Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>11. Докажите, что для любых трех бесконечных последовательностей натуральных чисел
Les> a1, a2, ... , an, ...
Les> b1, b2, ... , bn, ...
Les> c1, c2, ... , cn, ...
Les>найдутся такие номера p и q, что
Les>ap >=aq,
Les>bp >=bq,
Les>cp >=cq
Les>(вторая буква — индекс)

От противного.

Попробуем построить такую последовательность X векторов (a,b,c), чтобы система равенств не выполнялась ни для каких p и q.
Очевидно, все вектора последовательности X должны быть различными.

Пусть X1=(A,B,C) (A, B, C — натуральные).

Тогда существует лишь конечное число различных векторов (a,b,c), таких, что a < A, b < B, c < C.
Поэтому, X содержит бесконечное количество векторов, таких, что или a > A, или b > B, или с > C.
Из этого следует, что, по крайней мере, одно из утверждений истинно:
1) X содержит бесконечное количество векторов, таких, что a > A
2) X содержит бесконечное количество векторов, таких, что b > B
3) X содержит бесконечное количество векторов, таких, что с > C

Допустим, справедливо утверждение 1.
Тогда из векторов, удовлетворяющих условию a > A, можно выделить бесконечную подпоследовательность Y векторов (a',b',c').
Для любого n > 0:
a'n > A
следовательно,
либо b'n < B ,
либо c'n < C

Также очевидно, что все пары (b',c') последовательности Y должны быть различными.
[ Дк-во: если bi=bj, ci=cj, то в случае ai >= aj имеем p=i, q=j, а в случае ai < aj имеем p=j, q=i ]

Cуществует лишь конечное число различных пар (b',c'), таких, что b' < B, c' < C.
Поэтому, Y содержит бесконечное количество векторов, таких, что или b' < B, или c' < C.
Из этого следует, что, по крайней мере, одно из утверждений истинно:
4) Y содержит бесконечное количество векторов, таких, что b' > B
5) Y содержит бесконечное количество векторов, таких, что с' > C

Допустим, справедливо утверждение 4.
Тогда из векторов, удовлетворяющих условию b' > B, можно выделить бесконечную подпоследовательность Z векторов (a",b",c").
Для любого n > 0:
a"n > A
b"n > B
следовательно,
c"n < C

Также очевидно, что все значения с" последовательности Z должны быть различными.
Но это невозможно, т.к. существует лишь конечное число натуральных чисел c" < C.

Этим доказано, что построить последовательность X невозможно.