А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком? А
еще желательно и с примерами
Прочитал несколько ссылок целый час, но так и не понял ее практическое
применение, да и смысл тоже
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком? А DAS>еще желательно и с примерами DAS> Прочитал несколько ссылок целый час, но так и не понял ее практическое DAS>применение, да и смысл тоже
что то в эту субботу всех на наркоту потянуло..
в rsdn.nemerle наверное тоже всплеск активности..
DAS> А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком? А DAS>еще желательно и с примерами
Ну это значит, что математики понимают ограниченность своего способа познания мира. Что есть какой-то иной, не на формальной логике основанный способ понять что некое утверждение -- истина. При этом нет способа эту истину доказать в рамках математики...
Например, математики знают, что математика непротиворечива, но доказать этого не могут, зато доказали, что не могут этого доказать
DAS> Прочитал несколько ссылок целый час, но так и не понял ее практическое DAS>применение, да и смысл тоже
Не совсем понятно что есть "практическое применение". Вот какое есть практическое применение факта, что поле или кольцо над R не может иметь размерность иную, чем 1, 2, 4 или 8?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
DAS>> Прочитал несколько ссылок целый час, но так и не понял ее практическое DAS>>применение, да и смысл тоже E>Не совсем понятно что есть "практическое применение". Вот какое есть практическое применение факта, что поле или кольцо над R не может иметь размерность иную, чем 1, 2, 4 или 8?
Послушайте Егор, если уж Вы не знаете математики, то постарайтесь, по крайне мере, удержаться от комментариев на эту тему. Только голову людям морочите.
1. Кольцо над R (как и над любым полем) может иметь любую конечную размерность.
2. 1,2,4,8 — это размерности конечномерных алгебр с делением (причем 8-мерная алгебра Кэли — неассоциативная, т.е. не является кольцом), и этот факт очень даже важный, разумеется, не для average Joe.
3. Пассаж про то, что "математики понимают ограниченность своего способа познания мира" — вообще ни в какие ворота не лезет, ибо математика не занимается "познанием мира".
3>1. Кольцо над R (как и над любым полем) может иметь любую конечную размерность.
3>2. 1,2,4,8 — это размерности конечномерных алгебр с делением (причем 8-мерная алгебра Кэли — неассоциативная, т.е. не является кольцом), и этот факт очень даже важный, разумеется, не для average Joe.
Не понял ни слова, точнее отдельные-то слова вроде знакомы, но вот про что это... . Я один здесь такой тупой/далекий от математики?
TMU>Не понял ни слова, точнее отдельные-то слова вроде знакомы, но вот про что это... . Я один здесь такой тупой/далекий от математики?
Успокойтесь — подавляющее большинство людей далеки от математики (молекулярной биологии, теоретической физики, мостостроения....).
Если они отдают себе в этом отчет — все нормально.
3>>2. 1,2,4,8 — это размерности конечномерных алгебр с делением (причем 8-мерная алгебра Кэли — неассоциативная, т.е. не является кольцом), и этот факт очень даже важный, разумеется, не для average Joe.
TMU>Не понял ни слова, точнее отдельные-то слова вроде знакомы, но вот про что это...
действительные числа, комплексные числа, кватернионы, октонионы. Кватернионы некоммутативны, октонионы неассоциативны, дальше хуже: ожно построить алгебру седенионов (размерность 16), но там уже появляются делители нуля и вообще алгебра получается оригинальная.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком? А DAS>еще желательно и с примерами
Объясняю. Вот есть Карлос Кастанеда. Модный в гуманитарных кругах кумир, которого никто не понимает но о котором сегодня все "претендующие на продвинутость" должны говорить с придыханием, чтобы друг друга распознавать.
Так вот Гедель со своей неполнотой — это тот же Кастанеда только в технических кругах.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком?
Я как-то писал про нее здесь.
Эта теорема показывает, что любую формальную систему T с конечным количеством аксиом и схем аксиом, в которой не доказуемо ни одно ложное утверждение, и доказуемы некоторые элементарные утверждения о натуральных числах, можно усилить, добавив в нее истинную схему аксиом "Если высказывание F доказуемо в T, то F" (причем эта схема может быть выражена как высказывание о натуральных числах). Значит, никакой формальной системы с конечным количеством аксиом и схем аксиом, в которой не доказуемо ни одно ложное утверждение, недостаточно, чтобы доказать все истинные утверждения о натуральных числах.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Что есть какой-то иной, не на формальной логике основанный способ понять что некое утверждение -- истина.
Математики поняли это гораздо раньше появления теоремы Гёделя, когда появилось понятие аксиомы.
Теорема Гёделя всего лишь показала, что нельзя обойтись конечным количеством аксиом.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>3. Пассаж про то, что "математики понимают ограниченность своего способа познания мира" — вообще ни в какие ворота не лезет, ибо математика не занимается "познанием мира".
Матема́тика — это наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач.
В любом случае, не надо забывать, что мозги математиков находятся в реальном мире и функционируют по его законам. И способности к формулировке, доказательству и осознанию истинности математических утверждений у любого индивидуума возникает лишь в процессе его взаимодействия с окружающим миром.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
N>
N>Матема́тика — это наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач.
Вы бы еще на "Мурзилку" сослались....
N>В любом случае, не надо забывать, что мозги математиков находятся в реальном мире и функционируют по его законам. И способности к формулировке, доказательству и осознанию истинности математических утверждений у любого индивидуума возникает лишь в процессе его взаимодействия с окружающим миром.
Ну и что? Мозги писателей, композиторов и художников функционируют точно также, однако никто не относит их деятельность к естествознанию. Можно конечно расширить трактовку слов "познания мира", только тогда это выражение вообще теряет смысл, т.к. становится применимым вообще ко всему.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>2. 1,2,4,8 — это размерности конечномерных алгебр с делением (причем 8-мерная алгебра Кэли — неассоциативная, т.е. не является кольцом), и этот факт очень даже важный, разумеется, не для average Joe.
Это всего лишь спор про определения, которыми ты пользуешься. Если ты думаешь, что объяснил понятнее, то я удивлён...
Кроме того тема "практического использования" всё равно не раскрыта...
3>3. Пассаж про то, что "математики понимают ограниченность своего способа познания мира" — вообще ни в какие ворота не лезет, ибо математика не занимается "познанием мира".
Ну это всего лишь демонстрирует, что не все математики понимают что именно они изучают...
Кстати, если математики изучают не мир, то что и каков критерий истинности утверждений?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Успокойтесь — подавляющее большинство людей далеки от математики (молекулярной биологии, теоретической физики, мостостроения....). 3>Если они отдают себе в этом отчет — все нормально.
Намного важнее, IMHO, чтобы люди были поближе к вежливости и конструктиву
Кстати, объяснения-то от людей "недалёких от математики" последуют практического применения теоремы Гёделя?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Более точные формулировки — в английской версии статьи.
"Сходи в английскую википедию" -- это безусловно объяснение на понятном языке
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, TMU_1, Вы писали:
TMU>>Не понял ни слова, точнее отдельные-то слова вроде знакомы, но вот про что это... . Я один здесь такой тупой/далекий от математики?
3>Успокойтесь — подавляющее большинство людей далеки от математики (молекулярной биологии, теоретической физики, мостостроения....). 3>Если они отдают себе в этом отчет — все нормально.
И чё? Если уж нам так недоступна это высшее знание, так давайте называть математиков сектой и членов выбирать по заслугам! О, великий Гуру номер 31415926! А всех остальных надо определённо расстреляьть!
А если серъёзно, не стоит отбивать желание познать Вашу сверх-науку у неглупых людей! Хотя мне интересно почему некоторые так отчаянно отстаивают недоступность науки — личные причины ?! А если Вы гуру и отдаёте себе в этом отчёт, так почему же вы не можете объяснить для простого Джо?
Народ, я просто призываю всех думать! "Успокойтесь" — смерти подобно!
"nikov" <55905@users.rsdn.ru> writes:
> Эта теорема показывает, что любую формальную систему T
Что такое формальная система? Евклидова геометрия является формальной
системой.
Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории
существует истинное утверждение, которое средствами самой теории невозможно
ни доказать, ни опровергнуть.
Я правильно понимаю, что смысл первой теоремы Геделя сводится к тому,
что в любой теории (например, в Евклидовой геометрии) существует ряд
высказываний (аксиом), которые доказать средствами самой теории нельзя и мы
просто принимаем их за истину — аксиомы геометрии.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Давайте свой авторитетный источник.
Ну — почитайте, например, Вигнера ("Непостижимая эффективность математики в естественных науках"), Фейнмана("Математика и физика").
Из математиков на эту тему писали Пуанкаре, Герман Вейль, Харди ("A Mathematician's Apology") . Их современников — Арнольд, Манин( см. напр. недавно вышедший сборник "Математика: границы и перспективы" или книжку Манина "Математика как метафора"). Единой точки зрения нет.
Здравствуйте, altmenn, Вы писали:
3>>Успокойтесь — подавляющее большинство людей далеки от математики (молекулярной биологии, теоретической физики, мостостроения....). 3>>Если они отдают себе в этом отчет — все нормально.
A>И чё? Если уж нам так недоступна это высшее знание, так давайте называть математиков сектой и членов выбирать по заслугам! О, великий Гуру номер 31415926! А всех остальных надо определённо расстреляьть!
A>А если серъёзно, не стоит отбивать желание познать Вашу сверх-науку у неглупых людей! Хотя мне интересно почему некоторые так отчаянно отстаивают недоступность науки — личные причины ?! А если Вы гуру и отдаёте себе в этом отчёт, так почему же вы не можете объяснить для простого Джо?
Никто не говорит о сектах и расстрелах. Просто в любой науке имеются вещи, настоящее понимание которых требует изрядной профессиональной подготовки, отсутствие которой не есть признак ущербности. А науку (любую), изучают на на форумах, неглупый Вы наш....
"31415926" <66093@users.rsdn.ru> writes:
> А науку (любую), изучают на на форумах, неглупый Вы наш....
