Вот, нашел в архиве свою (недописанную) заметку, по мотивам книги Владимира Лефевра "Конфликтующие структуры".
Вдруг кому интересно окажется.
Логические парадоксы
Сначала -- маленькая разминка для ума.
В театре "Глобус" в воскресенье должен был идти "Гамлет".
В субботу вечером Шерлок Холмс, пиликая на скрипке, обработал собранную за день информацию и понял, что спектакль отменят из-за смерти исполнителя Тени Отца.
На следующее утро, "Sunday Telegraph" на первой полосе поместило объявление о срыве спектакля.
-- Доктор Ватсон! -- Воскликнул Холмс. -- Это заключительное звено. Мы немедленно отправляемся на Даунинг-стрит!
-- Но дорогой Холмс, Вы еще вчера знали об убийстве! Что здесь нового?!
-- Элементарно, Ватсон. Теперь я знаю [...]
Теперь Холмс знает, что остальные лондонцы (по крайней мере, читатели Sunday Telegraph) тоже знают об этом.
. . .
Анекдот:
— Что такое логика?
— Представь себе: по улице идут чистый и грязный. Кто из них идет в баню? Грязный, потому что ему нужно помыться. Это и есть логика.
— Что такое диалектика?
— Грязный потому и грязный, что в баню не ходит. В баню идет чистый.
— Что такое философия?
— А бог знает, кто идет в баню...
. . .
Существуют такие загадки и парадоксы, решение которых зависит от "мыслей" персонажей.
. . .
Парадокс заключенного:
Прокурор арестовал двух преступников-"подельщиков", но не имея достаточных улик, решил выбить признание. Для этого он развел их по камерам и предоставил каждому выбор:
* Если оба не сознаются, прокурор обвинит их в легком преступлении (например, ношение оружия).
* Если оба сознаются, они получат умеренное наказание.
* Если признается только один, то он пройдет по делу как свидетель, а второй получит максимальное наказание.
Что должен сделать каждый из преступников?
Вариант (1)
Где я получаю минимум?
— если я признаюсь, а подельщик не признается.
Результат: оба признаются.
Вариант (2)
Выгоднее всего обоим не признаться. Если подельщик приходит к такому выводу, то я могу поправить свое положение и признаться (подставив его, тем самым). Но он тоже может догадаться об этом и признаться.
Результат: оба признаются.
Вариант (3)
Если я не признаюсь, то если подельщик этим воспользуется, и я получу максимум. Если признаюсь, то в крайнем случае получу умеренное наказание. Поэтому выгоднее признаться.
Результат: оба признаются.
К радости прокурора. Хотя могли бы и оба не признаться.
. . .
Но давайте увеличим контраст.
Парадокс дуэлянта:
Два дуэлянта стреляются на деньги. Каждый внес в банк равную долю. Выстрелы производятся одновременно.
* Если оба промахнутся, они забирают свои ставки.
* Если оба погибнут, банк забирает банкир.
* Если один застрелит другого, он забирает банк.
Те же способы мышления
(1) Убить выгоднее (банк будет моим)
Стреляет.
(2) Если выстрелю и убью, то деньги -- мои. Но и противник сделает так же и оба погибнем. Поэтому стрелять не имеет смысла. Но и противник поймет это. Я воспользуюсь этим и выстрелю.
Зациклился.
(3) Если не выстрелю, то этим воспользуется противник и заберет и деньги, и мою жизнь. Если выстрелю, то у меня есть шанс. Лучшее из худшего -- выстрелить.
Стреляет.
. . .
Еще более трагичная ситуация:
Артиллерист и пехотинец ведут позиционную войну. Пехотинец укрывается в одном из окопов, а артиллерист стреляет. Выстрел накрывает несколько окопов сразу, но не все.
Каковы оптимальные стратегии обоих?
Пехотинец рассчитывает вероятности поражения каждого окопа в предположении, что артиллерист прицеливается с равными вероятностями. И собирается укрыться в наиболее безопасном окопе. Но артиллерист, проведя такой же расчет, целится в этот самый окоп, что
меняет распределение поражения окопов. Пехотинец делает вторую итерацию, артиллерист -- тоже.
Если пространство решений ограничено и нет недостижимых для артиллериста окопов, оба зацикливаются.
. . .
Отложим на время наших антигероев.
Загадка про трех мудрецов.
