B>Подумал, а не выставить ли мне счет покупателю напрямую через мой банк (я ИП в Грузии).

Именно так и сделайте

B>Проблема в том, что я не знаю, как это вообще делается:
B>- Я просто отправлю клиенту номер SWIFT и сумму? Как "выставить счет", или это не какая-то функция интернет-банка, а просто письмо клиенту?
B>- Как сделать, чтобы в получателе светился не "IP Ivanov Ivan", а название моего продукта? Или хотя бы какая-то пометка.

Надо сделать счёт / договор на 1 страничку
Можете сделать англо / грузинский. Или просто на английском

Для таких больших сумм я ещё на всякий случай акт передачи делаю после получения оплаты.
В котором вторая сторона ставит печать и подпись, подтверждая, что они получили товар