Я не был суперотличником по математике и не поступил в топовое место. Но я любил обдумывать то, что у меня получалось, и иногда находил интересные вещи. Допустим, я наткнулся, что 0,999... и 1 — это одно и то же? И начал думать об этом. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии это, вроде бы, было так, но сознание никак не могло что-либо сделать с этим и понять, в чём тут дело. Это один из примеров. Допустим, ещё из таких штук: я придумал, как не учить тригонометрические формулы. Ну и т.д. К сожалению, много времени прошло, и я сейчас не готов вспомнить, что там ещё из такого было.
Но изначально заданный вопрос — о книгах. Я ни одной нормально не прочитал до конца. Ну и что.
Из тематики школьной и вступительной мне нравились "Математика. Справочник" Черкасова и Якушева, "Математика — абитуриенту" Ткачука и справочник по теории Смирнова.
Нравилась "Комбинаторика" троих Виленкиных.
Нравились все мелкие книги А. Шеня.
В общем, интересно, что вам нравилось и производило впечатление.
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>В общем, интересно, что вам нравилось и производило впечатление.
Например, мощность множеств. Натуральных чисел столько же, сколько целых и рациональных. А вот действительных больше, как легко доказывает диагональный метод Кантора.
Учился в обычном тех ВУЗе, но заинтересовало преобразование Фурье и увлекался функциональным анализом. Нашел тогда книги Kreyzsig, которые хорошо подходят для самостоятельного изучения.
Также по функциональному анализу есть двухтомник Данфорд Шварц 'Линейные операторы', там кроме теорем излагается история их возникновения, но это уже надолго читать, а смысл сего сейчас стремится к нулю.
Еще есть известная книга "Контрпримеры в анализе". По-моему там был пример функции, разрывной в каждой точке, но дифференцируемой в нуле.
У сложных вещей обычно есть и хорошие, и плохие аспекты.
Берегите Родину, мать вашу. (ДДТ)
Re: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>В общем, интересно, что вам нравилось и производило впечатление.
В школе серия книг "За страницами учебника математики" Виленкина и ко. Потом старый советский учебник по сферической геометрии в старших классах и что-то по ядерной физике и теории относительности. Все учебники в вузе были скучноваты и впечатлеия не производили.
Уже во взрослом возрасте читал научпоп, например второе издание книги "Математическая составляющая" — очень интересно. Уже тут когда-то писал отзыв по книге "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике" Джон Дербишир. Очень интересно и вдохновляюще.
Оглядываясь назад понимаю, что нравятся и захватывают книги об истории математики и математиках больше, чем сама математика. Ну это и понятно, они проще.
P.S. Сейчас уже с детьми открываю для себя книги начала прошлого века — Якова Перельмана. Они классные
Re[2]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:
N>Оглядываясь назад понимаю, что нравятся и захватывают книги об истории математики и математиках больше, чем сама математика. Ну это и понятно, они проще.
Мне из математического научпопа еще понравилась книга "Великая Теорема Ферма" Саймона Сингха. Рассказывает о теореме Ферма и ее доказательстве через призму истории математиков, которые ей занимались или внесли вклад в доказательство — Ферма, Галуа, Шимура, Уайлс и прочие. Читается как хороший триллер.
Re: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Miroff, Вы писали:
N>>А у них было что-то интересное? M>"Элементы математики" же. Это чуть ли не единственые книги по чистой математике, доступные школьнику.
Я в том смысле, что это реально интересно, захватывает или как-то открывает глаза? В школе удивляют пределы с бесконечностями, комплексные числа — это что-то совершенно не интуитивное для мозга и хочется учить. Я так понимаю, что вопрос был именно в этом.
Re[2]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Расскажите о своих любимых.
M>Я не был суперотличником по математике и не поступил в топовое место. M>Из тематики школьной и вступительной мне нравились "Математика. Справочник" Черкасова и Якушева, "Математика — абитуриенту" Ткачука и справочник по теории Смирнова.
Вот именно по этому и не поступил... Надо было Сканави решать ... для поступления ВТУЗы.
Здравствуйте, Bjorn Skalpe, Вы писали:
M>>Из тематики школьной и вступительной мне нравились "Математика — абитуриенту" Ткачука
BS>Вот именно по этому и не поступил... Надо было Сканави решать ... для поступления ВТУЗы.
по Ткачуку я к геометрии готовился (экзамену), (слегка не успел всё пройти)
и ещё по одной книжке от преподов МГУ Ломоносова (по алгебре, для поступающих в ВУЗ'ы)
(там всё чётко по темам разобрано), а Сканави — там слишком много задач (он у меня был, но я оттуда ничё не решал), к тому же это просто сборник задач ..
я тут уже писал об этом, не могу чёт найти тот пост ..
Re[2]: Любимые книги по математике школьного и вузовского време
Здравствуйте, Bjorn Skalpe, Вы писали:
BS>Вот именно по этому и не поступил... Надо было Сканави решать ... для поступления ВТУЗы.
Я прорешивал методички МГУ. Сплошняком, всю методичку. Классно так подтянул школьную математику.
В самой школе я как-то не очень силён был в ней. Там вообще многое очень туманно и непонятно давали.
И времени недостаточно было. Не успеваешь одно решить, как уже сверху накидывают.
Только вот понял, что нафиг это математическое образование надо.
Там, давай, ещё и физику выучи, и русский с литературой, и в самом МГУ уже всю эту зубодробительную математику учить. Неа, нафиг надо. Я пошёл в ВУЗ попроще, занимался самообразованием в высшей математике, и вообще главный акцент делал на программировании.
Там в ВУЗе, куча предметов тупо мимо тебя пролетают. Т.е. они попросту бесполезны.
Лучше бы оставили только то, что нужно. Урезали бы программу обучения, сократили бы сроки.