Три мудреца поспорили, кто умнее, но не смогли договориться и обратились к прохожему -- рассудить их.
Прохожий сказал: "У меня 3 белых и 2 черных колпака. Я надену их на вас так, что вы не сможете разглядеть их у себя на голове. Кто первым догадается о цвете своего колпака, тот и умнее."
... Через некоторое время один мудрец воскликнул: "У меня белый колпак!"
Как он догадался?
Для краткости введем отношение (мудрец : цвет), мудрецы -- 1,2,3, цвет -- ч,б
(1) -- тот, кто догадался.
(1) "Я вижу 2:б и 3:б.
Если 1:ч, то
(2) видит 1:ч и 3:б.
Если 2:ч, то
(3) видит 1:ч и 2:ч.
Следовательно, 3:б.
Но (3) не догадался.
Следовательно, 2:б.
Но (2) не догадался.
Следовательно, 1:б.
Есть еще более короткое рассуждение. Дело в том, что ситуация включает в себя не только мудрецов, но и судью.
(1) (Еще не оглядевшись по сторонам)
Если судья справедливый, он создаст нам равные условия. Тогда на мне белый колпак.
Если судья хочет кого-нибудь выделить, он наденет на двух других черные колпаки.
Если судья хочет кого-либо засудить, он просто выделит другого.
(Увидел перед собой два белых колпака) Значит, судья справедливый, а на мне белый колпак.
. . .
Во всех этих рассуждениях есть маленький изъян: герой думает за других.
И оказывается, можно найти закономерность в мышлении. Есть даже математический аппарат, используемый в теории игр: это теория конфликтующих структур [Лефевр].
Самый популярный метод мышления -- это минимакс. Он основан на двух моментах:
— законе Мерфи (из всех возможностей скорее случится худшее)
— ограниченности логического анализа.
Персонаж, следующий максимину, не способен догадаться о намерениях других персонажей, но предполагает (по закону Мерфи), что они способны на это.
Минимакс приводит иногда к интересным эффектам.
Первый -- эффект горизонта, который возникает в играх с противоположными интересами участников: в шахматах, например. Суть его в том, что поиск ведется до некоторой глубины, поэтому игрок может предпочесть тяжелый урон в далеком будущем легкой жертве в близком.
В примере с артеллеристом и пехотинцем (если они не поймут, что зациклились), условно-оптимальное решение есть функция от числа итераций, или глубины анализа. И если глубина эта у противников разная, может возникнуть эффект "Айболита-66": "Проклятый докторишка думал, что мы его обманем, а мы на кой черт пошли в обход!"
Второй эффект -- возникновение фокальных (экстремальных) точек -- появляется в ситуациях с общим интересом. Например, если вместо артиллерии противника будет десант союзника, идущий на подмогу.
Пехотинец полагает, что десантник воспользуется неким критерием и выберет из всего множества окопов некоторое подмножество, и попадет в произвольный элемент этого подмножества.
Для увеличения вероятности встречи необходимо, чтобы и объединение, и пересечение подмножеств, выбранных по критериям у пехотинца и десантника, стремились к единственному окопу.
Этому способствует одинаковость критериев. Поскольку пехотинец не знает, каким критерием на самом деле воспользуется десантник, он предполагает, что десантник догадается о выборе им критерия.
Задача сильно упростилась -- нужно подыскать самому наиболее удачный и в то же время очевидный критерий (сначала критерий, а не само место встречи).
Если действие происходит в степи, где растет одинокое дерево -- то критерий "около дерева" подходит, если же в лесостепи -- нет.
Точно так же была выбрана частота, на которой ищутся внеземный цивилизации (проект CETI): наименее зашумленная, привязанная к резонансной частоте атомарного (среди разнообразия молекул) водорода (самый особый элемент -- потому что первый).
Эти парадоксы напомнили мне еще об одном интересном парадоксе теории вероятностей.
Представьте себе такую игру:
Есть 4 кубика. На каждой из шести граней кубика могут быть какие-то числа, не обязательно разные. Игрок A предлагает игроку B выбрать любой кубик, после чего сам выбирает один из оставшихся. Затем они бросают каждый свой кубик, и у кого выпадет большее число, тот и выиграл.
