Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>Насчёт индЮкции — ещё подумаю.

Вот что придумал.

Для придания наукообразности , докажем вспомогательную Клемму:

Клемма:

В любой бесконечной последовательностей натуральных чисел a1, a2, ... , an, ... 
можно выделить бесконечную неубывающую подпоследовательность, т.е. 
ai1 <= ai2 <= ... <= ain <= ...

Доказательство бесконечности очевидно — кол-во чисел, меньших заданного — конечно.

А теперь с помощью Клеммы, можно доказать более Сильное Утверждение, чем исходное:

Для любого (усиление1) числа бесконечных последовательностей натуральных чисел 
 a1, a2, ... , an, ... 
 b1, b2, ... , bn, ... 
 ...
 k1, k2, ... , kn, ... 
 ...

найдутся такие номера p и q, что 
ap >= aq, 
bp >= bq, 
...
kp >= kq 
...

и (усиление2)
p > q

Построим с помощью Клеммы подпоследовательность из последовательности a
ai1 <= ai2 <= ... <= ain <= ...

При этом, выбирая элементы из оставшихся последовательностей на тех же местах ij,
мы получим подпоследовательности
bi1, bi2, ... , bin, ...
...
ki1, ki2, ... , kin, ...
...

Повторяем процесс для последовательности b, c...
При каждом шаге, очевидно, свойство неубывания для предыдущих последовательностей не нарушается.
В конце концов мы получим последовательности, для которых справедливо Сильное Утверждение.
Всё. Правильно?