Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Б>Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

Если числа, начинающиеся с нуля допускаются, то

N= C(10,3)*C(10,3)*6!/3!/3! = 10*9*8/3/2 * 10*9*8/3/2 * 6*5*4*3*2/3/2/3/2 = 288000

Пардон, соврал , вот так, пожалуй

N= 5^3 * 5^3 * 6! / 3! /3! = 312500

C нуля числа — _не_ __шестизначные__.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>>Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Б>>Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

P>Если числа, начинающиеся с нуля допускаются, то

P>N= C(10,3)*C(10,3)*6!/3!/3! = 10*9*8/3/2 * 10*9*8/3/2 * 6*5*4*3*2/3/2/3/2 = 288000

Хм, а C(10,3) откуда? По-моему:
N = (P(5,3) — 5*C(3,2)*5 + 5)^2*A(6,3) = 363000

Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Б>Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

Цифры могут повторяться или нет?? типа "111000"?

Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>C нуля числа — _не_ __шестизначные__.
тодга:
5^3*5^3*6!/3!/3!-5^3*5^2*5!/2!/3!
=281250

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

L>Хм, а C(10,3) откуда? По-моему:
L>N = (P(5,3) — 5*C(3,2)*5 + 5)^2*A(6,3) = 363000

Для чисел начинающихся не с 0:
N = 9*[(P(5,3) — 5*C(3,2)*5 + 5) * (P(5,2) — 5)]*A(5,3) = 198000

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

Б>>C нуля числа — _не_ __шестизначные__.
C>тодга: 5^3*5^3*6!/3!/3!-5^3*5^2*5!/2!/3!=281250

Факт!

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

P>>N= C(10,3)*C(10,3)*6!/3!/3! = 10*9*8/3/2 * 10*9*8/3/2 * 6*5*4*3*2/3/2/3/2 = 288000

L>Хм, а C(10,3) откуда?

от лукавого я уже поправился

По-моему:
L>N = (P(5,3) — 5*C(3,2)*5 + 5)^2*A(6,3) = 363000

нет, любые С() здесь не нужны — цифры могут повторяться

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

Б>>>C нуля числа — _не_ __шестизначные__.
C>>тодга: 5^3*5^3*6!/3!/3!-5^3*5^2*5!/2!/3!=281250

P>Факт!

Логику в студию, pls. Мне интересно, как вы учитываете перестановки дублирующихся цифр без формулы включений/исключений.

Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Б>Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

Числа вида OOOEEE -- 5^6 вариантов.
Перестановки OOEOEE, OOEEOE и т.д. -- C(3,6) = (6*5*4)/(1*2*3) = 20.
Итого: 20 * 5^6 = 312500.

Пятизначные числа 0{OOEEE} -- 5^5 * C(3,5) = 5^5 * (5*4)/(2*1) = 5^3*2 = 250

Итого, подлинно 6-значных — 312250.

Программа, которая выводит отсортированный список, не совершая неудачных попыток

int count = 0;

int digit[6]; // 0..10
int parity[2] = {0, 0}; // 0..3

void run(int d)
{
  if(i == 6)
  {
    count++;
    printf("[ %6d ] %d %d %d %d %d %d\n",
           count, digit[0],digit[1],digit[2],digit[3],digit[4],digit[5],digit[6]
          );
    return;
  }

  if(parity[0] < 3 && parity[1] < 3) // сплошной бег
  {
    for(digit[d] = (d == 0) ? 1 : 0; digit[d] < 10; digit[d]++) // первая цифра 1..10.
    {
      parity[digit[d] % 2] ++;
      run(d+1);
      parity[digit[d] % 2] --;
    }
  }
  else
  {
    int p = (parity[0] < 3) ? 0 : 1; // четность, которая осталась вакантной
    parity[p]++;
    for(digit[d] = p; digit[d] < 10; digit[d] += 2)
      run(d+1);
    parity[p]--;
  }
}

main()
{
  run(0);
}

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

Б>>>>C нуля числа — _не_ __шестизначные__.
C>>>тодга: 5^3*5^3*6!/3!/3!-5^3*5^2*5!/2!/3!=281250

P>>Факт!

L>Логику в студию, pls. Мне интересно, как вы учитываете перестановки дублирующихся цифр без формулы включений/исключений.

Пусть первый ноль разрешён.

Первую чётную цифру можно выбрать пятью способами. Вторую тоже. И третью.
Та же байда с нечётными — отсюда шесть пятёрок множителями.