Вон, я знаю, за бугром всего лишь бакалавра берут, 3 года. По-моему это правильно. Не фиг людей мурыжить.
А ещё, если б он по-настоящему хотел, он бы поступил. Пусть и на следующий год.
Re: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
A>OPERATIONS RESEARCH: AN INTRODUCTION, SEVENTH EDITION, Hamdy A. Taha
A>На русском выходило в 2007 году. A>Таха, Хэмди А. «Введение в исследование операций», 7–е издание.
Мне попадалась эта книга. Она была у нас в списке литературы по оптимизации/теории принятия решений (?). Большая и дорогая.
Почему произвела впечатление? Позвольте поинтересоваться.
Re[3]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Мне попадалась эта книга. Она была у нас в списке литературы по оптимизации/теории принятия решений (?). Большая и дорогая. M>Почему произвела впечатление? Позвольте поинтересоваться.
Такого рода книжки давно уже гуляют по инету в электронном виде, идеального качества. С ними можно детально ознакомиться до того, как потратиться на бумажный экземпляр.
Это иллюстрация прикладного использования математики в совершенно обыденной и повседневной жизни. Содержит много ответов на вполне стандартные и часто возникающие вопросы, невольно появляющиеся у человека, если хоть как-то смотрит по сторонам (и замечает всякий бардак с идиотизмом).
Как прикинуть необходимое количество одновременно работающих касс в супермаркете или управление складскими запасами в ряде ситуаций.
Выстраивание взаимоотношений между несколькими агентами, формальные подходы к принятию решений в разных условиях и рисках.
Использование много-факторного анализа для оптимального выбора сразу по нескольким составляющим.
Если следовать иерархии метод—методика—методология, то есть книги описывающие один или несколько методов. Эта же книжка показывает разные методики на примере конкретных методов применимо к отдельно взятым ситуациям.
Название «operations research» — это очень неудачное, вводит в заблуждение, но исторически сложившееся. Гораздо более точным является «management science» или же «decision science». Группирование таким вот образом разных подходов из математики пошло от необходимости вести затяжные и выматывающие войны, т.е. для анализа эффективности и разумности конкретных, отдельно взятых военных операций.
Впервую очередь таким применением математики занялись в Британии, начавшей замерзать и голодать из-за блокады с бомбардировками со стороны Третьего Рейха, аж за год до нападения нацистов на СССР, вот от туда и пошло название «operations research».
Re: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, xma, Вы писали:
xma> а Сканави — там слишком много задач (он у меня был, но я оттуда ничё не решал), к тому же это просто сборник задач ..
Я учился в школе с биологическим уклоном, не физ-мат. У нас в 10-11 классе учебником был Сканави группы А-Г. Я с легкостью сдал экзамены в 3 физ-мат фуза — МехМат МГУ, МГТУ, МИФИ и выбирал. В ФИЗТЕХ не поступал, так как ездить далеко. А так же поступил на Биофак МГУ, но родители настояли, что бы я бросал заниматься глупостями, а шел по физмат направлению. Математикой как наукой никогда не увлекался, хотя давалась она мне легко. До сих пор не фанат математики, хотя прикладной математик, ибо для меня это инструмент, как циркуль или карандаш применительно к чему-либо... не важно будь то физика, биология, экономика или программирование.
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Расскажите о своих любимых.
M>Я не был суперотличником по математике и не поступил в топовое место. Но я любил обдумывать то, что у меня получалось, и иногда находил интересные вещи. Допустим, я наткнулся, что 0,999... и 1 — это одно и то же? И начал думать об этом. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии это, вроде бы, было так, но сознание никак не могло что-либо сделать с этим и понять, в чём тут дело. Это один из примеров. Допустим, ещё из таких штук: я придумал, как не учить тригонометрические формулы. Ну и т.д. К сожалению, много времени прошло, и я сейчас не готов вспомнить, что там ещё из такого было.
M>Но изначально заданный вопрос — о книгах. Я ни одной нормально не прочитал до конца. Ну и что.
M>Из тематики школьной и вступительной мне нравились "Математика. Справочник" Черкасова и Якушева, "Математика — абитуриенту" Ткачука и справочник по теории Смирнова.
M>Нравилась "Комбинаторика" троих Виленкиных.
M>Нравились все мелкие книги А. Шеня.
M>В общем, интересно, что вам нравилось и производило впечатление.
И.Н.Бронштейн и К.А. Семендяев
«Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.»
Re[4]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
lpd>Например, мощность множеств. Натуральных чисел столько же, сколько целых.
Это утверждение не совсем корректно. Доказывая это некоторыми трюками можно прийти к такому выводу. А другими трюками можно доказать что целых в 2 раза больше.
Например, найдем отношение целых и натуральных на интервале [-N, N], будет ровно 2, без нуля. Если найдем предел N->infinity, то по прежнему будет 2.
Если под "столько же" подразумевается что 2 * infinity = infinity. То infinity это не число, и это имеет смысл только в ограниченном контексте.
"Полноценных"(полностью корректных в всех контекстах) бесконечностей скорее всего не существует в математике. Есть только пределы.
Re[3]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>"Полноценных"(полностью корректных в всех контекстах) бесконечностей скорее всего не существует в математике. Есть только пределы.
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
S_S>>"Полноценных" бесконечностей скорее всего не существует в математике. Есть только пределы.
lpd>Я про мощность множества — оно общепринято.
Да. Но после таких трюков надо с осторожностью относится к таким формулировкам:
... содержат одинаковое количество элементов
Если туда неявно прокралась infinity.
Так же, как в таком уравнении 2*infinity=infinity. Здесь уже операции '=','*' над другими типами данных — а не числовыми. Так же как в ЯП операции над string — уже не арифметические.
