В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

1км/1мин = 60 км/ч
Скорость должна быть выше 60 км/ч (32 узла)

Здравствуйте, UGN, Вы писали:

UGN>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

UGN>1км/1мин = 60 км/ч
UGN>Скорость должна быть выше 60 км/ч (32 узла)

А если подумать?

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

UGN>>1км/1мин = 60 км/ч
UGN>>Скорость должна быть выше 60 км/ч (32 узла)

N>А если подумать?

Ну подумаешь, перепутал что нужно минимизировать...

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

Если уж на то пошло, считается ли, что скорость катера постоянна?

Или надо найти наименьшую скорость, развиваемую катером во время подплытия?

Здравствуйте, UGN, Вы писали:

UGN>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

UGN>Если уж на то пошло, считается ли, что скорость катера постоянна?

UGN>Или надо найти наименьшую скорость, развиваемую катером во время подплытия?

Вы пришли в магазин выбирать катер для диверсионной операции, описанной в условии задачи. Перед вами непрерывный ряд катеров, единственной разницей между которыми является верхний предел развиваемой скорости, причем цена катера експоненциально зависит от этого значения
Надо и на бабки не попасть, и на остров попасть, извините уж за каламбур

ЗЫ можно считать, что это супер-катера, и ускорение они могут развивать любое — мгновенно менять скорость и направление.

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

двигаясь по спирали: да так чтобы не догнать луч, но и не так чтобы его на круг обогнал этот луч, при этом, уменьшение радиуса спирали -> 0, отсюда мин. (угл)скорость катера -> угл. скорость точки луча, которая отстоит от маяка на расстоянии = текущему радиусу спирали катера.

Я не математик, так что без мат. выкладок

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы
Задача на оптимальное управление

Здравствуйте, nikholas.

Такая идея: пусть V наша минимальная скорость, тогда первую минуту мчимся по прямой к прожектору, а когда он нас почти настиг, поворачиваем к нему на угол 89.99 градусов --- чтобы постепенно приблизиться к острову. Если мы измеряем V в километрах в минуту, то следует следующее условие на скорость V:

V = 2 * PI * (1 — V)

--- за одну минуту мы пройдем 1 — V километр, а скорость луча на расстоянии 1 — V от прожектора будет
2 * PI (1 — V). Получаем примерное значение V:

V = (2 * PI) / (2 * PI + 1)

то есть V примерно равно 0,87 километра в минуту

не такая уж и большая экономия

Здравствуйте, tks, Вы писали:


tks>то есть V примерно равно 0,87 километра в минуту

tks>не такая уж и большая экономия

Уже тепло, но можно еще медленнее

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:


N>Вы пришли в магазин выбирать катер для диверсионной операции, описанной в условии задачи. Перед вами непрерывный ряд катеров, единственной разницей между которыми является верхний предел развиваемой скорости, причем цена катера експоненциально зависит от этого значения
N>Надо и на бабки не попасть, и на остров попасть, извините уж за каламбур

Т.е. условие все-таки не минимальная скорость, а потолок максимальной

По-любому, плохо у меня с математикой, поэтому уже забыл как находить минимумы...

Попробую так:

Чем ближе катер к центру, тем с меньшей скоростью он может плыть.

Так как катер сам выбирает время старта, то у него есть фора в 1 мин.

Эту фору тратим на радиальное движение с минимальной скоростью.

После того, как луч его почти догонит (в момент Ч), катер должен плыть по окружности

со скоростью не менее 2*Pi*r/T, где r — расстояние от центра,

а T = 1 мин (время оборота луча)

Ну и, конечно, должна быть радиальная составляющая.

Считаем, что по времени катер не ограничен,

поэтому радиальная составляющая в момент Ч может быть очень маленькой,

Постепенно катер будет приближаться к острову и его скорость движения

по окружности можно будет уменьшить, увеличив радиальную составляющую.