Цифры мы выбрали, теперь нодо решить, как их расставить промеж друг друга.
Иными словами, сколько всего различных на вид расстановок трёх одинаковых белых шаров и трёх одинаковых чёрных.
Всего перестановок 6!, но там полно одинаковых на вид — там где только два белых поменялись или только два чёрных. Чтобы их убить, делим на число перестановок самих белых и самих чёрных (два делителя по 3!).

Если первый ноль запрещён, то вычитаем все начинающиеся с нуля — та же формула, но для 2 чётных + 3 нечётных.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Пятизначные числа 0{OOEEE} -- 5^5 * C(3,5) = 5^5 * (5*4)/(2*1) = 5^3*2 = 250
К>Итого, подлинно 6-значных — 312250.

В центральном знаке равенства потерял три пятёрки
Верный ответ для пятизначных 5^5*10=31250
а для подлинно шестизначных 281250 (by Chorkov)

Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Б>Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

Ответ: 19*5^6-10*5^5=265625

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, Багер, Вы писали:

Б>>Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х чётных и 3-х нечётных цифр.
Б>>Нужно как математическое решение, так и программа, проверяющая методом перебора математику.

А>Ответ: 19*5^6-10*5^5=265625

Ошибся : 20 вместо 19
те 281250

Уууу-х, просветили, однако!
Скоро обрадую брательника моего знакомого, что мы всё-таки правильно в Экселе написали программу, а вот решение было неправильным ))
Спасибо!

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

L>>Логику в студию, pls. Мне интересно, как вы учитываете перестановки дублирующихся цифр без формулы включений/исключений.

P>Пусть первый ноль разрешён.

P>Первую чётную цифру можно выбрать пятью способами. Вторую тоже. И третью.
P>Та же байда с нечётными — отсюда шесть пятёрок множителями.

Это я понимаю.

P>Цифры мы выбрали, теперь нодо решить, как их расставить промеж друг друга.
P>Иными словами, сколько всего различных на вид расстановок трёх одинаковых белых шаров и трёх одинаковых чёрных.

Неа, такая логика тут не работает. Сначала ты считаешь число РАЗЛИЧНЫХ упорядоченных выборок из отдельно четных и отдельно нечетных цифр. Далее ты хочешь это умножить на число перестановок ОДНОЙ конкретной выборки. В этой выбоке у тебя присутствуют КОНКРЕТНЫЕ цифры. Их никак нельзя считать шарами одного цвета.

P>Всего перестановок 6!, но там полно одинаковых на вид — там где только два белых поменялись или только два чёрных. Чтобы их убить, делим на число перестановок самих белых и самих чёрных (два делителя по 3!).

Впрочем, ответ действительно правильный.

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

P>>Первую чётную цифру можно выбрать пятью способами. Вторую тоже. И третью.
P>>Та же байда с нечётными — отсюда шесть пятёрок множителями.

L>Это я понимаю.

P>>Цифры мы выбрали, теперь нодо решить, как их расставить промеж друг друга.
P>>Иными словами, сколько всего различных на вид расстановок трёх одинаковых белых шаров и трёх одинаковых чёрных.

L>Неа, такая логика тут не работает. Сначала ты считаешь число РАЗЛИЧНЫХ упорядоченных выборок из отдельно четных и отдельно нечетных цифр. Далее ты хочешь это умножить на число перестановок ОДНОЙ конкретной выборки. В этой выбоке у тебя присутствуют КОНКРЕТНЫЕ цифры. Их никак нельзя считать шарами одного цвета.

Ну почему? В числе всегда есть первая, вторая и третья чётная цифра.

Ну хорошо, давай так: чисел вида чччннн 5^6 — да?
Теперь из каждого такого числа перестановками можно получить 6!/3!/3! различных чисел.
Например ччннчн, чнннчч, нннччч — всего 20 вариантов, посчитай.
Типичная задача о трёх чёрных (ч) и трёх белых (н) шарах.

L>Впрочем, ответ действительно правильный.

И это всё доказывает, таких совпадений не бывает

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ну хорошо, давай так: чисел вида чччннн 5^6 — да?
P>Теперь из каждого такого числа перестановками можно получить 6!/3!/3! различных чисел.
P>Например ччннчн, чнннчч, нннччч

У, блин. Это просто дословно сдуто у Кодта

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ну хорошо, давай так: чисел вида чччннн 5^6 — да?