Ну, в общем то, мой жизненный опыт показывает, что если человек разбирается в предмете, то он может рассказать простым житейским языком о сути предмета, каким бы сложным он не был.
Я не говорю, про детальное обсуждение всех ньюансов и аспектов, а о
примитивном описании самого предмета.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>"31415926" <66093@users.rsdn.ru> writes:
>> А науку (любую), изучают на на форумах, неглупый Вы наш....
DAS>Ну, в общем то, мой жизненный опыт показывает, что если человек разбирается в предмете, то он может рассказать простым житейским языком о сути предмета, каким бы сложным он не был.
Широко распространенная точка зрения. Проблема в том, что "простой житейский язык" зачастую создает, в лучшем случае, иллюзию понимания.
В частности, теоремы Геделя являются утверждениями относительно формальных систем (само определение которых весьма неочевидно), и не поддаются точной передаче на "общечеловесческий" язык, ибо "дьявол кроется в деталях".
Попытки такого переложения приводят к псевдофилосовским рассуждениям a la Лем, где ссылка на теоремы создает видимость научной обоснованности.
DAS>Я не говорю, про детальное обсуждение всех ньюансов и аспектов, а о DAS>примитивном описании самого предмета.
Считайте, что с примитивной трактовкой Вы ознакомились по Лему.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> Я правильно понимаю, что смысл первой теоремы Геделя сводится к тому, DAS>что в любой теории (например, в Евклидовой геометрии) существует ряд DAS>высказываний (аксиом), которые доказать средствами самой теории нельзя и мы DAS>просто принимаем их за истину — аксиомы геометрии.
Неправильно. Аксиомы являются тривиально доказуемыми высказываниями теории. То есть, их можно доказать, и доказательство состоит из одного шага — самой аксиомы.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
Ну, конечно, понятное дело — профи подготовка агента 31415926 — это конечно наша сила!
Но сложность самой системы растёт! Если уже сейчас нам нужен Гуру, что бы разобраться в теории, с целью её практического применения, то такая нука будет скороее всего непонята и утеряна из-за ненужности! А Гуру, не желающие или не умеющие рассказать точно и коротко , сойдут к уровню локальных проповедников, которыми никто больше не интересуеться!
Поэтому,Тов. номер 31415926! Вы радоваться должны, что теорией интерсуются! Может и денег Вам предложат если кто-нибудь когда-нибудь поймёт Ваш неоценимый вклад! Кооперируйте! Особенно если разбираетесь!
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> Я правильно понимаю, что смысл первой теоремы Геделя сводится к тому, DAS>что в любой теории (например, в Евклидовой геометрии) существует ряд DAS>высказываний (аксиом), которые доказать средствами самой теории нельзя и мы DAS>просто принимаем их за истину — аксиомы геометрии.
DAS> Или он имел в виду совсем другое ?
Нет, неправильно. Теорема Г. утверждает другое. Что можно найти такое утверждение, которое будет истинным в рамках геометрии (то есть мы можем сформулировать такую фальсифицируемую теорему, которую всегда сможем проверить и она всегда сойдётся), но это утверждение нельзя будет доказать или опровергнуть исходя из уже известных аксиом. Так что мы сможем принять это утверждение в качестве ещё одной аксиомы. В получившейся системе аксиом в свою очередь можно будет сформулировать утверждение, с аналогичными свойствами и т. д...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, altmenn, Вы писали:
A> Ну, конечно, понятное дело — профи подготовка агента 31415926 — это конечно наша сила! A>Но сложность самой системы растёт! Если уже сейчас нам нужен Гуру, что бы разобраться в теории, с целью её практического применения, то такая нука будет скороее всего непонята и утеряна из-за ненужности! А Гуру, не желающие или не умеющие рассказать точно и коротко , сойдут к уровню локальных проповедников, которыми никто больше не интересуеться!
A>Поэтому,Тов. номер 31415926! Вы радоваться должны, что теорией интерсуются! Может и денег Вам предложат если кто-нибудь когда-нибудь поймёт Ваш неоценимый вклад! Кооперируйте! Особенно если разбираетесь!
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, altmenn, Вы писали:
A>> Ну, конечно, понятное дело — профи подготовка агента 31415926 — это конечно наша сила! A>>Но сложность самой системы растёт! Если уже сейчас нам нужен Гуру, что бы разобраться в теории, с целью её практического применения, то такая нука будет скороее всего непонята и утеряна из-за ненужности! А Гуру, не желающие или не умеющие рассказать точно и коротко , сойдут к уровню локальных проповедников, которыми никто больше не интересуеться!
A>>Поэтому,Тов. номер 31415926! Вы радоваться должны, что теорией интерсуются! Может и денег Вам предложат если кто-нибудь когда-нибудь поймёт Ваш неоценимый вклад! Кооперируйте! Особенно если разбираетесь!
3>Вы перегрелись? Примите холодный душ.
Нет аргументов — не хамите!
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Нет, неправильно. Теорема Г. утверждает другое. Что можно найти такое утверждение, которое будет истинным в рамках геометрии (то есть мы можем сформулировать такую фальсифицируемую теорему, которую всегда сможем проверить и она всегда сойдётся), но это утверждение нельзя будет доказать или опровергнуть исходя из уже известных аксиом. Так что мы сможем принять это утверждение в качестве ещё одной аксиомы. В получившейся системе аксиом в свою очередь можно будет сформулировать утверждение, с аналогичными свойствами и т. д...
Вот Вам яркая иллюстрация того, что проиходит, когда люди изучают науку на форумах.
1. Евклидова геометрия не удовлетворяет условиям теорем Геделя.
2. Рассуждения об "истинных, но недоказумых" утверждениях обнаруживает полное непонимание "поциентом" базовых понятий мат. логики
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
N>>Давайте свой авторитетный источник.
3>Арнольд
АНТИНАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И МАТЕМАТИКА
В.И. Арнольд
....
Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику — сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке, к умножению и к любым доказательствам. Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.
Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика – это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы.
Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) – такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его можно с меньшими затратами.
В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).
"Erop" <39916@users.rsdn.ru> writes:
> Нет, неправильно. Теорема Г. утверждает другое. Что можно найти такое > утверждение, которое будет истинным в рамках геометрии (то есть мы можем > сформулировать такую фальсифицируемую теорему, которую всегда сможем > проверить и она всегда сойдётся), но это утверждение нельзя будет > доказать или опровергнуть исходя из уже известных аксиом. Так что мы > сможем принять это утверждение в качестве ещё одной аксиомы. В > получившейся системе аксиом в свою очередь можно будет сформулировать > утверждение, с аналогичными свойствами и т. д...
Чтобы убедиться в том, что я все правильно понял задам несколько
наводящих вопросов:
> сформулировать такую фальсифицируемую теорему
Теорему ты называешь 'фальсифицированной' всего лишь в силу того, что мы
не можем найти ее доказательства с помощью уже известных теорем и
аксиом. Но если мы будем проверять ее экспериментально бесконечно долго, все наши
проверки данной теоремы закончатся успешно. Так ?
> Так что мы сможем принять это утверждение в качестве ещё одной аксиомы.
То есть, набор аксиом в геометрии (в нашем случае) не полон. И сколько бы
новых аксиом мы не находили он всегда не будет полон? То есть, кол-во
аксиом в геометрии — бесконечность.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
N>>>Давайте свой авторитетный источник.
3>>Арнольд
N>[q] N>АНТИНАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И МАТЕМАТИКА N>В.И. Арнольд
N>....
Это — одна из точек зрения, причем явно чрезмерно полемически заостренная. Понятно, что, например, теорию чисел очень сложно считать частью естествознания, хотя, разумеется, она выросла из практических задач. В других текстах Арнольд пишет более взвешенно — о необходимости тесного взаимодействия математики и физики, что справедливо.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, altmenn, Вы писали:
A>>Нет аргументов — не хамите!
3>"Я нашел для Вас аргумент, но я не обязан добиваться, чтобы Вы его поняли"
Ну, вот, вы так сразу хотите в проповедники!? Даже пытаться не будете!?
Жаль!
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> Я правильно понимаю, что смысл первой теоремы Геделя сводится к тому, DAS>что в любой теории (например, в Евклидовой геометрии) существует ряд DAS>высказываний (аксиом), которые доказать средствами самой теории нельзя и мы DAS>просто принимаем их за истину — аксиомы геометрии.
Нет, чуть более сильное утверждение: то, что в любой теории таких высказываний можно сформулировать бесконечное количество (взаимно невыводимых, естественно).
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ну и что? Мозги писателей, композиторов и художников функционируют точно также, однако никто не относит их деятельность к естествознанию. Можно конечно расширить трактовку слов "познания мира", только тогда это выражение вообще теряет смысл, т.к. становится применимым вообще ко всему.
Ну да, это и есть познание мира (или, если угодно, познание Божьего замысла). А если нет, что что вообще такое познание мира? Любая более узкая трактовка приведет к тому, что слова "познание мира" не будет возможно применить вообще ни к чему.
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:
Pzz>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Ну и что? Мозги писателей, композиторов и художников функционируют точно также, однако никто не относит их деятельность к естествознанию. Можно конечно расширить трактовку слов "познания мира", только тогда это выражение вообще теряет смысл, т.к. становится применимым вообще ко всему.
Pzz>Ну да, это и есть познание мира (или, если угодно, познание Божьего замысла). А если нет, что что вообще такое познание мира? Любая более узкая трактовка приведет к тому, что слова "познание мира" не будет возможно применить вообще ни к чему.
Ну — если речь пошла о "познании Божьего замысла", я умолкаю.
"Pzz" <43064@users.rsdn.ru> writes:
> Нет, чуть более сильное утверждение: то, что в любой теории таких > высказываний можно сформулировать бесконечное количество (взаимно > невыводимых, естественно).
Но почему тогда в любой теории , количество аксиом ограничено? В той же
геометрии их 4(5?) если я не ошибаюсь и за последние сотни лет новых аксиом
так и не появилось.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
Pzz>>Ну да, это и есть познание мира (или, если угодно, познание Божьего замысла). А если нет, что что вообще такое познание мира? Любая более узкая трактовка приведет к тому, что слова "познание мира" не будет возможно применить вообще ни к чему.
