Это делается не через эмуляцию нажатия на кнопку а через отправку GET или POST запросов серверу.
Скорее всего на там сайте есть форма (<form>), при сабмите которой данные отправляются с помощью GET или POST метода на определенный скрипт.
Нужно просто посмотреть адрес этого скрипта, посмотреть каким методом (get или post) передаются ему данные и выполнять соответствующий запрос из вашего скрипта.
Результат запроса (это будет скорее всего ответная html-страница) нужно парсить, чтобы получить нужные данные. Если результатом будет не html страница, а специальный xml — то там будет несколько удобнее, т.к. обычно пройтись по xml проще чем парсить страницу регулярными выражениями.
Соответственно ваш вопрос теперь должен трансформироваться в "как отправить GET или POST запрос {ПОДСТАВИТЬ_СЮДА_ВАШ_ЯЗЫК}". Удачи.