С этим я и не спорил.

P>Теперь из каждого такого числа перестановками можно получить 6!/3!/3! различных чисел.

Ты забыл сказать какими перестановками. Перестановками, сохраняющими порядок четных чисел относительно четных и нечетных относительно нечетных — да. Любыми перестановками — от 6!/3!/3! для числа вида 111000 до 6! для числа вида 135246.

P>Например ччннчн, чнннчч, нннччч — всего 20 вариантов, посчитай.
P>Типичная задача о трёх чёрных (ч) и трёх белых (н) шарах.

Ничего общего с задачей о трех черных и 3-х белых шарах. В данном случае шары в группах могут быть как тождественны, так и нет.

L>>Впрочем, ответ действительно правильный.

P>И это всё доказывает, таких совпадений не бывает
Неа, это только доказывает, что тебе и Кодту повезло. Интуитивно вы получили правильный ответ из неправильных рассуждений, что бывает довольно часто.

Одним из вариантов правильного рассуждения тут будет подсчет числа перестановок, сохраняющих порядок цифр(упомянутых выше). Они разбивают все множество перестановок на классы эквивалентности. Причем в каждом таком классе ровно 20 элементов, а самих классов 5^6.

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

P>>Теперь из каждого такого числа перестановками можно получить 6!/3!/3! различных чисел.

L>Ты забыл сказать какими перестановками. Перестановками, сохраняющими порядок четных чисел относительно четных и нечетных относительно нечетных — да.

Именно так! Мы сначала расставили их в нужном порядке (отдельно чётные, отдельно нечётные).
После этого начинаем переставлять все шесть, но так, чтобы порядок чётных не менялся и
порядок нечётных тоже.

Обрати внимание, перед этой процедурой мы как бы перенумеруем все чётные цифры и все нечётные. Т.е. если даже там две пятёрки, то всё равно одна из них будет первой, другая второй. Когда мы требуем, чтобы порядок чётных не менялся, мы говорим именно о порядке этих номеров, а не самих значений цифр !

Если бы требования не было, мы получили бы 6! вариантов.
Но оно есть.
Поэтому из этой оравы нам нужно выбрать только некоторые.
Т.е. на что-то разделить.
Из всей группы вариантов, отличающихся только перестановками чётных,
нам подходит всего один вариант — #1,#2,#3 — один из шести.
То же самое с нечётными (белыми шарами ).
Итого надо 6! разделить два раза на 3!

P>>Типичная задача о трёх чёрных (ч) и трёх белых (н) шарах.
L>Ничего общего с задачей о трех черных и 3-х белых шарах. В данном случае шары в группах могут быть как тождественны, так и нет.

Все цифры тождественны в том смысле что чётные. Ну я не знаю, как ещё сказать.

L>>>Впрочем, ответ действительно правильный.
P>>И это всё доказывает, таких совпадений не бывает
L>Неа, это только доказывает, что тебе и Кодту повезло.

Любишь ты поспорить

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

L>Неа, это только доказывает, что тебе и Кодту повезло. Интуитивно вы получили правильный ответ из неправильных рассуждений, что бывает довольно часто.

Какие такие неправильные рассуждения?

L>Одним из вариантов правильного рассуждения тут будет подсчет числа перестановок, сохраняющих порядок цифр(упомянутых выше). Они разбивают все множество перестановок на классы эквивалентности. Причем в каждом таком классе ровно 20 элементов, а самих классов 5^6.

Окэй, будем говорить о классах эквивалентности .
1) Cуществуют классы эквивалентности чисел по взаиморасположению четных/нечетных цифр.
2) Мощность класса OOOEEE — 5^6.
3) Классы равномощны, это легко показать.
4) Количество классов — С(3,6) = 20
5) Исключим класс менее-чем-6-значных чисел, он имеет вид 0{OOOEE}
6) Подкласс этого класса с зафиксированными позициями чет-нечет, 0OOOEE имеет мощность 5^5.
7) Подклассы равномощны
8) Их количество — C(2,5) = 10
9) Итого, мощноть множества интересующих нас чисел = 20*5^6 — 10*5^5.

Где здесь неправильно?
Сказал все то же самое, но вдвое длиннее.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>>>Теперь из каждого такого числа перестановками можно получить 6!/3!/3! различных чисел.

L>>Ты забыл сказать какими перестановками. Перестановками, сохраняющими порядок четных чисел относительно четных и нечетных относительно нечетных — да.