3>Ну — если речь пошла о "познании Божьего замысла", я умолкаю.
Когда интересно до господ ученых дойдет, что "космонавты в космос летали, бога не видели" — плохой аргумент, причем с точки зрения научной методологии тоже?
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> Но почему тогда в любой теории , количество аксиом ограничено? В той же DAS>геометрии их 4(5?) если я не ошибаюсь и за последние сотни лет новых аксиом DAS>так и не появилось.
Это уже за гранью моей квалификации в предмете
Вероятно потому, что аксиомой становится не любое частное высказывание, невыводимое из других, а только те из них, которые имеют практическую ценность в качестве фундамента для построения теории.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>"Pzz" <43064@users.rsdn.ru> writes:
>> Нет, чуть более сильное утверждение: то, что в любой теории таких >> высказываний можно сформулировать бесконечное количество (взаимно >> невыводимых, естественно).
DAS> Но почему тогда в любой теории , количество аксиом ограничено? В той же DAS>геометрии их 4(5?) если я не ошибаюсь и за последние сотни лет новых аксиом DAS>так и не появилось.
Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) — непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем Геделя).
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>1. Евклидова геометрия не удовлетворяет условиям теорем Геделя.
Это никак не влияет на ответ на вопрос, "что бы это обозначало, если бы геометрия Евклида была такой теорией?"...
3>2. Рассуждения об "истинных, но недоказумых" утверждениях обнаруживает полное непонимание "поциентом" базовых понятий мат. логики
Ну так пролей же наконец свет мудрости-то, понимающий ты наш...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
>> сформулировать такую фальсифицируемую теорему
DAS>Теорему ты называешь 'фальсифицированной'
Я говорю не о "фальсифицированной", а о "фальсифицируемой" теореме. Имею в виду то, что утверждение по самой своей структуре может оказаться неверным. То есть мы можем провести какую-то проверку, которая может провалиться, а может и не провалиться.
DAS>всего лишь в силу того, что мы DAS>не можем найти ее доказательства с помощью уже известных теорем и DAS>аксиом. Но если мы будем проверять ее экспериментально бесконечно долго, все наши DAS>проверки данной теоремы закончатся успешно. Так ?
Да. Примерно так.
>> Так что мы сможем принять это утверждение в качестве ещё одной аксиомы.
DAS>То есть, набор аксиом в геометрии (в нашем случае) не полон. И сколько бы DAS>новых аксиом мы не находили он всегда не будет полон? То есть, кол-во DAS>аксиом в геометрии — бесконечность.
DAS>Что-то я сомневаюсь, что я все правильно понял
Правильно, за исключением того, что я не уверен, что геометрия включает в себя арифметику. Но как модель для понимания т. Гёделя, IMHO, сойдёт...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Ну так пролей же наконец свет мудрости-то, понимающий ты наш...
А книжки почитать — лень? Оно конечно, некрологи мониторить гораздо проще....
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>А книжки почитать — лень? Оно конечно, некрологи мониторить гораздо проще....
Я ни на что и не претендую. Ты топикстартеру-то помоги разобраться, что ли...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
"Pzz" <43064@users.rsdn.ru> writes:
> Вероятно потому, что аксиомой становится не любое частное высказывание, > невыводимое из других, а только те из них, которые имеют практическую > ценность в качестве фундамента для построения теории.
"31415926" <66093@users.rsdn.ru> writes:
> Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) - > непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем > Геделя).
А есть пример теорий, изучаемых в рамках курса технического института, к
которым применимы теоремы Генделя ?
"Erop" <39916@users.rsdn.ru> writes:
> Правильно, за исключением того, что я не уверен, что геометрия включает в > себя арифметику. Но как модель для понимания т. Гёделя, IMHO, сойдёт... >
Ага, спасибо. Осталось найти хоть одну известную мне теорию, к которой
можно применить теоремы Геделя.
Pzz>Вероятно потому, что аксиомой становится не любое частное высказывание, невыводимое из других, а только те из них, которые имеют практическую ценность в качестве фундамента для построения теории.
А, то есть частные высказывания могут иметь никакой практической ценности для предмета? Типа "белое это не черное", "что русскому хорошо — немцу смерть".
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>"31415926" <66093@users.rsdn.ru> writes:
>> Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) - >> непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем >> Геделя).
DAS> А есть пример теорий, изучаемых в рамках курса технического института, к DAS>которым применимы теоремы Генделя ?
(Формальная) арифметика, теория множеств. Наиболее известное недоказуемое утверждение последней — т.н. "континуум-гипотеза", утверждающая, что не существует множеств мощности, промежуточной между мощностями множеств натуральных и вещественных чисел. Иными словами, если элементами множества нельзя пронумеровать все вещественные числа, то само множество можно пронумеровать натуральными.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> А есть пример теорий, изучаемых в рамках курса технического института, к DAS>которым применимы теоремы Генделя ?
Один из способов задания натуральных чисел, например.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
DemAS написав(ла): > То есть, набор аксиом в геометрии (в нашем случае) не полон. И сколько бы > новых аксиом мы не находили он всегда не будет полон? То есть, кол-во > аксиом в геометрии — бесконечность.
Бррр... Набор аксиом в Эвклидовой геометрии полон и, насколько я помню,
включает в себя 3 аксиомы. 4я аксиома (о том, что все прямые углы равны)
была доказана как теорема на основании первых трех аксиом. А вот пятая
аксиома про параллельность прямых и есть иллюстрацией к теореме Геделя.
Смотри. Утверждение о том, что параллельные прямые не пересекаются верно
только в случае Евклидова пространства. Доказательство этого требует
ввода понятия кривизны пространства (в евклидовом пространстве она
постоянна и равна нулю), которое (понятие) не является и не может
являться частью геометрии.
Сколько бы аксиом ты не вводил бы в геометрию, результат будет один и
тот же: истинность теории зависит от внешних факторов (более общей
теории), например, кривизны пространства и ее постоянства.
Posted via RSDN NNTP Server 2.1 beta
Всё, что нас не убивает, ещё горько об этом пожалеет.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>(Формальная) арифметика, теория множеств. Наиболее известное недоказуемое утверждение последней — т.н. "континуум-гипотеза", утверждающая, что не существует множеств мощности, промежуточной между мощностями множеств натуральных и вещественных чисел.
А ее недоказуемость доказана, или в свою очередь остается гипотезой?
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:
Pzz>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>(Формальная) арифметика, теория множеств. Наиболее известное недоказуемое утверждение последней — т.н. "континуум-гипотеза", утверждающая, что не существует множеств мощности, промежуточной между мощностями множеств натуральных и вещественных чисел.
Pzz>А ее недоказуемость доказана, или в свою очередь остается гипотезой?
Доказана Коэном в 1963.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
Pzz>>Вероятно потому, что аксиомой становится не любое частное высказывание, невыводимое из других, а только те из них, которые имеют практическую ценность в качестве фундамента для построения теории.
DAS> А, то есть частные высказывания могут иметь никакой практической ценности для предмета? Типа "белое это не черное", "что русскому хорошо — немцу смерть".
Ну примерно. При этом заметьте, что если кто-нибудь создаст осмысленную "теорию преждевременной смерти немцев от обрусения", то высказывание, ранее казавшееся частным, вполне может играть в ней роль одной из базовых аксиом.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Это — одна из точек зрения, причем явно чрезмерно полемически заостренная. Понятно, что, например, теорию чисел очень сложно считать частью естествознания, хотя, разумеется, она выросла из практических задач. В других текстах Арнольд пишет более взвешенно — о необходимости тесного взаимодействия математики и физики, что справедливо.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS> А есть пример теорий, изучаемых в рамках курса технического института, к DAS>которым применимы теоремы Генделя ?
Теория алгоритмов, по сути проблему останова можно вывести как следствие из теоремы Геделя.
Ну и дальнеешее равитие этого направления математики http://elementy.ru/lib/430319 также применимо
к теории алгоритмов и соответсвенно к программированию.
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Это — одна из точек зрения, причем явно чрезмерно полемически заостренная. Понятно, что, например, теорию чисел очень сложно считать частью естествознания, хотя, разумеется, она выросла из практических задач. В других текстах Арнольд пишет более взвешенно — о необходимости тесного взаимодействия математики и физики, что справедливо.
FR>Похоже уже и чистые математики переходят на эту точку зрения http://elementy.ru/lib/430319
Ну — автора этой писаниниы едва ли можно считать математиком. Особенно смешит "параллельно с Колмогоровым".
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
Pzz>>А ее недоказуемость доказана, или в свою очередь остается гипотезой? 3>Доказана Коэном в 1963.
Коэн доказал утверждение "Континуум-гипотеза недоказуема в ZFC" в расширенной теории (обозначим ее ZFC'), состоящей из аксиом ZFC + дополнительная аксиома "ZFC непротиворечива". Доказуемость континуум-гипотезы в ZFC' остается открытым вопросом.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
Pzz>>>А ее недоказуемость доказана, или в свою очередь остается гипотезой? 3>>Доказана Коэном в 1963.
N>Коэн доказал утверждение "Континуум-гипотеза недоказуема в ZFC" в расширенной теории (обозначим ее ZFC'), состоящей из аксиом ZFC + дополнительная аксиома "ZFC непротиворечива". Доказуемость континуум-гипотезы в ZFC' остается открытым вопросом.
Если я не ошибаюсь,недоказуемость в ZFC' доказана Геделем. Коэн доказал независимость в ZFC. Впрочем, я не специалист в мат. логике.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
FR>>Похоже уже и чистые математики переходят на эту точку зрения http://elementy.ru/lib/430319 3>Ну — автора этой писаниниы едва ли можно считать математиком. Особенно смешит "параллельно с Колмогоровым".
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
FR>>>Похоже уже и чистые математики переходят на эту точку зрения http://elementy.ru/lib/430319 3>>Ну — автора этой писаниниы едва ли можно считать математиком. Особенно смешит "параллельно с Колмогоровым".