Для традиционных операций — целых чисел вдвое больше, чем натуральных, даже при бесконечных количествах (точнее предел к бесконечности)
Re[5]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Да. Но после таких трюков надо с осторожностью относится к таким формулировкам:
Я предлагаю для начала определиться с тем, что такое число. Например, что такое число 3? Насколько я знаю, с этим не всё так просто:
«Троичность» — это абстрактное свойство, присущее всем наборам, или множествам, содержащим по три объекта. Например, «троичность» может быть использована и при описании поросят в известной детской песенке, и при описании множества сторон треугольника. Фреге заметил, что свойством «троичности» обладают многочисленные множества и воспользовался абстрактной идеей таких множеств для определения самого числа «3». Он создал новое множество и поместил в него все множества, обладающие свойством троичности, и назвал это новое множество «множество 3». Таким образом множество имеет три члена в том и только в том случае, если оно принадлежит «множеству 3».
Re[3]: Любимые книги по математике школьного и вузовского времени
Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:
N>Здравствуйте, Miroff, Вы писали:
M>>Странно что никто Бурбаки не вспомнил
N>А у них было что-то интересное?
Ну почти все книги картана довольно интересные.
<Подпись удалена модератором>
Re[4]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
lpd>Я про мощность множества[/url] — оно общепринято.
Еще добавлю. Есть простое доказательство(якобы?), что натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел. Но если так доказывать, то это приблизительный ответ, с точностью до умножения на конечную константу.
Возьмем ряд всех возможных натуральных чисел: 1,2,3,..., infinity
Умножим каждый элемент ряда на 2: 2,4,6,..., 2*infinity
Теперь это ряд всех возможных четных натуральных. И, якобы, из-за умножения количество элементов не могло измениться.
Но подвох виден если взять "более мягкий" вариант бесконечности:
Сделаем первый ряд конечным [1,N], но скажем — возьмем какое угодно большое N. При умножении на 2, верхняя граница тоже удваивается — так не корректно подсчитывать на разных интервалах.
А если считать на одинаковых интервалах, то четных вдвое меньше.
Здесь неявно вкралось сомнительное уравнение: 2*infinity = infinity
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Еще добавлю. Есть простое доказательство(якобы?), что натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел. Но если так доказывать, то это приблизительный ответ, с точностью до умножения на конечную константу.
Ну и каша у Вас в голове! Вы в лейб-гвардии не служили?
Re[6]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ну и каша у Вас в голове!
Это было не мое доказательство. Каша у писателей статей про парадоксы с бесконечностями в математике.
Или ты о другом, и тоже считаешь, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных или целых?
Re[7]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Это было не мое доказательство. Каша у писателей статей про парадоксы с бесконечностями в математике.
В математике есть аксиомы и есть теоремы, выводимые из них.
S_S>Или ты о другом, и тоже считаешь, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных или целых?
Вот согласно аксиомам и теоремам так и есть. Только не в том контексте, как его используешь ты. В теореме говорится о равномощности этих множеств. Советую перед изобретеним своей математики и определений разобраться с существующей. Благо она открытая и пересмотру подлежит.
Re[8]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:
N> В теореме говорится о равномощности этих множеств. Советую перед изобретеним своей математики и определений разобраться с существующей. Благо она открытая и пересмотру подлежит.
Теорема кривоватая из-за кривого определения "сравнения мощностей бесконечных множеств".
Можешь ответить на вопрос: у 2 множеств, приведенные ниже, мощности равны? :
Первое конечное множество [1,2,...,N]
Второе множество образуется добавлением ровно одного элемента 1+N
Т.е. по определению во втором множестве всегда на 1 элемент больше.
Теперь устремим N к бесконечности (N -> infinity)
Здесь мощности равны? Хотя во втором все равно на 1 элемент больше?
Re[9]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
N>> В теореме говорится о равномощности этих множеств. Советую перед изобретеним своей математики и определений разобраться с существующей. Благо она открытая и пересмотру подлежит.
S_S>Теорема кривоватая из-за кривого определения "сравнения мощностей бесконечных множеств".
Определение равномощности простое и понятное. Если Вы не в состоянии его уразуметь, это Ваши проблемы.
Ваш "предельный переход" — это ярчайший пример полного (и, похоже, безнадежного) непонимания. Вообще-то, одно из определений конечно множества — это такое множество, которое не равномощно никакому своему собственному (т.е. не совпадающему с ним) подмножеству. При таком подходе натуральное число можно определить как мощность конечного (в смысле приведенного ранее определения) множества (конечный кардинал). Для конечного кардинала N в самом деле N <> N + 1. А вот если N — бесконечный кардинал (например "алеф-0" — мощность множества натуральных чисел), то N = N + 1 = N + N = N * N.... Но! N < 2^N (мощность множества всех его подмножеств). А вот существуют ли множества мощности промежуточной между N и 2^N — это как раз содержание т.н "континуум-гипотезы".
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Определение равномощности просто я понятное. Если Вы не в состоянии его уразуметь, это Ваши проблемы.
Простое но бесполезное.
3>Ваш "предельный переход" — это ярчайший пример полного (и, похоже, безнадежного) непонимания.
Еще хуже — убеждение, что бесконечностей вообще не существует. Для практических целей существуют только пределы — доказали свою полезность.
А эти все костыли, создают больше проблем, чем решают.
одно из определений конечно множества — это такое множество, которое не равномощно никакому своему собственному (т.е. не совпадающему с ним) подмножеству
N = N + 1 = N + N ...
Есть хоть какое то разумное объяснение — почему нельзя делать предельный переход для простой формулы подсчета "того что целых в 2 раза больше, чем натуральных".
Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.
Re[11]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Есть хоть какое то разумное объяснение — почему нельзя делать предельный переход для простой формулы подсчета "того что целых в 2 раза больше, чем натуральных".