Так вот, если соответствующим образом расставить числа на кубиках, то у игрока A всегда будет преимущество, если он выберет правильный кубик. То есть получается следующая ситуация:
Кубик 2 выигрывает у Кубик 1
Кубик 3 выигрывает у Кубик 2
Кубик 4 выигрывает у Кубик 3
Кубик 1 выигрывает у Кубик 4 !!!
У Мартина Гарднера это называлось "не транзитивный парадокс".
Здравствуйте, gloomy rocker, Вы писали:
GR>Есть 4 кубика. На каждой из шести граней кубика могут быть какие-то числа, не обязательно разные. Игрок A предлагает игроку B выбрать любой кубик, после чего сам выбирает один из оставшихся. Затем они бросают каждый свой кубик, и у кого выпадет большее число, тот и выиграл.
Эта задачка уже здесь (в этой же ветке) разбиралась. Для 6 граней получается что при правильной стратегии первый игрок выигрывает с вероятностью 22/36
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Парадокс заключенного:
Эта игра уже есть на нашем ТВ, только наоборот.
Если оба "сознаются" — поделять деньги пополам.
Один сознается — деньги получит другой.
Оба не сознаются — никто ничего не получит.
Я несколько раз попадал, обычно оба не сознавались.
К>Загадка про трех мудрецов. К>Во всех этих рассуждениях есть маленький изъян: герой думает за других.
Здравствуйте, Atilla, Вы писали:
A>Эта задачка уже здесь (в этой же ветке) разбиралась. Для 6 граней получается что при правильной стратегии первый игрок выигрывает с вероятностью 22/36
Конечно очень интересно...
но почему в "Алгоритмы"?
замечательное извращение, придуманное на в советских мат. школах, чтобы обойти эту трудность.
Тем не менее, трудность не обойдена, так как и дамы, и мужья принимают в расчет внутренние миры остальных.
Пример с дамами:
"Одна над собой ржать не может".
А фиг ее знает, может она за компанию — ну дура, что поделаешь?
Но нет! Ее подруга думает: "первая видит меня и понимает...". То есть берет в расчет чужой внутренний мир. Это акт рефлексии.
Можно рефлексировать как чужой, так и свой мир. На этом основаны некоторые философско-религиозные парадоксы.
Например, концепция солипсизма: внешний мир тождественнен внутреннему; все, что я переживаю — мой сон. Ты скажешь, что я не прав? Тьфу, приснится же такое!
Или концепция всевидящего бога. Если я отвергаю бога (грешу атеизмом), то бог это видит и покарает.
Кажется, Кант сказал: "если вы отвергнете существование бога — в лучшем случае ничего не потеряете; если примете — в худшем случае ничего не приобретете".
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Кажется, Кант сказал: "если вы отвергнете существование бога — в лучшем случае ничего не потеряете; если примете — в худшем случае ничего не приобретете".
А не Паскаль? ну да ладно...
Вам тут может помочь информация о том, с какой вероятностью Ваш оппонент будет вести себя так или иначе (по статистике в p% случаев дуэлянт стреляет, в (100-p)% — нет), а также вероятность исхода при том или ином поведении Вас и оппонента. И стратегию выбрать не минимаксную, а минимизирующую риск.
Здравствуйте, Atilla, Вы писали:
К>>Кажется, Кант сказал A>А не Паскаль? ну да ладно...
Может быть.
-- Иду я по пустыне. И тут из-за бархана показалось 15 голых баб...
-- Ну и?!
-- Что ну. Я же говорю: показалось.
A>Вам тут может помочь информация о том, с какой вероятностью Ваш оппонент будет вести себя так или иначе (по статистике в p% случаев дуэлянт стреляет, в (100-p)% — нет), а также вероятность исхода при том или ином поведении Вас и оппонента. И стратегию выбрать не минимаксную, а минимизирующую риск.
Тот же минимакс, но с более "мягкой" оценочной функцией.
Утверждение о глубине расчета шагов остается в силе.
Больше того: я могу знать о характере мышления моего противника, и рефлексировать "за него" иначе, чем за меня.
Например, если противник [не] верит в бога, [не] страдает ( ) солипсизмом, [не] умеет делать альфа-бета отсечения, [не] полагается на случай...
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Больше того: я могу знать о характере мышления моего противника, и рефлексировать "за него" иначе, чем за меня. К>Например, если противник [не] верит в бога, [не] страдает ( ) солипсизмом, [не] умеет делать альфа-бета отсечения, [не] полагается на случай...