FR>А кем его можно считать?
Ну — образованным любителем, популяризатором. Математики все-таки теоремы доказывают. По крайней мере, так меня учили.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
FR>>Похоже уже и чистые математики переходят на эту точку зрения http://elementy.ru/lib/430319 3>Ну — автора этой писаниниы едва ли можно считать математиком. Особенно смешит "параллельно с Колмогоровым".
Грегори Хайтин — один из величайших математиков современности. Возможно, философ из него не важный...
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
FR>>А кем его можно считать? 3>Ну — образованным любителем, популяризатором. Математики все-таки теоремы доказывают. По крайней мере, так меня учили.
Странно, я читал что многие не согласны с его философий математики, но не слышал чтобы кто-то усомнился в нем как в математике, можно ссылки.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
FR>>>Похоже уже и чистые математики переходят на эту точку зрения http://elementy.ru/lib/430319 3>>Ну — автора этой писаниниы едва ли можно считать математиком. Особенно смешит "параллельно с Колмогоровым".
N>Грегори Хайтин — один из величайших математиков современности. Возможно, философ из него не важный...
Ладно — не будем затевать холивар.... Хотя для "величайшего математика" отсутствие публикаций в серьезнах математических журналах (класса "Annals of Mathematics") выглядит странно.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Коэн доказал независимость в ZFC. Впрочем, я не специалист в мат. логике.
Если в рамках теории T можно доказать недоказуемость некоторого утверждения в теории T, то это означает, что в теории T можно доказать ее непротиворечивость (т.к. в противоречивой теории доказуемо любое утверждение — [url=Мурзилка]Principle of explosion[/url]). А как мы знаем из второй теоремы Гёделя о неполноте, это возможно только в противоречивой теории. Если бы Коэн действительно доказал то, что Вы говорите, то это означало бы противоречивость ZFC.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Ладно — не будем затевать холивар.... Хотя для "величайшего математика" отсутствие публикаций в серьезнах математических журналах (класса "Annals of Mathematics") выглядит странно.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Коэн доказал независимость в ZFC. Впрочем, я не специалист в мат. логике.
N>Если в рамках теории T можно доказать недоказуемость некоторого утверждения в теории T, то это означает, что в теории T можно доказать ее непротиворечивость (т.к. в противоречивой теории доказуемо любое утверждение — [url=Мурзилка]Principle of explosion[/url]). А как мы знаем из второй теоремы Гёделя о неполноте, это возможно только в противоречивой теории. Если бы Коэн действительно доказал то, что Вы говорите, то это означало бы противоречивость ZFC.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>>"31415926" <66093@users.rsdn.ru> writes:
>>> А науку (любую), изучают на на форумах, неглупый Вы наш....
DAS>>Ну, в общем то, мой жизненный опыт показывает, что если человек разбирается в предмете, то он может рассказать простым житейским языком о сути предмета, каким бы сложным он не был.
3>Широко распространенная точка зрения. Проблема в том, что "простой житейский язык" зачастую создает, в лучшем случае, иллюзию понимания. 3>В частности, теоремы Геделя являются утверждениями относительно формальных систем (само определение которых весьма неочевидно), и не поддаются точной передаче на "общечеловесческий" язык, ибо "дьявол кроется в деталях". 3>Попытки такого переложения приводят к псевдофилосовским рассуждениям a la Лем, где ссылка на теоремы создает видимость научной обоснованности.
DAS>>Я не говорю, про детальное обсуждение всех ньюансов и аспектов, а о DAS>>примитивном описании самого предмета.
3>Считайте, что с примитивной трактовкой Вы ознакомились по Лему.
Где-то читал такую цитату (приписываемую Энштейну).
В вольной трактовке её можно сформулировать так.
Если ученый не может объяснить чем он занимается, так чтобы его поняла уборщица его института, то он зря получает свою зарплату
Здравствуйте, Ромашка, Вы писали:
Р>Бррр... Набор аксиом в Эвклидовой геометрии полон и, насколько я помню, Р>включает в себя 3 аксиомы. 4я аксиома (о том, что все прямые углы равны) Р>была доказана как теорема на основании первых трех аксиом. А вот пятая Р>аксиома про параллельность прямых и есть иллюстрацией к теореме Геделя.
Р>Смотри. Утверждение о том, что параллельные прямые не пересекаются верно Р>только в случае Евклидова пространства. Доказательство этого требует Р>ввода понятия кривизны пространства (в евклидовом пространстве она Р>постоянна и равна нулю), которое (понятие) не является и не может Р>являться частью геометрии.
Р>Сколько бы аксиом ты не вводил бы в геометрию, результат будет один и Р>тот же: истинность теории зависит от внешних факторов (более общей Р>теории), например, кривизны пространства и ее постоянства.
Нет, насколько я помню смысл другой. Смысл теоремы Гёделя был именно в том, что строилась некоторая формула, которая содержательно была "истинной" (*). Но ни её саму, ни её отрицание доказать (построить последовательность утверждений) нельзя.
А пятая аксиома — она и не истинна и не ложна.
(*) А именно — формула, утверждающая, что она сама недоказуема. Т.е формула, имеющая номер N, утверждала несуществование числа, которое было "кодом" доказательства формулы с номером N. Если доказуемо отрицание формулы N, то такое число существует. Раскодируем число и получаем доказательство N. => теория противоречива (доказали и N и не N).
Если бы она была доказуема => можно построить число X, являющееся кодом её доказательства, а именно "код доказательства N" => формула ложна (т.к она утверждает несуществование такого числа). Если доказательства нет, то формула истинна (действительно, раз доказательства нет, то значит и такого числа тоже нет, что и утверждает формула).
Насколько я понимаю, доказательство находится на стыке двух представлений о логики предикатов первого порядка: теория моделей (там, где задаётся истинность и ложность) и теории доказательств (там, где задаётся доказуемость и не доказуемость).
Здравствуйте, bt, Вы писали:
bt>Где-то читал такую цитату (приписываемую Энштейну). bt>В вольной трактовке её можно сформулировать так.
bt>
bt>Если ученый не может объяснить чем он занимается, так чтобы его поняла уборщица его института, то он зря получает свою зарплату
Это известная цитата. Не уверен, что ее следует воспринимать уж очень всерьез и буквально.
Тут вот нам постоянно внушают, что имееются какие-то неочевидные экономические законы. Чего уж говорить о теоретической физике и математике.
Опять же — все зависит от того, какой смысл вкладывать в глагол "поняла".
Кажется, кто-то из основоположников квантовой механики говорил, что "понять — значит привыкнуть"
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Имелась в виду независимость от ZFC
N>Вот-вот, он доказал "Континуум гипотеза-независима от ZFC" в ZFC'. Доказуемость континуум-гипотезы или ее отрицания в ZFC' остается открытым вопросом.
3>Это известная цитата. Не уверен, что ее следует воспринимать уж очень всерьез и буквально. 3>Тут вот нам постоянно внушают, что имееются какие-то неочевидные экономические законы. Чего уж говорить о теоретической физике и математике.
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
FR>Экономика не наука
Я то согласен с этим на 200%.... Объясните это Нобелевскому комитету.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
DAS>> А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком? А DAS>>еще желательно и с примерами
N>Еще рекомендую почитать проф. Подниекса "Вокруг теоремы Гёделя".
А хорошая ведь статья. По крайне мере не для профессионалов; дальше я судить не берусь.
По пробую я на основе ее прочтения ответить на свой же вопрос, а если буду не прав — поправьте меня.
1) Есть физика. В процессе развития этой науки ученые накапливали экспериментальные данные о каких-либо явлениях и на основе этих данных постулировали некие законы поведения нашего мира. Аксиомы. То есть, для физиков на особо важно математическое обоснование созданного ими закона, главное чтобы он надежно подтверждался экспериментальными данными.
2) В противополножность физикам, математики стараются минимизировать количество таких аксиом — утверждений, которые невозможно доказать и на которых основываются их последующие рассуждения. Более того, раньше они считали, что возможно создать конечный набор аксиом на основе которых можно будет доказывать все остальные положения математики.
3) Теорема Геделя говорит о том, что мечта математиков неосуществима. Всегда (бесконечно долго) будут появляться новые разделы математики, для существования которых, математикам придется вводить новые аксиомы — новые положение, которые всегда работают, но доказать которые в рамках данной теории невозможно. В рамках другой теории может и получится — но эта новая теория принесет свои новые аксиомы. И так далее.
DAS> А может кто-нибудь объяснить теорему Геделя понятным и доступным языком? А DAS>еще желательно и с примерами DAS> Прочитал несколько ссылок целый час, но так и не понял ее практическое DAS>применение, да и смысл тоже
Могу порекомендовать вот эту книжку здесь.
Она написана для школьников, так что должна быть понятна.
А вообще -- математику не изучают на форумах.
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>3) Теорема Геделя говорит о том, что мечта математиков неосуществима. Всегда (бесконечно долго) будут появляться новые разделы математики, для существования которых, математикам придется вводить новые аксиомы — новые положение, которые всегда работают, но доказать которые в рамках данной теории невозможно. В рамках другой теории может и получится — но эта новая теория принесет свои новые аксиомы. И так далее.
Плюс он покушается на самое святое, показывает что математика по сути такая же эксперементальная наука как и остальные
Ну и попутно для нас программистов доказывает что "серебрянной пули не существует"
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>3. Пассаж про то, что "математики понимают ограниченность своего способа познания мира" — вообще ни в какие ворота не лезет, ибо математика не занимается "познанием мира".
N>
N>Матема́тика — это наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач.
Я не совсем понимаю эту фразу. Что значит "исторически основанная"? Математика действительно выросла из бухгалтерии и землемерения, но она выросла давно из этих подгузников. В отличии от естественных наук, у математики нет некоего природно данного объекта изучения. Что разумеется не мешает использовать математические методы в естествознании.
N>В любом случае, не надо забывать, что мозги математиков находятся в реальном мире и функционируют по его законам.
Из этого никак не следует, что воображаемый математический мир есть отражение некой реальности.