Доказывать в математике нужно как раз возможность предельного перехода, всегда, и часто получается что переход сделать нельзя без доп. условий. Тебе тогда уж нужно определить число элементов не обязательно конечного множества.
А опровергнуть твое рассуждение очень просто. Равномощные множества — упрощенно — такие, для элементов которых можно построить взаимно-однозначное соответствие между ними. И строится взаимно-однозначное соответствие между целыми и натуральными:
N Z
1 0
2 1
3 -1
4 2
5 -2
6 3
7 -3
8 4
... ...
Таким образом каждому целому соответствует одно натуральное, и наоборот.
Аналогично можно элементарно доказать, что множество рациональных равномощно целым, и, следовательно, натуральным.
А вот действительные уже не равномощны им, это и доказывает диагональный метод Кантора, тоже тривиальный.
У сложных вещей обычно есть и хорошие, и плохие аспекты.
Берегите Родину, мать вашу. (ДДТ)
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.
Вы уж определитесь. Если Вы не хотите рассуждать о бесконечностях, то и фраза "целых в 2 раза больше" попросту лишена смысла. Значение работ Кантора (которые Вы именуете "костылями") как раз и состоит в изобретении способа правильно обращаться с бесконечными множествами. В принципе, существуют направления в математике, которые обходятся без "актуальной бесконечности" (например интуиционизм). Просто оказывается, что в рамках этого подхода можно очень мало чего содержательного сказать.
А с "предельными переходами" нужно быть весьма аккуратным, даже когда речь идет об анализе, где корректный подход был выработан только во второй половине 19 века (Коши и Вейерштрасс). Для начала попробуйте внятно сформулировать (для себя), в каком смысле множество всех натуральных чисел является "пределом" конечных интервалов [0, N]. Далеко не всегда при предельном переходе предел наследует все свойства членов последовательности, которая к оному пределу "стремится". Например последовательность функций может "сходиться" в очень многих разных смыслах. И, в зависимости от того, в каком смысле она сходится, свойства предела могут быть очень различными.
Еще раз. Основным источником проблем "чайников" пытающихся рассуждать о математике является оперирование не до конца (или некорректно) определенными понятиями. Поэтому у них и получается игра в софизмы типа античних "парадоксов". Кстати, Ваш "предельный переход" чем-то близок парадоксу Ахиллеса и черепахи.
Re[12]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
S_S>>Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше. 3>Вы уж определитесь. Если Вы не хотите рассуждать о бесконечностях, то и фраза "целых в 2 раза больше" попросту лишена смысла.
Ну почему же лишена. Даже по-простому без лишних формальностей.
Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+N], выкинем 0 (это не существенно)
При N = 3: целых 6, натуральных 3, соотношение 2
...
При N = 1000, Целых 2000, натуральных 1000, соотношение 2
...
Через триллион триллионов лет ... снова соотношение 2.
И никогда уже не получится изменить это соотношение 2.
В этом есть большой практический смысл — знать это соотношение.
И весь мат анализ построен на таких трюках дающих конкретный практический результат.
Пределы — по сути, это когда пытаются "сократить бесконечности", выполняя только корректные операции, т.к. на самих бесконечностях арифметические операции не определены(не существуют).
Re[12]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
lpd> И строится взаимо-однозначное соответствие между целыми и натуральными: lpd>N Z lpd>1 0 lpd>2 1 lpd>3 -1 lpd>4 2 lpd>5 -2 lpd>5 3 lpd>6 -3 lpd>7 4 lpd>... ... lpd>Таким образом каждому целому соответствует одно натуральное, и наоборот.
Когда работаем с конечными интервалами, существенно — на одинаковом интервале подсчитывается или нет.
Там у тебя для натуральных выбран интервал [1..7], а для целых [-3..4]. Если и натуральные тоже посчитаешь на [-3..4], то получится только 4 штуки, против 8 целых.
Если применять "предельный переход", то хотя бы корректно это делать.
Re[13]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
3>>Вы уж определитесь. Если Вы не хотите рассуждать о бесконечностях, то и фраза "целых в 2 раза больше" попросту лишена смысла.
S_S>Ну почему же лишена. Даже по-простому без лишних формальностей.
"По-простому" только кошки совокупляются . Математики "без лишних формальностей" не бывает. Бывают "правдоподобные рассуждения". Различной степени правдоподобия но обычно ошибочные. Жаль, что Вы даже этого не понимаете. Греки это поняли 2000 лет назад.
Re[14]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>"По-простому" только кошки совокупляются . Математики "без лишних формальностей" не бывает. Бывают "правдоподобные рассуждения". Различной степени правдоподобия но обычно ошибочные. Жаль, что Вы даже этого не понимаете. Греки это поняли 2000 лет назад.
А ты понимаешь, что в "конечной математике", где, скажем, самое большое число 10 в триллионной степени. Количество целых в 2 раза больше, чем натуральных.
И это имеет больший практический смысл, чем абстрактные допущения (не доказанные), о том что существуют бесконечности. И на них какие-то абстрактные выводы о равной мощности.
Если 10 в триллионной степени даже мало, для компьютерных вычислений. То тут вообще то речь, о каком угодно большом числе, но чисто условно конечном (которому не нужны N + 1 = N).
Re[15]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>А ты понимаешь, что в "конечной математике", где, скажем, самое большое число 10 в триллионной степени. Количество целых в 2 раза больше, чем натуральных. S_S>И это имеет больший практический смысл, чем абстрактные допущения (не доказанные), о том что существуют бесконечности. И на них какие-то абстрактные выводы о равной мощности. S_S>Если 10 в триллионной степени даже мало, для компьютерных вычислений. То тут вообще то речь, о каком угодно большом числе, но чисто условно конечном (которому не нужны N + 1 = N).