P>Именно так! Мы сначала расставили их в нужном порядке (отдельно чётные, отдельно нечётные).
P>После этого начинаем переставлять все шесть, но так, чтобы порядок чётных не менялся и
P>порядок нечётных тоже.

В общем-то, это нужно было сразу оговаривать.

P>Обрати внимание, перед этой процедурой мы как бы перенумеруем все чётные цифры и все нечётные. Т.е. если даже там две пятёрки, то всё равно одна из них будет первой, другая второй. Когда мы требуем, чтобы порядок чётных не менялся, мы говорим именно о порядке этих номеров, а не самих значений цифр !

Да в общем, мне это можно уже не объяснять.

P>Если бы требования не было, мы получили бы 6! вариантов.
P>Но оно есть.
P>Поэтому из этой оравы нам нужно выбрать только некоторые.
P>Т.е. на что-то разделить.

Классный аргумент.

P>Из всей группы вариантов, отличающихся только перестановками чётных,
P>нам подходит всего один вариант — #1,#2,#3 — один из шести.
P>То же самое с нечётными (белыми шарами ).
P>Итого надо 6! разделить два раза на 3!

Очень запутано. Можно рассуждать проще. Нужно выбрать 3 позиции для четных (или для нечетных, если так больше нравится) чисел из 6. Причем порядок выбора не существенен (т.к. порядок цифр, расставляемых по этим позициям фиксирован). Это классическая задача на число вариантов раскладывания M тождественных объектов (шаров) в N различных урн, когда в урну нельзя класть больше одного объекта.
Т.е. это выборка M элементов из N без учета порядка.

P>>>Типичная задача о трёх чёрных (ч) и трёх белых (н) шарах.
L>>Ничего общего с задачей о трех черных и 3-х белых шарах. В данном случае шары в группах могут быть как тождественны, так и нет.

Насчет ничего общего, я конечно не прав, но аналогия довольно туманная.

P>Все цифры тождественны в том смысле что чётные. Ну я не знаю, как ещё сказать.

Тогда лучше промолчать.

L>>>>Впрочем, ответ действительно правильный.
P>>>И это всё доказывает, таких совпадений не бывает
L>>Неа, это только доказывает, что тебе и Кодту повезло.

P>Любишь ты поспорить

Люблю. Но в данном случае, ИМХО, это вполне по делу.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

L>>Неа, это только доказывает, что тебе и Кодту повезло. Интуитивно вы получили правильный ответ из неправильных рассуждений, что бывает довольно часто.

К>Какие такие неправильные рассуждения?

Те, что ты написал. Мысли я читать не умею, но, видимо, они у тебя слегка разошлись с текстом.

>Перестановки OOEOEE, OOEEOE и т.д. -- C(3,6) = (6*5*4)/(1*2*3) = 20.

Вчера вот этой фразой ты (и Pushkin аналогичной фразой) ввели меня в ступор на некоторое время, хотя я всегда считал, что в математике (и в том числе в комбинаторике) я что-то соображаю.
Просто слово "перестановка" у меня (да и не только у меня, ИМХО) ассоциируется с вполне конкретной вещью. И если не накладывать дополнительных условий на вид перестановок (а ты их не накладывал), то получается, что это утверждение попросту неверно.

L>>Одним из вариантов правильного рассуждения тут будет подсчет числа перестановок, сохраняющих порядок цифр(упомянутых выше). Они разбивают все множество перестановок на классы эквивалентности. Причем в каждом таком классе ровно 20 элементов, а самих классов 5^6.

К>Окэй, будем говорить о классах эквивалентности .
К>1) Cуществуют классы эквивалентности чисел по взаиморасположению четных/нечетных цифр.
К>2) Мощность класса OOOEEE — 5^6.
К>3) Классы равномощны, это легко показать.
К>4) Количество классов — С(3,6) = 20
К>5) Исключим класс менее-чем-6-значных чисел, он имеет вид 0{OOOEE}
К>6) Подкласс этого класса с зафиксированными позициями чет-нечет, 0OOOEE имеет мощность 5^5.
К>7) Подклассы равномощны
К>8) Их количество — C(2,5) = 10
К>9) Итого, мощноть множества интересующих нас чисел = 20*5^6 — 10*5^5.

К>Где здесь неправильно?

Здесь все правильно, т.к. слово перестановка тут уже не присутствует.