N>И способности к формулировке, доказательству и осознанию истинности математических утверждений у любого индивидуума возникает лишь в процессе его взаимодействия с окружающим миром.
Неверно. Скорее наоборот. В истории математики было целый ряд выдающихся ученых, чья способность взаимодействовать с окружающим миром была ограничена. Это им не мешало, а похоже даже помогало работать.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Неверно. Скорее наоборот. В истории математики было целый ряд выдающихся ученых, чья способность взаимодействовать с окружающим миром была ограничена. Это им не мешало, а похоже даже помогало работать.
Один из самых выдающихся современных физиков как раз такой.
FR>>Похоже уже и чистые математики переходят на эту точку зрения http://elementy.ru/lib/430319
DAS>А хорошая ведь статья. По крайне мере не для профессионалов; дальше я судить не берусь. DAS>По пробую я на основе ее прочтения ответить на свой же вопрос, а если буду не прав — поправьте меня.
DAS>1) Есть физика. В процессе развития этой науки ученые накапливали экспериментальные данные о каких-либо явлениях и на основе этих данных постулировали некие законы поведения нашего мира. Аксиомы. То есть, для физиков на особо важно математическое обоснование созданного ими закона, главное чтобы он надежно подтверждался экспериментальными данными.
Не аксиомы. Постулаты. Это не то же самое.
DAS>2) В противополножность физикам, математики стараются минимизировать количество таких аксиом — утверждений, которые невозможно доказать и на которых основываются их последующие рассуждения. Более того, раньше они считали, что возможно создать конечный набор аксиом на основе которых можно будет доказывать все остальные положения математики.
Никто ничего не пытается минимизировать. Конечность или бесконечность числа аксиом ьоже никакого отношения к делу не имеет.
DAS>3) Теорема Геделя говорит о том, что мечта математиков неосуществима. Всегда (бесконечно долго) будут появляться новые разделы математики, для существования которых, математикам придется вводить новые аксиомы — новые положение, которые всегда работают, но доказать которые в рамках данной теории невозможно. В рамках другой теории может и получится — но эта новая теория принесет свои новые аксиомы. И так далее.
Нет, не так. Фактичекси с начала прошлого века математики не нуждаются в новых аксиомах. Единственное, что со времен Гильберта и Гёделя добавилось -- аксиома универсального множества Гротендика. Новые математические разделы появляются не от введения новых аксиом.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) — непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем Геделя).
А разве она не опирается на аксиоматику вещественных чисел ?
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>"Шахтер" <23118@users.rsdn.ru> writes:
>> А вообще -- математику не изучают на форумах.
DAS> А где ее изучают ?
Можно в университете. А можно дома, читая серьёзную математическую литературу.
А можно (и даже нужно) начинать не с вузовских учебников, а с библиотечки Кванта.
Здравствуйте, flonder, Вы писали:
F>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) — непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем Геделя).
F>А разве она не опирается на аксиоматику вещественных чисел ?
Это — эквивалентная формулировка. Вопреки наивной интуиции аксиоматика вещественных чисел менее "богата", чем аксиоматика натуральных.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Я не совсем понимаю эту фразу. Что значит "исторически основанная"? Математика действительно выросла из бухгалтерии и землемерения, но она выросла давно из этих подгузников. В отличии от естественных наук, у математики нет некоего природно данного объекта изучения. Что разумеется не мешает использовать математические методы в естествознании.
Математика — очень широкое понятие. Возьмем, например, теорию чисел. Можно доказать, что 7919 — простое число. Можно ли отсюда сделать вывод, что кучку из 7919 камешков нельзя разделить на несколько равных кучек? Каким образом наличие доказательства, которое является лишь последовательностью значков, может определять какие-то факты о реальном мире?
Рассмотрим теперь формальную теорию с теми же символами, что и арифметика Пеано, но с единственной аксиомой "2 + 2 = 5". Эта теория является непротиворечивой. В ней тривиально доказуемо утверждение "2 + 2 = 5". Можно ли отсюда сделать вывод, что сложив вместе две кучки по два камня с каждой, мы получим кучку из 5 камней?
N>>И способности к формулировке, доказательству и осознанию истинности математических утверждений у любого индивидуума возникает лишь в процессе его взаимодействия с окружающим миром.
Ш>Неверно. Скорее наоборот. В истории математики было целый ряд выдающихся ученых, чья способность взаимодействовать с окружающим миром была ограничена. Это им не мешало, а похоже даже помогало работать.
Ограниченость может компенсироваться способностью мозга заменять одни источники ощущений другими. Нет зрения — можно познавать мир через слух и осязание. Кто неспособен слышать лекции, может читать книги и т.д. Но если ребенка с рождения поместить в сенсорно-депривационную камеру, где он будет лишен всех ощущений, через несколько десятков лет оттуда не выйдет математик.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Я не совсем понимаю эту фразу. Что значит "исторически основанная"? Математика действительно выросла из бухгалтерии и землемерения, но она выросла давно из этих подгузников. В отличии от естественных наук, у математики нет некоего природно данного объекта изучения. Что разумеется не мешает использовать математические методы в естествознании.
N>Математика — очень широкое понятие.
Не шире самого себя.
N>Возьмем, например, теорию чисел. Можно доказать, что 7919 — простое число. Можно ли отсюда сделать вывод, что кучку из 7919 камешков нельзя разделить на несколько равных кучек?
Нельзя. Кучку из 7919 камней можно разделить на 7919 кучек по одному камню в кучке.
N>Каким образом наличие доказательства, которое является лишь последовательностью значков, может определять какие-то факты о реальном мире?
Доказательсто -- не последовательность значков. Последовательность значков -- это запись доказательства.
В нашем мире действуют законы логики. Это эмпирическое наблюдение (формулировка очень неточная, sorry). Это открывает возможность использовать дедукцию для понимания устройства реального мира. Впрочем, к математиче это не имеет отношения. Это имеет отношение к естествознанию.
N>Рассмотрим теперь формальную теорию с теми же символами, что и арифметика Пеано, но с единственной аксиомой "2 + 2 = 5". Эта теория является непротиворечивой. В ней тривиально доказуемо утверждение "2 + 2 = 5". Можно ли отсюда сделать вывод, что сложив вместе две кучки по два камня с каждой, мы получим кучку из 5 камней?
Нельзя. Но это опять к математике не имеет никакого отношения.
N>>>И способности к формулировке, доказательству и осознанию истинности математических утверждений у любого индивидуума возникает лишь в процессе его взаимодействия с окружающим миром.
Ш>>Неверно. Скорее наоборот. В истории математики было целый ряд выдающихся ученых, чья способность взаимодействовать с окружающим миром была ограничена. Это им не мешало, а похоже даже помогало работать.
N>Ограниченость может компенсироваться способностью мозга заменять одни источники ощущений другими. Нет зрения — можно познавать мир через слух и осязание. Кто неспособен слышать лекции, может читать книги и т.д. Но если ребенка с рождения поместить в сенсорно-депривационную камеру, где он будет лишен всех ощущений, через несколько десятков лет оттуда не выйдет математик.
Подмена понятий. Для того, чтобы заниматься математикой естественно нужна способность усваивать уже накопленные математические знания. Сами эти знания однако ни в коей мере не обязаны быть естественными.
Блин, неужели это так трудно понять?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Я то согласен с этим на 200%.... Объясните это Нобелевскому комитету.
AFAIK НК нашл такую лазейку в завещании Нобеля, чтобы таки награждать иногда и математиков...
Впрочем, если ты против...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, flonder, Вы писали:
F>>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>>Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) — непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем Геделя).
F>>А разве она не опирается на аксиоматику вещественных чисел ? 3>Это — эквивалентная формулировка. Вопреки наивной интуиции аксиоматика вещественных чисел менее "богата", чем аксиоматика натуральных.
Ну не совсем. Дело тут вот в чем. Можно построить две элементарные арифметики. Одну совсем элементарную, а в другой будет присутствовать аксиома индукции.
Именно аксиома индукции (или её эквивалент) делают арифметику неразрешимой теорией. Эвклидова геометрия устроена так, что в ней аксиома индукции не присутствует (и не выразима). Поэтому средствами эвклидовой геометрии можно ввести понятие вещественного числа и даже доказать некоторые свойства вещественных чисел, но нельзя доказать сколь-нибудь глубокие теоремы о вещественных числах (нельзя, например, доказать, что число пи трансцендентно, хотя само число можно определить и приближенно вычислить). если добавить к такой урезанной теории вещественных числел аксиому идукции, то получится естественно, неразрешимая теория.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Ну не совсем. Дело тут вот в чем. Можно построить две элементарные арифметики. Одну совсем элементарную, а в другой будет присутствовать аксиома индукции. Ш>Именно аксиома индукции (или её эквивалент) делают арифметику неразрешимой теорией. Эвклидова геометрия устроена так, что в ней аксиома индукции не присутствует (и не выразима). Поэтому средствами эвклидовой геометрии можно ввести понятие вещественного числа и даже доказать некоторые свойства вещественных чисел, но нельзя доказать сколь-нибудь глубокие теоремы о вещественных числах (нельзя, например, доказать, что число пи трансцендентно, хотя само число можно определить и приближенно вычислить). если добавить к такой урезанной теории вещественных числел аксиому идукции, то получится естественно, неразрешимая теория.
Такие тонкости я уже забыл. Хотя, насколько я понимаю, без аксиомы индукции получится уж совсем бедная теория.
Кстати, а по поводу трансцендентности пи — это доказанный факт? Ведь есть же совсем элементарное доказательство (кажется, автора зовут Апери),
основанное на построении очень быстро сходящегося ряда.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Нет, не так. Фактичекси с начала прошлого века математики не нуждаются в новых аксиомах. Единственное, что со времен Гильберта и Гёделя добавилось -- аксиома универсального множества Гротендика. Новые математические разделы появляются не от введения новых аксиом.
Зато теперь модно иметь кучу проблем и гипотез, про которые понятно, что они скорее всего верны, но не понятно доказуемы ли они
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Нет, не так. Фактичекси с начала прошлого века математики не нуждаются в новых аксиомах. Единственное, что со времен Гильберта и Гёделя добавилось -- аксиома универсального множества Гротендика. Новые математические разделы появляются не от введения новых аксиом.