Математика, мой необразованный юный собеседник, не сводится к компьютерным вычислениям. Как я уже говорил, существуют направления в математике, обходящиеся без актуальной бесконечности (полностью или использующие ее с ограничениями, например без аксиомы выбора). Только вот того, что можно доказать с таким подходом, сильно недостаточно даже для прикладных задач (в том числе тех, для которых компьютерные вычисления используются). Простейший пример — понятие вещественного числа. Тут уж Вы никак не обойдетесь финитарными аппроксимациями, если хотите построить хоть сколько-нибудь полезный "мат. анализ", хотя бы на уровне аккуратного определения сходимости и производной. То, что в компьютере "вещественных чисел" конечное число, ничего не меняет. Несомненно, оперирования с бесконечностями требует некоторой привычки и образования. Незрелым умам лучше на подобные темы не рассуждать. По крайне мере публично. Просто чтобы не выглядеть совсем уж глупо. А Ваши познания в этой области явно less than rudimentary.
Засим откланиваюсь, ибо дальнейшее обсуждение явно бесполезно.
Re[11]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
3>>Ваш "предельный переход" — это ярчайший пример полного (и, похоже, безнадежного) непонимания. S_S>Еще хуже — убеждение, что бесконечностей вообще не существует. Для практических целей существуют только пределы — доказали свою полезность.
В математике вообще ничего не "существует". Важно только то, что утверждения логически верны и правильно выводятся из аксиом.
S_S>Допустим, мне бесконечности вообще не нужны (и эти костыли), достаточно предела в бесконечность. Поэтому для меня целых в 2 раза больше.
Если это так, то сломается куча всего в матанализе. Ведь если целых в 2 раза больше, то и нельзя (например), сопоставить tg(x) и arctan(x). Так как tan(x) может принимать сколь угодно большие значения, а вот arctan — только из ограниченного интервала.
Да и вообще вся концепция обратной функции теряет смысл, кроме как для линейной функции.
Sapienti sat!
Re[5]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Еще добавлю. Есть простое доказательство(якобы?), что натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел. Но если так доказывать, то это приблизительный ответ, с точностью до умножения на конечную константу. S_S>Возьмем ряд всех возможных натуральных чисел: 1,2,3,..., infinity S_S>Умножим каждый элемент ряда на 2: 2,4,6,..., 2*infinity S_S>Теперь это ряд всех возможных четных натуральных. И, якобы, из-за умножения количество элементов не могло измениться.
Умножение тут вообще непричём.
Два множества равномощны (имеют одинаковый размер), если каждому элементу одного множества можно сопоставить ровно один элемент из другого. Т.е. если есть хотя бы один метод такого сопоставления ("отображение").
В случае с чётными и натуральными числами очевидный способ создания такого отображения — это сопоставить числа друг другу с помощью операции умножения. Так что 1 отображается в 2, 2 в 4, 3 в 6 и т.д. Можно легко доказать, что это отображение отвечает всем условиям.
Более того, можно сопоставить натуральные числа и все рациональные. Ещё хуже, можно сопоставить натуральные числа и все алгебраические.
Sapienti sat!
Re[16]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3> если хотите построить хоть сколько-нибудь полезный "мат. анализ", хотя бы на уровне аккуратного определения сходимости и производной.
Мат. анализ появился задолго до "аксиоматической теории множеств". Потом уже начали пытаться создавать аксиоматическую теорию и подгонять под существующий результат. И там было не все однозначно и гладко ...
Но меня интересует конкретный вопрос.
В примере выше, сравнивая множества целых и натуральных получилось 2 результата.
1) Мощности равны.
2) Целых в 2 раза больше, чем натуральных.
Как математики это интерпретируют? Что из приведенного ниже верно, или есть еще варианты ?
— Либо второй результат полностью ошибочный.
— Либо оба правильных. Второй точный, а первый приблизительный(более абстрактный). И в случаях, где можно сравнить точно, незачем применять приблизительное сравнение мощностей...
Re[6]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>В случае с чётными и натуральными числами очевидный способ создания такого отображения — это сопоставить числа друг другу с помощью операции умножения. Так что 1 отображается в 2, 2 в 4, 3 в 6 и т.д. Можно легко доказать, что это отображение отвечает всем условиям.
И все высказывания в этом контексте. Ответа я не дождался. Не считая ответа : "по-простому только кошки плодятся".
Если там недостаточно подробно, то в предыдущих постах ветки пояснения.
Re[7]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
S_S>И все высказывания в этом контексте. Ответа я не дождался. Не считая ответа : "по-простому только кошки плодятся". S_S>Если там недостаточно подробно, то в предыдущих постах ветки пояснения.
Ответы были, причем весьма развернутые. Просто Вы их не поняли. Ну что же, бывает. Значит, как говаривал в таких случаях И.М.Гельфанд, не дано.
Re[8]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ответы были, причем весьма развернутые. Просто Вы их не поняли. Ну что же, бывает. Значит, как говаривал в таких случаях И.М.Гельфанд, не дано.
Когда не понимают, то переспрашивают. Ответ "в 2 раза больше" некорректный совсем? Или только в некоторых контекстах некорректный? Или корректный?
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Когда не понимают, то переспрашивают. Ответ "в 2 раза больше" некорректный совсем? Или только в некоторых контекстах некорректный? Или корректный?
"Совсем неправильный".
Re[10]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>"Совсем неправильный".
Все же последний вопрос.
На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя?
Или ответ не правильный из-за того, что там присутствовал Count — подсчет количества элементов (не арифметическая операция)?
Re[11]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Все же последний вопрос. S_S>На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя? S_S>Или ответ не правильный из-за того, что там присутствовал Count — подсчет количества элементов (не арифметическая операция)?
