Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>
R>В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Предполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Можно и без интегралов, и без подсказки.
Пусть R — радиус шара, L — диаметр цилиндра, a — угол при основании (в прямоугольнике изображающем на картинке цилиндр проводим диагональ, tg a = H/L, а длина диагонали 2*R)
L = 2*R*cos a
H = 2*R*sin a
Vшара = 4/3*Pi*R^3
Vцилиндра = Pi*(L/2)^2*H=...=2*Pi*R^3*(sin a - sin^3 a)
Vсегмента=1/3*Pi*h^2*(3*R-h)=...= 1/3*Pi*R^3*(2 - 3*sin a + sin^3 a)
(здесь h =R-H/2 это высота сегмента-колпачка)
V=Vшара-Vцилиндра-2*Vсегмента-колпачка=...=4/3*Pi*R^3*sin^3 a=Pi*H^3/6
Все действительно сокращается, выживает зависимость только от H