E>Зато теперь модно иметь кучу проблем и гипотез, про которые понятно, что они скорее всего верны, но не понятно доказуемы ли они
А что делать? Собственно, главное значение теоремы Гёделя -- она показывает ограниченную применимость аксиоматического подхода.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Ну не совсем. Дело тут вот в чем. Можно построить две элементарные арифметики. Одну совсем элементарную, а в другой будет присутствовать аксиома индукции. Ш>>Именно аксиома индукции (или её эквивалент) делают арифметику неразрешимой теорией. Эвклидова геометрия устроена так, что в ней аксиома индукции не присутствует (и не выразима). Поэтому средствами эвклидовой геометрии можно ввести понятие вещественного числа и даже доказать некоторые свойства вещественных чисел, но нельзя доказать сколь-нибудь глубокие теоремы о вещественных числах (нельзя, например, доказать, что число пи трансцендентно, хотя само число можно определить и приближенно вычислить). если добавить к такой урезанной теории вещественных числел аксиому идукции, то получится естественно, неразрешимая теория.
3>Такие тонкости я уже забыл. Хотя, насколько я понимаю, без аксиомы индукции получится уж совсем бедная теория. 3>Кстати, а по поводу трансцендентности пи — это доказанный факт? Ведь есть же совсем элементарное доказательство (кажется, автора зовут Апери), 3>основанное на построении очень быстро сходящегося ряда.
Я имел в виду не факт трансцендентности, а невозможность доказательства оной без аксиомы индукции
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Ну не совсем. Дело тут вот в чем. Можно построить две элементарные арифметики. Одну совсем элементарную, а в другой будет присутствовать аксиома индукции. Ш>>Именно аксиома индукции (или её эквивалент) делают арифметику неразрешимой теорией. Эвклидова геометрия устроена так, что в ней аксиома индукции не присутствует (и не выразима). Поэтому средствами эвклидовой геометрии можно ввести понятие вещественного числа и даже доказать некоторые свойства вещественных чисел, но нельзя доказать сколь-нибудь глубокие теоремы о вещественных числах (нельзя, например, доказать, что число пи трансцендентно, хотя само число можно определить и приближенно вычислить). если добавить к такой урезанной теории вещественных числел аксиому идукции, то получится естественно, неразрешимая теория.
3>Такие тонкости я уже забыл. Хотя, насколько я понимаю, без аксиомы индукции получится уж совсем бедная теория.
Ну так так оно и есть.
3>Кстати, а по поводу трансцендентности пи — это доказанный факт?
Насчет формального доказательства не знаю. Собственно, я не вижу, как этот факт можно вообще сформулировать, а не то что доказать, без некоторой формы индукции.
3>Ведь есть же совсем элементарное доказательство (кажется, автора зовут Апери), 3>основанное на построении очень быстро сходящегося ряда.
Нет, Апери доказал иррациональность дзета(3), да с помощью построения быстро сходящегося ряда. Но все эти доказательства разумеется используют индукцию.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Насчет формального доказательства не знаю. Собственно, я не вижу, как этот факт можно вообще сформулировать, а не то что доказать, без некоторой формы индукции.
А где в определении алгебраического числа используется индукция?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Насчет формального доказательства не знаю. Собственно, я не вижу, как этот факт можно вообще сформулировать, а не то что доказать, без некоторой формы индукции.
3>А где в определении алгебраического числа используется индукция?
Для определения суммы последовательности чисел (конечной). Она определяется индуктивно. Вообщем, вопрос мне не совсем ясен.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
E>>Зато теперь модно иметь кучу проблем и гипотез, про которые понятно, что они скорее всего верны, но не понятно доказуемы ли они
Ш>А что делать? Собственно, главное значение теоремы Гёделя -- она показывает ограниченную применимость аксиоматического подхода.
Ну в целом да, но хрен редьки таки не слаще. Так как недоказуемые гипотезы от аксиом отличаются только названием
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
E>>>Зато теперь модно иметь кучу проблем и гипотез, про которые понятно, что они скорее всего верны, но не понятно доказуемы ли они
Ш>>А что делать? Собственно, главное значение теоремы Гёделя -- она показывает ограниченную применимость аксиоматического подхода.
E>Ну в целом да, но хрен редьки таки не слаще. Так как недоказуемые гипотезы от аксиом отличаются только названием
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Подмена понятий. Для того, чтобы заниматься математикой естественно нужна способность усваивать уже накопленные математические знания. Сами эти знания однако ни в коей мере не обязаны быть естественными. Ш>Блин, неужели это так трудно понять?
Трудно понять не это, а совсем другое. Что является материальным (то есть не зависящим от нашего сознания) носителем предмета изучения математики?
То, что у математики есть таки предмет изучения довольно очевидно, так как есть такие мат. факты, которые математики очень хотели, но так и не смогли преодолеть. Скажем, например, упоминавшийся тут факт, что не получится построить алгебру произвольной размерности. А ведь применений могла бы быть куча. А вот упс. Дальше 8 размерность поднять не удалось... Зато удалось таки доказать, что и не удастся. Вот в какой именно структуре хранилась эта засада? Что 22-х мерную алгебру не создать, даже если очень надо? Это произвольный выбор математиков? Тогда когда и зачем они его сделали? И может быть от него стоит отказаться? А если от него нельзя отказаться, то что же является материальным (то есть не зависящим от нашего произвола) носителем этого ограничения?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Sealcon190, Вы писали:
S>Объясняю. Вот есть Карлос Кастанеда. Модный в гуманитарных кругах кумир, которого никто не понимает но о котором сегодня все "претендующие на продвинутость" должны говорить с придыханием, чтобы друг друга распознавать.
Здравствуйте, flonder, Вы писали:
3>>Потому что Евклидова геометрия (в надлежащей формулировке) — непротиворечива и полна (недостаточно "сильная" для применения теорем Геделя).
F>А разве она не опирается на аксиоматику вещественных чисел ?
нет. по крайней мере не только на неё. сть знаменитый пятый постулат — сколько прямых параллельных заданной моджно порвести через одну точку. в зависимости от выбранного ответа (0,1,бесконечность) получаются три разных геометрии
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Я не совсем понимаю эту фразу. Что значит "исторически основанная"? Математика действительно выросла из бухгалтерии и землемерения, но она выросла давно из этих подгузников. В отличии от естественных наук, у математики нет некоего природно данного объекта изучения. Что разумеется не мешает использовать математические методы в естествознании.
N>Математика — очень широкое понятие. Возьмем, например, теорию чисел. Можно доказать, что 7919 — простое число. Можно ли отсюда сделать вывод, что кучку из 7919 камешков нельзя разделить на несколько равных кучек? Каким образом наличие доказательства, которое является лишь последовательностью значков, может определять какие-то факты о реальном мире?
обрати внимание, что математика ничего не говорит о куче камней. ты отображаешь объекты реального мира на математические, и ты можешь выбрать такие *правила отображения*, которые позволят построить корректную матмодель
что говорит математика о мире? ничего без этих правил отображения
мне лично больше нравится аристотелевская (?) идея о мире идей и мире вещей
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>мне лично больше нравится аристотелевская (?) идея о мире идей и мире вещей
Интересно, как ты планируешь проводить границу между мирами?
Например -- волновая функция из квантов -- они из какого мира? А запутанные состояния?..
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>>>И способности к формулировке, доказательству и осознанию истинности математических утверждений у любого индивидуума возникает лишь в процессе его взаимодействия с окружающим миром.
N>Ограниченость может компенсироваться способностью мозга заменять одни источники ощущений другими. Нет зрения — можно познавать мир через слух и осязание. Кто неспособен слышать лекции, может читать книги и т.д. Но если ребенка с рождения поместить в сенсорно-депривационную камеру, где он будет лишен всех ощущений, через несколько десятков лет оттуда не выйдет математик.
математик не выйдет потому, что он не способен самостоятельно разработать весь объём знаний, накопленный человечеством. нет контакта с обществом — нет и передачи всех его знаний, а без этого человек остаётся животным
при этом у человека, как и животных, есть встроенные механизмы, применяющие матмодели к общению с окружащим миром. например, мы способны распознавать чистые звуки
помню, брачный полёт у каких-то бабочек представляет из себя сложную геом. фигуру. пчёлы рассказывают в своём танце где и какие они нашли цветы, передавая информацию в других модальностях
даже обычная ходьба — это последовательность сокращений мускулов, требующая сложнейших расчётов. эти расчёты легко делаются мозгом, хотя для сознательного их описания вам потребуется окончить пару университетов
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
BZ>>мне лично больше нравится аристотелевская (?) идея о мире идей и мире вещей
E>Интересно, как ты планируешь проводить границу между мирами? E>Например -- волновая функция из квантов -- они из какого мира? А запутанные состояния?..
разумеется, всё имеющее названия — из мира идей. физический мир состоит из материи, только из неё. когда мы начинаем её упорядочивать, давать имена, искать закономерности — мы создаём артефакты в мире идей и связываем их с какими-то физическими объектами, взаимоотношениями между ними
ну вот известный пример. в 19-м веке была какая-то проблема с неправильностью скорости света, и для её объяснения был придуман мировой эфир. затем от него отказались. где он был всё это время? в реальном мире? только в головах учёных. в реальном мире фотоны отмечали в одной точке, затем в другой, и ничего более. сейчас их поведение объясняют второй теорией, послезавтра третьей, но все эти теоретические построения продолжают существовать только в наших умах
впрочем, как и сами фотоны тоже. реально мы наблюдаем их в приборы, информацию от приборов получаем через орагны зрения и т.д. и на всех этих этапах возникают воображаемые объекты. какие-то из них достаточно постоянны, мы с ними свыклись и они для нас стали частью физической действительности. тем не менее, ничего не мешает к примеру тому, что на самом деле это всё Матрица, генерируемая хитроумными компьютерами. реально для каждого человека существует только работа его сознания
существование *объективного* мира идей и мира вещей — это уже абстракция, но необходимая для построения науки, как и для всей продуктивной деятельности, включая биологическое выживание
кстати, признание существования закономерностей в физическом мире (который мы уже признали на пред. жтапе) — тоже необходимо для выживания. само по себе существоание и размножение живых существ противоречит второму закону термодинамики. они уменьшают энтропию. и возможно это только за счёт использования закономерностей физического мира. без существования закономерностей не было бы возможно существование жизни
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
S>>Объясняю. Вот есть Карлос Кастанеда. Модный в гуманитарных кругах кумир, которого никто не понимает но о котором сегодня все "претендующие на продвинутость" должны говорить с придыханием, чтобы друг друга распознавать.