Да дело не этом. Просто Вы никак не поймете, что, Ваши "пределы" не являются числами а обычном смысле. Поэтому выражение "в два раза больше" для них просто лишено смысла. Вы же сравниваете две бесконечности. Если угодно, два бесконечных кардинала. А для бесконечных кардиналов "в два раза больше" — то же самое, что "равно". Ну невозможно корректно определить смысл утверждения о том, что в одном бесконечном множестве элементов "в два раза больше", чем в другом. Я уже писал об этом. Повторю. Если N — бесконечный, а k — конечный кардиналы, то N = N * k = N ^ k.
Операции умножения и возведения в степень определяются в данном случае следующим образом:
Если Т = |X| (мощность множества X), то N*k — это мощность дизъюнктивного объединения к экземпляров множества X, а N^k — мощность декартова произведения k экземпляров X или (что тоже самое) мощность множества различных отображений из множества мощности k в X.
Если N и M — два бесконечных кардинала, то N < M тогда и только тогда когда существует однозначное отображение (вложение) N -> M, но не наоборот. Можно доказать (с помощью аксиомы выбора) что любый два кардинала можно сравнить в смысле приведенного определения, более того, для любого кардинала существует наименьший их тех, что строго больше его. В этом смысле они чем-то похожи на натуральные числа. Но вот "арифметика" у них совершенно другая.
Все это придумано более ста лет назад. Прежде чем с апломбом вываливать на публику свои вопиюще безграмотные идеи, прочтите хотя бы один нормальный учебник.
Вы же элементарных вещей не понимаете, о чем свидетельствует в частности Ваш последний вопрос. Даже спросить толком не можете из-за своего дремучего невежества. Вы точно хотя бы среднюю школу закончили?
Re[11]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
SS> 3>"Совсем неправильный". SS> Все же последний вопрос. SS> На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя? SS> Или ответ не правильный из-за того, что там присутствовал Count — подсчет количества элементов (не арифметическая операция)?
В пределах бесконечность не используется. Эта запись x->∞, просто условное обозначение для понятия предела, который определяется вполне алгебраически без всяких бесконечностей, например, через ε,δ.
3>Вы же элементарных вещей не понимаете, о чем свидетельствует в частности Ваш последний вопрос. Даже спросить толком не можете из-за своего дремучего невежества. Вы точно хотя бы среднюю школу закончили?
Инженерное образование (даже скорее с мат. уклоном) тут мало что дает. Еще и давно было. Там была только математика, а здесь вопрос по "математике математики".
3>Все это придумано более ста лет назад. Прежде чем с апломбом вываливать на публику свои вопиюще безграмотные идеи, прочтите хотя бы один нормальный учебник.
"Идеи" — слишком громко сказано. Скорее положительно ответил вопрос(года 3 назад) "можно ли понятие предела распространить на этот случай". Показалось, что это вопрос только терминологии и недоказуемо и ни на что не влияет.
Насчет того — стоит ли "чайникам" лезть в эту тему. Если "резонансный" вопрос всплывает сам собой, и нигде не получается подсмотреть правильный ответ.
То либо признать это парадоксом(для себя), либо ответ появится сам и скорее всего неправильный.
Например — теория относительности. Многие "чайники" просто не могут обойти ее стороной, хотя и многим инженерам ее даже не преподают т.к. им не нужна.
Работа с бесконечностями — тоже такая "резонансная" тема для чайников.
Когда то, что-то читал на эту тему. Но и тогда не смог бы доказать, что пределы(из мат. анализа) нельзя распространять на такие случаи.
Re[13]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Когда то, что-то читал на эту тему. Но и тогда не смог бы доказать, что пределы(из мат. анализа) нельзя распространять на такие случаи.
Проблема в твоем рассуждении не в пределах, а в отсутствии определений, как уже здесь писали.
Определи сначала "количество элементов множества" для бесконечных множеств, и тогда уже рассуждай дальше. Может и получится простроить теорию. Но я бы сначала изучил основы высшей математики, которую вообще кроме мех. матов нигде не преподают. Как минимум нужен математический подход к рассуждениям.
Принятое в математике определение "мощность множества", например, исходит из построения взаимно-однозначных соответствий.
У сложных вещей обычно есть и хорошие, и плохие аспекты.
Берегите Родину, мать вашу. (ДДТ)
Re[14]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
lpd>Принятое в математике определение "мощность множества", например, исходит из построения взаимно-однозначных соответствий.
Скорее равномощность. Для разной мощности соответствия уже не взаимные.
Переубедить Вас, к сожалению, мне не удастся, поэтому сразу перейду к оскорблениям.
Re[15]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, ути-пути, Вы писали:
lpd>>Принятое в математике определение "мощность множества", например, исходит из построения взаимно-однозначных соответствий.
УП>Скорее равномощность. Для разной мощности соответствия уже не взаимные.
И тут нужно влезть. Хотя ни уха ни рыла, как всегда. Мощность — есть класс эквивалентности по взаимно-однозначному соответствию. Если конечно это что-то говорит "патриотически" настроенному индивидууму.
Re[16]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>И тут нужно влезть. Хотя ни уха ни рыла, как всегда. Мощность — есть класс эквивалентности по взаимно-однозначному соответствию. Если конечно это что-то говорит "патриотически" настроенному индивидууму.
Ты хочешь сказать, что множества разной мощности взаимно однозначно соответствуют друг другу? Или хочешь сказать, что не умеешь читать, а наехать хочется?
Переубедить Вас, к сожалению, мне не удастся, поэтому сразу перейду к оскорблениям.
Re[17]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, ути-пути, Вы писали:
УП>Ты хочешь сказать, что множества разной мощности взаимно однозначно соответствуют друг другу? Или хочешь сказать, что не умеешь читать, а наехать хочется?