Посему положим скорость катера после момента Ч равной 2*Pi*r/T + Z

(Z — радиальная составляющая, очень маленькая величина)

Теперь о скорости движения катера после старта до момента Ч.

Почему не по спирали?

Потому что фору в 1 мин. надо использовать максимально эффективно

— сокращая расстояние до центра, но двигаясь с минимальной скоростью.

Возможно более точные математические расчеты покажут, что я не прав,

но катер мой, как хочу так и плыву. Попробуйте медленнее...

Итак, до момента Ч, катер плывет со скоростью V1 и проплывает ( L — r ) км.

где L == 1км — расстояние до острова

После момента Ч он плывет со скоростью V2 = 2*Pi*r/T + Z

Пусть катер всегда плывет с постоянной скоростью, она же его верхний предел.

тогда V1 == V2

Т.к. Z очень маленькая величина, то в дальнейших рассчетах я ее опущу.

(L — r) = 2*Pi*r/T

L/r — 1 = 2*Pi/T

r = L / ( 2*Pi/T + 1 )

r = 1/(2*Pi+1) = 0,137 км

L — r = 0,863 км.

V1 = 0,863 км/мин


Ответ:0,863 км/мин

Здравствуйте, UGN, Вы писали:

UGN>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:


UGN>Ответ:0,863 км/мин

здесь

Автор: tks
Дата: 11.07.03

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

Я решил, что оптимальная траектория — двигаться по прямой под некоторым углом к центру острова пока луч не догонит катер, а затем — по спирали.
1. К сожалению нет времени приводить рисунок, но из геометрических соображений (подкрепленных расчетами) оптимальным начальным направлением будет такое, чтобы в момент "встречи" с лучом катер плыл перпендикулярно лучу.
2. Получающиеся уравнения соделжат впермешку углы и косинусы, т.ч., имхо, аналитически не решаются. Сразу приведу результат численного решения. Кстати, т.к. уравнения легко можно записать в безразмерной форме, то угол старта не зависит от абсолютных значений длины луча и его скорости вращения.

Угол — 7,375674068 гр.
Скорость — 0,128374554*w*R = 48,39606651 км/ч = 0,806601109 км/мин, здесь w — угловая скорость вращения луча, R — длина луча.

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:


MP>Угол — 7,375674068 гр.
MP>Скорость — 0,128374554*w*R = 48,39606651 км/ч = 0,806601109 км/мин, здесь w — угловая скорость вращения луча, R — длина луча.

Я правильного решения не знаю, но у меня получилось так же.

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:


MP>Я решил, что оптимальная траектория — двигаться по прямой под некоторым углом к центру острова пока луч не догонит катер, а затем — по спирали.

хммм, чё-то я не догоняю, а как можно двигаться по прямой под некоторым углом к центру острова . Я представить себе не могу

Здравствуйте, Dimka, Вы писали:


D>хммм, чё-то я не догоняю, а как можно двигаться по прямой под некоторым углом к центру острова . Я представить себе не могу

По хорде

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

R = 1 km
T = 1 min
omega = 2*PI/T

R-r = v*T
v > omega*r = omega*(R — v*T) =>
v *(1+omega*T) > omega*R =>

v > (R/T)*(2*PI)/(1+2*PI) = around 0.86269

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

А>R = 1 km
А>T = 1 min
А>omega = 2*PI/T

А>R-r = v*T
А>v > omega*r = omega*(R — v*T) =>
А>v *(1+omega*T) > omega*R =>

А>v > (R/T)*(2*PI)/(1+2*PI) = around 0.86269
это если следовать траектории: сначала по прямой, затем убегая от луча...
но доказать что это минимум для всех траекторий пока не могу

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы

В общем-то благодаря усилиям MichaelP численный ответ уже получен, но как мне показалось он был приведен без доказательства оптимальности (из гениальных соображений автора ). Кроме того я не во всем понял ход его мыслей (особенно про движение по спирали).