BZ>это ты его не понимаешь
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Это известная цитата. Не уверен, что ее следует воспринимать уж очень всерьез и буквально. 3>Тут вот нам постоянно внушают, что имееются какие-то неочевидные экономические законы. Чего уж говорить о теоретической физике и математике.
Ну дык эта. Про экономику известно, что она — лженаука и шарлатанство
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Интересно, как ты планируешь проводить границу между мирами? E>Например -- волновая функция из квантов -- они из какого мира? А запутанные состояния?..
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Еще интересней к какому миру относится ПО.
Очевидно, что к миру идей...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:
Pzz>Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>>Это известная цитата. Не уверен, что ее следует воспринимать уж очень всерьез и буквально. 3>>Тут вот нам постоянно внушают, что имееются какие-то неочевидные экономические законы. Чего уж говорить о теоретической физике и математике.
Pzz>Ну дык эта. Про экономику известно, что она — лженаука и шарлатанство
Собственно, рекомендовал бы ознакомиться с предметом. Это гуманитарная наука, а не точная, что верно, то верно, но утверждать, что это шарлатанство Я по молодости и сам это же самое утверждал, тем не менее, предмет для изучения однозначно существует и он не настолько прост, чтобы с наскока в нем не разобрался кто угодно. Экономика это самый прикладная из всех гуманитарных наук, она изучает самые основы функционирования общества. Хотя конечно и шарлатанов хватает, но даже математики-шарлатаны встречаются, не говоря уже о физиках.
РМ>Собственно, рекомендовал бы ознакомиться с предметом. Это гуманитарная наука, а не точная, что верно, то верно, но утверждать, что это шарлатанство Я по молодости и сам это же самое утверждал, тем не менее, предмет для изучения однозначно существует и он не настолько прост, чтобы с наскока в нем не разобрался кто угодно. Экономика это самый прикладная из всех гуманитарных наук, она изучает самые основы функционирования общества. Хотя конечно и шарлатанов хватает, но даже математики-шарлатаны встречаются, не говоря уже о физиках.
Дело не в шарлатанах. Дело в том что ее позиционируют как вполне точную науку, скажем навроде биологии, тогда как реально она в одном ряду с историей и психологией.
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Тогда ошибки и баги в них невозможны
Почему?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
N>>В любом случае, не надо забывать, что мозги математиков находятся в реальном мире и функционируют по его законам.
Ш>Из этого никак не следует, что воображаемый математический мир есть отражение некой реальности.
Он и есть реальность. Математики изучают закономерности мышления, которые являются свойством их мозга, являющегося частью реальности, и развившегося эволюционным путем в процессе взаимодействия с реальным окружающим миром, выживания в нем и приспособления к нему (хотя в учебниках математики это обычно не пишется явно).
Например, практически каждый человек и в повседневной, и в научной деятельности постоянно (осознанно или неосознанно) применяет правило вывода modus ponens: если у него есть посылки "A" и "если A, то B", то он делает вывод "B". Почему мы применяем это правило постоянно, и оно кажется нам неоспоримым и не требующим дополнительных обоснований? Потому что реальный мир, в котором мы живем устроен так, что существа, способные применять это правило, лучше приспосабливались к окружающему миру, имели больше шансов выжить и оставить потомство, обладающее такими же свойствами. А те существа, которые были способны выразить это правило словами и научить этому своих детей, получали еще больше шансов.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
N>>Возьмем, например, теорию чисел. Можно доказать, что 7919 — простое число. Можно ли отсюда сделать вывод, что кучку из 7919 камешков нельзя разделить на несколько равных кучек?
Ш>Нельзя. Кучку из 7919 камней можно разделить на 7919 кучек по одному камню в кучке.
А если условиться, что "несколько" — это "больше одного", а кучка должна состоять из нескольких камней?
Ты можешь отмахнуться, что пересчет камней — за пределами математики, но я напомню, что в метаматематических работах Гёделя, Тарского и Лёба числа используются для пересчета доказательств и символов в доказательствах, и из утверждения о том, что не существует числа, являющегося номером доказательства с определенными свойствами, делается вывод о том, что и такого доказательства не существует.
Ш>В нашем мире действуют законы логики.
Удивительное совпадение, не правда ли?
N>>Рассмотрим теперь формальную теорию с теми же символами, что и арифметика Пеано, но с единственной аксиомой "2 + 2 = 5". Эта теория является непротиворечивой. В ней тривиально доказуемо утверждение "2 + 2 = 5". Можно ли отсюда сделать вывод, что сложив вместе две кучки по два камня с каждой, мы получим кучку из 5 камней?
Ш>Нельзя. Но это опять к математике не имеет никакого отношения.
А можно ли отсюда сделать вывод, что выписав подряд две формулы, каждая из которых состоит из двух символов, мы получим формулу из 5 символов? И почему?
N>>Ограниченость может компенсироваться способностью мозга заменять одни источники ощущений другими. Нет зрения — можно познавать мир через слух и осязание. Кто неспособен слышать лекции, может читать книги и т.д. Но если ребенка с рождения поместить в сенсорно-депривационную камеру, где он будет лишен всех ощущений, через несколько десятков лет оттуда не выйдет математик.
Ш>Подмена понятий. Для того, чтобы заниматься математикой естественно нужна способность усваивать уже накопленные математические знания. Сами эти знания однако ни в коей мере не обязаны быть естественными.
А откуда, по-твоему, берутся эти знания?
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Дело не в шарлатанах. Дело в том что ее позиционируют как вполне точную науку, скажем навроде биологии, тогда как реально она в одном ряду с историей и психологией.
биология — точная наука? точная наука только одна — математика, посольку она работает в мире идей. реальный мир несовместим с 100%-ной точностью
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>биология — точная наука? точная наука только одна — математика, посольку она работает в мире идей. реальный мир несовместим с 100%-ной точностью
Физика точнее
Биология конечно не точная наука, но стремительно точнеет в последнее время, чего не наблюдается например в психологии или истории.
А экономика удачно прикрываясь математикой внешне стала очень похожей на точную науку
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>биология — точная наука? точная наука только одна — математика, посольку она работает в мире идей. реальный мир несовместим с 100%-ной точностью
Что-то это
Хотя в исходном виде теорема Гёделя казалась применимой лишь к необычным математическим предложениям, не имеющим практического интереса, алгоритмическая теория информации показала, что неполнота и случайность являются естественными и распространёнными повсюду свойствами.
мало похоже на "мир идей"
Re[13]: Все программы совершенны, но не все нам подходят ;)
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Склероз мне подсказывает что мир идей состоял из идеальных эйдосов, и эти эйдосы совершенны, то есть багов там не может быть по определению
Так баг -- это всего лишь несоответсвие программы спецификации. Так что баг не в программе, а в том, что ты не ту прогрмму из мира идей добыл
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Да ладно вам, пристали к человеку. Вот подумайте зачем ему собственно искать пути оптимального донесения до вас, понятно ему информации? В чем вы видите его мотивацию? Вы думаете одной любви к математике и истине достаточно? Но ведь вы-то ожидаете от него педагогического труда.
На самом деле в математике (в которой, к моему стыду, не плохо разбераюсь) много сложных областей (и боюсь боюсь, что математика далеко не исключение — попробуйте, например, объяснить Boost MPL или замыкания продавщице в магазине). Тот факт, что человек не в состоянии без труда легко вам все объяснить, не говорит ровным счетом ничего ни о самом человеке как специалисте, ни об этой области. По той же вышке до сих пор многие читают Фихтенгольца, хотя она далеко не современна. Просто Фихтенгольц был и математиком и педагогом одновременно. Но почему вы ожидаете подобного от всех?
Вы же не будете удивляться, что большинство программистов не знают например медицины.
Поэтому, господа, успокойтесь не стоит разводить рознь. Как сказал наш любитель числа Пи, форум не наилучшее место для изучения сложных мат. теорем. Я помнится когда-то встречал видео-лекцию, которую выложил один из российских универов, по этой теме — очень понравилось изложение. А если на youtube поищете, точно много подобного на английском найдете.
Главное искать информацию, а не кидаться какашками. Peace, bro.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
N>>>Возьмем, например, теорию чисел. Можно доказать, что 7919 — простое число. Можно ли отсюда сделать вывод, что кучку из 7919 камешков нельзя разделить на несколько равных кучек?
Ш>>Нельзя. Кучку из 7919 камней можно разделить на 7919 кучек по одному камню в кучке.
N>А если условиться, что "несколько" — это "больше одного", а кучка должна состоять из нескольких камней?
Тогда нельзя.
N>Ты можешь отмахнуться, что пересчет камней — за пределами математики,
Это так и есть
N>но я напомню, что в метаматематических работах Гёделя, Тарского и Лёба числа используются для пересчета доказательств и символов в доказательствах, и из утверждения о том, что не существует числа, являющегося номером доказательства с определенными свойствами, делается вывод о том, что и такого доказательства не существует.
метаматематических. Этот термин возник не случайно. Дело в том, что объектом изучения метаматематики является сама математика, способы рассуждения в математике, способы записи математических утверждений, т.е. здесь мы выходим за пределы чистых идей и включаем в объекты изучения объекты и свойства, прнадлежащие реальному миру. Поэтому в метаматематике приходится прибегать к средствам, таким как счет, которые выходят за рамки чистой математики.
Ш>>В нашем мире действуют законы логики. N>Удивительное совпадение, не правда ли?