Прежде, чем рассуждать о множествах "разной мощности" нужно определить, что такое мощность (cardinality). Но такие тонкости не для ветеранов лейб-гвардии. Для наворачивания портянок не требуются.
Re[18]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Прежде, чем рассуждать о множествах "разной мощности" нужно определить, что такое мощность (cardinality). Но такие тонкости не для ветеранов лейб-гвардии. Для наворачивания портянок не требуются.
Понятно. Извини, что уязвил твое ЧСВ, тем, что не ты один чего-то знаешь, хамло.
Переубедить Вас, к сожалению, мне не удастся, поэтому сразу перейду к оскорблениям.
Re[19]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, ути-пути, Вы писали:
3>>Прежде, чем рассуждать о множествах "разной мощности" нужно определить, что такое мощность (cardinality). Но такие тонкости не для ветеранов лейб-гвардии. Для наворачивания портянок не требуются.
УП>Понятно. Извини, что уязвил твое ЧСВ, тем, что не ты один чего-то знаешь, хамло.
Ну, "знает" в отношении Вас это пожалуй слишком громко сказано. Так, "слыхал звон"....
Re[13]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+N], выкинем 0 (это не существенно)
S_S>При N = 3: целых 6, натуральных 3, соотношение 2 S_S>... S_S>При N = 1000, Целых 2000, натуральных 1000, соотношение 2 S_S>... S_S>Через триллион триллионов лет ... снова соотношение 2. S_S>И никогда уже не получится изменить это соотношение 2.
S_S>В этом есть большой практический смысл — знать это соотношение.
Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+2N], выкинем 0 (это не существенно)
При N = 3: целых 9, натуральных 6, соотношение 3/2
...
При N = 1000, Целых 3000, натуральных 2000, соотношение 3/2
...
Через триллион триллионов лет ... снова соотношение 3/2.
И никогда уже не получится изменить это соотношение 3/2.
Значит, целых чисел в полтора раза больше, чем натуральных, это фундаментальное и очень важное на практике соотношение!)
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
3>>"Совсем неправильный". S_S>Все же последний вопрос. S_S>На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя?
На целых (или рациональных) числах матанализ не работает, так как множество теорем требуют именно вещественных чисел.
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
3>> если хотите построить хоть сколько-нибудь полезный "мат. анализ", хотя бы на уровне аккуратного определения сходимости и производной. S_S>Мат. анализ появился задолго до "аксиоматической теории множеств". Потом уже начали пытаться создавать аксиоматическую теорию и подгонять под существующий результат. И там было не все однозначно и гладко ...
В почти всей науке всегда так было — она появлялась с середины, а затем находили фундамент. Конкретно для матанализа его построили полностью только в начале 19-го века, в работах Коши и Вейерштрасса, в виде эпсилон-дельта формализации.
S_S>Но меня интересует конкретный вопрос. S_S>В примере выше, сравнивая множества целых и натуральных получилось 2 результата. S_S>1) Мощности равны.
Да.
S_S>2) Целых в 2 раза больше, чем натуральных.
Не в стандартной теории множеств.
S_S>Как математики это интерпретируют? Что из приведенного ниже верно, или есть еще варианты ? S_S> — Либо второй результат полностью ошибочный.
Именно так. Он приводит к противоречивым результатам.
Sapienti sat!
Re[13]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Ну почему же лишена. Даже по-простому без лишних формальностей. S_S>Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+N], выкинем 0 (это не существенно) S_S>В этом есть большой практический смысл — знать это соотношение.
Можно. Считаем отношение: count(x)/count(x|2), x -> inf.
Получаем на бесконечности неопределённость вида inf/inf. И что дальше делать? Эта бесконечность неразрешима, предел просто не существует.
Если бы это была функция, то на вещественных числах можно было бы воспользоваться правилом Лопиталя. Но это правило не работает для последовательностей (так как требует теорему о среднем значении).
Sapienti sat!
Re[14]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, lpd, Вы писали:
lpd> Может и получится простроить теорию. Но я бы сначала изучил основы высшей математики, которую вообще кроме мех. матов нигде не преподают.
Планов строить теорию не было. Все попроще. 3 года назад увидел видос. Автор сравнивал количество натуральных и четных. Из-за того что стиль был — научпоп для чайников, он не вводил понятия мощности.
И было похоже, что он сравнивает точное количество. Меня это сильно возмутило — надо хотя бы делать предельный переход, тогда разница в 2 раза, а не точное равенство.
Первый пост в этой ветке, показалось, тоже об этом и тоже возмутил.
Про "мощность" прочитал уже после первого ответа.
Re[14]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, jahr, Вы писали:
J>Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+2N], выкинем 0 (это не существенно) J>Значит, целых чисел в полтора раза больше, чем натуральных, это фундаментальное и очень важное на практике соотношение!)
Значит только для натуральных и четных можно этот трюк более менее пропихнуть.
При желании можно было бы этот баг пофиксить, хотя желания нет.
Например (это уже шутка, а не ошибка), ввести бытовое определение целого числа: Конструируется так. Копируется натуральный ряд [1..N], копия умножается на -1 и объединяется с основным и нулем. Тогда ты бы не смог взять [-N...+2N]
Хотя тогда по определению бы было в 2 раза больше.
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>И было похоже, что он сравнивает точное количество. Меня это сильно возмутило — надо хотя бы делать предельный переход, тогда разница в 2 раза, а не точное равенство. S_S>Первый пост в этой ветке, показалось, тоже об этом и тоже возмутил. S_S>Про "мощность" прочитал уже после первого ответа.
Так в этом и цель научпопа — дать толчок интересу. Есть ещё интересный результат про удвоение шаров: был один, а потом — опля! — уже два. Это круче волшебников с их кроликами из шапки!