Попробую восполнить этот пробел собственными рассуждениями...

1. Назовем зоной безопасности для данного катера круг некоторого диаметра, внутри которого катер может спокойно уйти от преследования лучем. Ясно, что радиус такого круга определяется скоростью движения луча по его периметру, т.е. R = v/(2pi). Например, если у нашего супердорогого катера скорость v >= 2pi, то мы с самого начала можем вести себя как нам вздумается в пределах единичного радиуса вокруг острова.

2. Для достижения острова нам рано или поздно прийдется войти в зону безопасности (и расслабиться). Ясно, что, двигаясь к точке вхождения в эту зону по прямой, мы быстрее ее достигнем, т.е. нам выгодно с самого начала двигаться к некоторой точке на границе зоны безопасности по прямой. Здесь правда есть один маленький нюанс. А что если мы достигли границы зоны безопасносит по кривой не встретив луча, а при движении по прямой к этой же точке мы пересечем луч? Ясно, что такого не может быть, т.к. если при движении по прямой нас догонит луч, то мы, находясь вне зоны безопасности, уже не сможем его догнать. Т.е мы приплывем к точке на границе зоны после луча, тем более это справедливо для движения к этой точке по кривой. А мы предположили, что по кривой мы успели доплыть до луча.

3. Если мы приплыли к зоне безопасности за некоторое время до луча, то мы можем изначально снизит скорость, тем самым уменьшив также и зону безопасности, при этом по-прежнему успевая к зоне до луча. Ясно также, что вне зоны безопасности надо двигаться с максимальной скоростью.


Итак, пусть у нас скорость катера v. Радиус зоны безопасности v/(2pi). Мы двигаемся к некоторой точке на ее границе по прямой так, чтобы успеть к ней одновременно с лучем. Далее, мы можем почти сразу двигаться так, как нам вздумается, однако все же убегая от луча!

Если мы начинаем движение из точки (1; 0) в точку (v/(2pi)*cosq; v/(2pi)*sinq) (т.е. центр острова в точке (0; 0)), то у нас время (до прихода луча в эту точку) равно

      (1-v/(2pi)*cosq)^2 + (v/(2pi)*sinq)^2
t^2 = ------------------------------------- = (1+q/(2pi))^2
                       v^2

Отсюда можно убедиться, что чем ближе будет прямая к касательной к зоне безопасности, тем лучше. Т.е. оптимальная скорость при cosq = v/(2pi). Подставим и получим очень простое выражение

tgx = x + 2pi, где x = arccos(v/(2pi)), или v = 2pi * cos(x).

Маленькая программка

#include <iostream.h>
#include <math.h>

const double PI = 3.1415926535897932384626433832795;
const double doublePI = 2 * PI;

#define f(x) tan(x) - x - doublePI;
const double eps = 1e-10;

void main(void) {
    // tgx = x + 2pi
    double x1 = 0; // tgx1 = 0 < x1 + 2pi
    double x2 = atan(doublePI * 2); // tgx2 = 4pi > x2 + 2pi
    double x;
    while (x2 - x1 > eps) {
        x = (x1 + x2) / 2;
        double y = f(x);
        y >= 0 ? x2 = x : x1 = x;
    }
    x = (x1 + x2) / 2;
    // 2pi * cos(x)
    cout << doublePI * cos(x) << "..." << endl;
}

и результат: 0.8066011....


P.S. Кстати, размером острова можно и не пренебрегать, лишь бы он целиком лежал в пределах зоны безопасности.

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>В центре острова находится прожектор, равномерно вращающийся вокруг вертикальной оси со скоростью один оборот в минуту и освещающий в длину один км. Угол светового луча можно считать бесконечно малым
N>Какова минимальная скорость катера, который сможет подплыть к острову незамеченным?

N>ЗЫ Размеры острова также исчезающе малы


А подплывет ли он вообще, если размеры острова бесконечно малы?