Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Пронумеруем ножки (ах ножки ножки, где вы ныне ) и поставим стул.
P>Пусть ножки 1,3 стоят, а 2,4 качаются.
P>Вращая стул медленно вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сиденья, мы рано или поздно повернём его на 90 градусов и придём к ситуации, когда 2,4 стоят, а 1,3 качаются. Так как пол гладко-неровный, по дороге пары должны поменяться в какой-то точке. В этой точке все ножки будут стоять.

...

P>Ножки прямоугольного стула при повороте ходят все по одному кругу.
P>Высоту пола под ножками обозначим как h1,h2,h3,h4
P>Стул устойчив, если h1+h3=h2+h4
P>Если рассматривать суммы h1+h3 и h2+h4 как функции от угла поворота H13(fi) и H24(fi),
P>то легко видеть, что это одна и та же функция, только сдвинутая по fi и притом периодическая.
P>Поэтому конечно есть точка пересечения (думаю можно доказать, что по райней мере две).
P>А в точке пресечения стул устойчив.

К сожалению оба эти доказательства неправильные .
Так в первом случае, "установка" ножек 1,3 наклоняет стул и ось вращения становится невертикальной, а тогда при повороте на 90° у нас нет гарантии, что мы попадем в тоже положение.
Во втором случае, "установка" ножек 1,3 изменяет величины h2 и h4.

Я заметил это еще вчера, но не хотелось выступать с некоструктивной критикой. Заняться строгим доказательством я смог только вечером, а закончил его сегодня утром.
Итак простим Pushkin-у некоторую поэтическую легкость и займемся уточнением его решений (сразу для прямоугольника). Прошу прощения за некоторую громоздкость .

Поведем вертикальную прямую. В дальнейшем мы будем перемещать стул так, чтобы центр пересечения диагоналей прямоугольника образованного концами ножек лежал на этой прямой. Проводим вертикальную плоскость через ножки 1,3. Опускаем стул так, чтбы установились 1,3 и при этом остались в этой вертикальной плоскости. Обозначим высоту точки персечения диагоналей в этой позиции через h. Теперь "качаем" стул вокруг оси 1,3 до того момента, когда растояние от поверхности (по вертикали) у ножек 2,4 не сравняется. Назовем это растояние x, причем, если ножки выше поверхности x считаем положительным, если ниже отрицательным.

В зависимости от начального угла поворота у нас получаются две периодические непрерывные функции h(fi) и x(fi). Расмотрим две точки, в которых h достигает максимума и минимума.
В первой из этих точек x должно быть неотрицательным, т.к. иначе существовало бы fi (соответствуещее углу ножек 2,4) при котором стул можно было бы приподнять. Аналогично в минимуме h, x не может быть положительным. Следовательно в силу непрерывности x, существует точка, где x равно 0.