Очень интересно. А противник будет подкидывать монетку — делать случайный выбор.
У кого тогда больше шансов выиграть?
У того, кто пытается думать, что другой думает, что он думает, что тот думает...
Или у тупого ГСЧ?
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
К>>>Загадка про трех мудрецов. К>>>Во всех этих рассуждениях есть маленький изъян: герой думает за других.
P>>Здесь
замечательное извращение, придуманное на в советских мат. школах, чтобы обойти эту трудность.
К>Тем не менее, трудность не обойдена, так как и дамы, и мужья принимают в расчет внутренние миры остальных.
Ну как же!
Все мужья хорошие логики. (Это в условии)
И целые сутки думают. (А газеты раз в сутки по утрам.)
Как только ввели дискретное время всё становится честно!
Я конечно должен считать остальных участников достаточно умными, но вопрос "кто быстрее" снимается.
Здравствуйте, UgN, Вы писали:
UgN>Очень интересно. А противник будет подкидывать монетку — делать случайный выбор. UgN>У кого тогда больше шансов выиграть? UgN>У того, кто пытается думать, что другой думает, что он думает, что тот думает... UgN>Или у тупого ГСЧ?
Вообще-то если у нас нет априорной информации, т.е. мы не знаем, как и с какой вероятностью поведет себя противник, то нам остается либо минимакс, либо ГСЧ. Что из них лучше, без этой априорной информации не определишь. (Зато можно по апостериорной, типа дуэлянт на том свете: "Все-таки надо было стрелять..." ).
Если же априорная информация есть (например, статистика по дуэлям в которых участвовал противник), то надо исходить из нее и тогда шансы выиграть повысятся.
А я вот ещё чего никогда не понимал.
Предположим полный лох купил акции на бирже. Выбрал фирму недохлую, скажем Майкрософт. Ведь фифти-фифти, что через неделю они вырастут. Значит лох фифти-фифти заработает. А на чём же (ком же) наживаются профи?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Предположим полный лох купил акции на бирже. Выбрал фирму недохлую, скажем Майкрософт. Ведь фифти-фифти, что через неделю они вырастут. Значит лох фифти-фифти заработает.
Лох с вероятность 99% (примерно) все потеряет.
А профи на то и профи, чтобы знать когда рисковать и какие вообще действия предпринимать в той или иной ситуации.
И сдается мне, что на бирже большая часть взлетов и падений акции происходит далеко не случайно...
P>А на чём же (ком же) наживаются профи?
Здравствуйте, UgN, Вы писали:
UgN>Лох с вероятность 99% (примерно) все потеряет.
Почему?
В конце этой недели акции Микрософт либо вырастут, либо упадут.
Разве не фифти-фифти?
Если я их купил сейчас, а продам в конце недели, то я либо выиграю на этом деле либо проиграю.
Разве не фифти-фифти?
Здравствуйте, White Eagle, Вы писали:
WE>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>>В конце этой недели акции Микрософт либо вырастут, либо упадут.
WE>Простите, но очень уж напоминает фразу женской логике и вероятности WE>встретить динозавра на Арбате — либо встречу, либо не встречу. WE>Тоже фифти-фифти ?
Я знаю этот анекдот, но ты действительно считаешь, что в данном случае не фифти-фифти? Иными словами, ты знаешь, что акции Микрософт скорее вырастут? Если так, бежим покупать!!!
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Я знаю этот анекдот, но ты действительно считаешь, что в данном случае не фифти-фифти? Иными словами, ты знаешь, что акции Микрософт скорее вырастут? Если так, бежим покупать!!!
Я подозреваю, что у профессионалов есть свои, более точные модели, по крайней мере для каких-то случаев.
Когда ему кажется, что фифти-фифти — он и связываться на этой неделе с этой компанией не будет.
А вот когда по его расчетам(интуиции, голосу господню, etc) выходит что-то типа 80/20 — тогда и свяжется.
А деньги они делают как раз на тех, кто думает, что всегда фифти-фифти, но тем не менее
берется играть
Всё полное ИМХО.
Никогда не делайте ничего правильно с первого раза, иначе никто потом не оценит, как это было сложно.
Перекуём баги на фичи!
Кр-ть — с.т.
) солипсизмом, [не] умеет делать альфа-бета отсечения, [не] полагается на случай...