Здравствуйте, jahr, Вы писали:
J>Например, считаем целые и натуральные на интервале [-N...+2N], выкинем 0 (это не существенно)
Да, кстати, это и есть объяснение понятное даже школьнику, почему ответ "не число".
Если даже введем понятия, позволяющие сравнивать — во сколько раз одна бесконечность больше другой.
Тогда для целого числа есть бесконечное число вариантов — во сколько раз положительная ось могла бы быть длиннее отрицательной. Каждый вариант сойдет за целое число.
Если считать, что определение одно, тогда для соотношения длин ответ: "не число".
Re[15]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
SS> Да, кстати, это и есть объяснение понятное даже школьнику, почему ответ "не число". SS> Если даже введем понятия, позволяющие сравнивать — во сколько раз одна бесконечность больше другой.
Ну можешь почитать расширения чисел, например про ординалы.
Введём такое число ω, обладающее таким свойством, что для любого натурального n верно, что ω > n. И вот с такими числами можно свою арифметику делать. Правда, она получается немного необычной. Например, 1 + ω = ω, но ω + 1 > ω.
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
S_S>>На целых числах пределы определены или нет? Например, lim (10*x)/x, при x->infinity. Для целых x так нельзя? C>На целых (или рациональных) числах матанализ не работает, так как множество теорем требуют именно вещественных чисел.
Вы не совсем правы. Как я понял, вопрос был о целочисленных значениях аргумента. А, во-вторых, предел даже непостоянной последовательности с рациональными значениями может существовать, просто он не обязательно должен быть целым (рациональным), а, например вещественным или p-адическим. Но может и быть. Например последовательность {1 + 1/n} благополучно сходится к 1. Но несомненно, что для большинства содержательных утверждений анализа полнота поля вещественных чисел необходима.
Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:
C>Можно. Считаем отношение: count(x)/count(x|2), x -> inf. C>Получаем на бесконечности неопределённость вида inf/inf. И что дальше делать? Эта бесконечность неразрешима, предел просто не существует.
Все же проблема была не в этом. Если задача будет корректная, если не будет аналитического решения, может быть численное.
Проблема в том, что пределы это все равно не бесконечности.
Например, конкретная задача. Берем конечный ряд [1..N]. Фильтруем его — удаляем нечетные. И считаем — во сколько раз уменьшилось число элементов. И что происходит с этим числом при росте N.
Ответ: стремится к 2, при N->infinity.
Если бы были проблемы с аналитическим решением. Можно это смоделировать на компьютере — создавать ряд, фильтровать, подсчитывать.
Но это решение только этой задачи без актуальных бесконечностей. В основаниях математики другие задачи и определения с бесконечностями, и такие пределы бесполезны.
Поэтому, нельзя сказать : "натуральных вдвое больше, чем четных-натуральных"
Re[15]: Любимые книги по математике школьного и вузовского вр
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Все же проблема была не в этом. Если задача будет корректная, если не будет аналитического решения, может быть численное.
На бесконечности ты численно ничего не сделаешь.
Например, гипотеза Римана:
На 2004 год Янником Саутером и Патриком Демишелем численными методами было проверено, что более 1013 (более десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности гипотезы, но не гарантирует её. Однако, вычислительная проверка сколь угодно большого числа нетривиальных нулей нисколько не приближает к реальному доказательству. Например, долгое время гипотеза Мертенса также подавала большие надежды на истинность, проходя всевозможные вычислительные проверки, но позже она оказалась опровергнута. Это яркий пример математического доказательства, противоречащего большому количеству вычислительных доказательств в пользу гипотезы.
С другой стороны, некоторые задачи удаётся свести к конечному числу случаев. Так было, насколько я знаю с теоремой Ферма, но справились без компьютеров. Тут справились только с техникой.
Но не надо отождествлять возможность решения численно с неправильным использованием терминов. Если формулировка на бесконечности, то и работать надо с бесконечностями. Нет?
Re[16]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:
N>На бесконечности ты численно ничего не сделаешь. N>Например, гипотеза Римана: N>[q]
Единственное, что может возможно. Оправдать некоторые сомнительные методы таким допущением: "Возьмем какой угодно быстрый компьютер, но конечный". И что из этого следует, теоретически.
Число все число PI он не просчитает, а производные или пределы численно посчитает точно?
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Число все число PI он не просчитает, а производные или пределы численно посчитает точно?
Если не в символьных вычислениях, то с погрешностями. Но твой изначальный вопрос был же в другом, а именно в некорректном использовании определений. Определение — это не гипотеза или теорема, которую можно доказать или опровергнуть. Я уже упоминал тут Фреге, который свёл математику с логикой воедино и его труды были непротиворечивы вплоть до Рассела с его парадоксом. Там уже начали придумывать новые теории, но от парадокса так и не избавились. Но твоя "проблема" лежит как бы в стороне от математики вообще, ты ставишь другую проблему, но пытаешься с помощью неё показать неправильность определений (!) из другой области.
Возможно, что от Кантора и Фреге тебе надо изучить аксиоматику ZFC и NBG, чтобы посмотреть на другие подходы и вообще начать с самого низа — с аксиом, а не "прыгать" от середины к началу.
Самое забавное, что тут может быть — допустим, что у тебя всё получилось:
1. ты оказываешься прав, доказав пределами разномощность множеств;
2. из этого следует, что все основания используемой тобой математики неверны;
3. вся теория теория пределов перестаёт автоматически работать, твои методы становятся некорректны;
4. получается, что ты использовал некорректные методы для доказательства, значит, твоё доказательство тоже неверно!
5. А раз твоё доказательство неверно, то множества остаются по прежнему равномощными.
Re[18]: Любимые книги по математике школьного и вузовского в
