t
FH>67 -> 75 — t/2,
FH>то по той же логике равенство будет снова верным.

Я вообще-то не заморачивался взял треугольник ABC с точкой D внутри нижняя AB=1 выписал:
DC/sin(16)=DB/sin(a)
DC/sin(7)=DA/sin(88-a)
DB/DA=sin(37)/sin(32)
Поделил первое на второе
sin(7)/sin(16)=DB/DA*sin(88-a)/sin(a)
вставил третье, и разлил синус разности
sin(7)*sin(32)/sin(37)/sin(16)=(sin(88)*sin(a)-sin(a)*cos(88))/sin(a)
в итоге
a=atan( sin(88)/( cos(88) + sin(7)*sin(32)/sin(37)/sin(16) ) )

вычисляем a=67
 
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.