N>>>Рассмотрим теперь формальную теорию с теми же символами, что и арифметика Пеано, но с единственной аксиомой "2 + 2 = 5". Эта теория является непротиворечивой. В ней тривиально доказуемо утверждение "2 + 2 = 5". Можно ли отсюда сделать вывод, что сложив вместе две кучки по два камня с каждой, мы получим кучку из 5 камней?
Ш>>Нельзя. Но это опять к математике не имеет никакого отношения. N>А можно ли отсюда сделать вывод, что выписав подряд две формулы, каждая из которых состоит из двух символов, мы получим формулу из 5 символов? И почему?
нельзя. Потому что сложение чисел соотвествует сложению предметов.
N>>>Ограниченость может компенсироваться способностью мозга заменять одни источники ощущений другими. Нет зрения — можно познавать мир через слух и осязание. Кто неспособен слышать лекции, может читать книги и т.д. Но если ребенка с рождения поместить в сенсорно-депривационную камеру, где он будет лишен всех ощущений, через несколько десятков лет оттуда не выйдет математик.
Ш>>Подмена понятий. Для того, чтобы заниматься математикой естественно нужна способность усваивать уже накопленные математические знания. Сами эти знания однако ни в коей мере не обязаны быть естественными. N>А откуда, по-твоему, берутся эти знания?
Здравствуйте, FR, Вы писали:
FR>Здравствуйте, Erop, Вы писали:
FR>>>Тогда ошибки и баги в них невозможны E>>Почему?
FR>Склероз мне подсказывает что мир идей состоял из идеальных эйдосов, и эти эйдосы совершенны, то есть багов там не может быть по определению
А разве не бывает совершенной баговости? Платон просто свой мир идей не додумал.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Из головы. Их учёные придумывают.
Так и какая зараза придумала, что нельзя сделать 16-мерную алгебру? И зачем она это сделала?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
N>>>В любом случае, не надо забывать, что мозги математиков находятся в реальном мире и функционируют по его законам.
Ш>>Из этого никак не следует, что воображаемый математический мир есть отражение некой реальности.
N>Он и есть реальность.
Да нет, он не есть реальность. Он есть идеальность. Он даже не есть проекция реальности. И в этом особенность математики среди других наук.
Если ты не согласен -- найди мне в реальности число, например.
N>Математики изучают закономерности мышления,
Опять не верно. Мы не изучаем закономерности мышления. Это не наша область.
N>которые являются свойством их мозга, являющегося частью реальности, и развившегося эволюционным путем в процессе взаимодействия с реальным окружающим миром, выживания в нем и приспособления к нему (хотя в учебниках математики это обычно не пишется явно).
Нет, в учебниках математики такую чушь не пишут.
N>Например, практически каждый человек и в повседневной, и в научной деятельности постоянно (осознанно или неосознанно) применяет правило вывода modus ponens: если у него есть посылки "A" и "если A, то B", то он делает вывод "B".
На самом деле, в реальной жизни человек не применяет мат. логику. Реальные правила, по которым рассуждает наш мозг гораздо сложнее и они просто иные. Далее, у разных людей они различаются.
N>Почему мы применяем это правило постоянно,
А с чего ты взял, что мы его применяем постоянно?
N>и оно кажется нам неоспоримым и не требующим дополнительных обоснований?
Опять, кому это нам? Ты попробуй обьяснить это правило какому-нибудь негру из трущеб.
N>Потому что реальный мир, в котором мы живем устроен так, что существа, способные применять это правило, лучше приспосабливались к окружающему миру, имели больше шансов выжить и оставить потомство, обладающее такими же свойствами. А те существа, которые были способны выразить это правило словами и научить этому своих детей, получали еще больше шансов.
Я бы назал подобные рассуждения вульгарным псевдо-дарвинизмом. В реальности всё было не так. Был такой человек, Аристотель, который написал книгу Логика. Вот с него всё и пошло поехало.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Подмена понятий. Для того, чтобы заниматься математикой естественно нужна способность усваивать уже накопленные математические знания. Сами эти знания однако ни в коей мере не обязаны быть естественными. Ш>>Блин, неужели это так трудно понять?
E>Трудно понять не это, а совсем другое. Что является материальным (то есть не зависящим от нашего сознания) носителем предмета изучения математики?
Не зависит от сознания -- не обязательно материально.
носителем предмета изучения математики -- а это что за зверь?
E>То, что у математики есть таки предмет изучения довольно очевидно, так как есть такие мат. факты, которые математики очень хотели, но так и не смогли преодолеть.
Егор, тебе явно надо починить кондиционер. Просто явно.
E>Скажем, например, упоминавшийся тут факт, что не получится построить алгебру произвольной размерности. А ведь применений могла бы быть куча. А вот упс. Дальше 8 размерность поднять не удалось... Зато удалось таки доказать, что и не удастся. Вот в какой именно структуре хранилась эта засада? Что 22-х мерную алгебру не создать, даже если очень надо? Это произвольный выбор математиков? Тогда когда и зачем они его сделали? И может быть от него стоит отказаться? А если от него нельзя отказаться, то что же является материальным (то есть не зависящим от нашего произвола) носителем этого ограничения?
Я просто плачу. Такой фееерической чуши я давно не читал.
Ш>Не зависит от сознания -- не обязательно материально.
Это всего лишь спор о терминах. Я придерживаюсь такой философии, что есть в мире вещи субъективные, то есть зависящие от нашшего произвола, и объективные, то есть от нашего произвола не зависящие. Их я считаю материальными. То есть если кто-то ещё начнёт изучать эти вещи, то он получит те же результаты, что и я.
Например если кто-то ещё независимый начнёт играть в кости, то он тоже получит теорвер.
Ш>носителем предмета изучения математики -- а это что за зверь?
Вот то, свойства чего математика изучает. Ты утверждал, насколько я понял, что предмета изучения математики не существует, так как всю математику выдумали учёные. То есть математика суть есть субъективна и полностью подвержена нашему произволу. Как захотим, так и выдумаем типа.
Так вот, я утверждаю, что это не так. В качестве примера я привёл то обстоятельство, что если ты захочешь получить что-то типа чисел, но двумерное, то получишь комплексные числа. А если захочешь 4-хмерное, то получишь кватернионы. Они тоже будут почти что полем, но умножение не будет комутативным.
Но даже такая штука очень полезна на практике, так как позволяет работать с векторами, как с числами. Ну, например, делить удобно. Или производные искать.
Соответсвенно есть практическое применение подобных структур произвольной размерности. Но это, к сожалению невозможно. Такая штука может иметь размерность 1, 2, 4 или 8. AFAIK это доказанный факт.
Я специально не использую терминологию, чтобы мы не начали выяснять что именно называли полем, кольцом или непрерывностью в наших ВУЗах. IMHO, это не важно. Но я думаю, что я достаточно понятно описал математический объект, о котором я говорю.
Так вот, спрос на 3-хмерное "почти поле" или на 20-мирное есть болльшой. Но получить такое "почти поле" в математике невозможно.
Это как бы мат. факт.
Он может быть субъективным фактом, то есть следствием произвола какого-то математика, которые когда-то принял какой-то постулаит, следствием которого и стало такое ограничение. Либо это может быть объективным свойством предмета изучения математики.
Я думаю, что это объективное свойство, следовательно предмет изучения математики объективно существует. Следовательно можно задаться вопросом что же является материальным носителем этого предмета.
Если же ты считаешь, что это результат субъективного выбора, то хотелось бы понять, какой именно произвольно сделанный выбор привёл к такому неудобному ограничению? И почему бы от такого выбора не отказаться?
Ш>Егор, тебе явно надо починить кондиционер. Просто явно.
Эх, я ими не пользуюсь...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Если ты не согласен -- найди мне в реальности число, например.
Ну, размерность нашего пространства, например...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
Ш>>Если ты не согласен -- найди мне в реальности число, например.
E>Ну, размерность нашего пространства, например...
3? 4? 33? ты будешь смеяться, но на этот счёт тоже существуют самые разные теории. а физический мир продолжает плевать на все построения "самой точной" из естественных наук
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
E>>Ну, размерность нашего пространства, например...
BZ>3? 4? 33? ты будешь смеяться, но на этот счёт тоже существуют самые разные теории. а физический мир продолжает плевать на все построения "самой точной" из естественных наук
Про теории я знаю. Но это всё кванты, и размерности там такие, немного свёрнутые. И про пространство-время я тоже знаю.
но, тем не мнее, я утверждаю, что у пространства в котором мы живём и оперрируем предметами всё-таки есть размерность, которая таки является числом...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
E>>>Ну, размерность нашего пространства, например...
BZ>>3? 4? 33? ты будешь смеяться, но на этот счёт тоже существуют самые разные теории. а физический мир продолжает плевать на все построения "самой точной" из естественных наук
E>Про теории я знаю. Но это всё кванты, и размерности там такие, немного свёрнутые. И про пространство-время я тоже знаю.
E>но, тем не мнее, я утверждаю, что у пространства в котором мы живём и оперрируем предметами всё-таки есть размерность, которая таки является числом...
Есть, но это число -- абстракция. Т.е. она не существует как некая материальная сущность. Её нельзя потрогать, взвесить, понюхать и.т.д.
Это первое. Второе. Мы не живет ни в каком пространстве. Само понятие пространства -- это тоже абстракция. Причем содержание этой абстракции с развитием физике менялось. У Галлилея и Ньютона было одно пространство, в специальной теории относительности другое, в общей третье, а современные теории оперируют совсем уж сумасшедшими конструкциями.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Из головы. Их учёные придумывают.
E>Так и какая зараза придумала, что нельзя сделать 16-мерную алгебру? И зачем она это сделала?
Не придумала, а доказала.
Это то же самое, что спросить, а какая зараза сделала небо голубым, а траву зеленой.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Не зависит от сознания -- не обязательно материально. E>Это всего лишь спор о терминах. Я придерживаюсь такой философии, что есть в мире вещи субъективные, то есть зависящие от нашшего произвола, и объективные, то есть от нашего произвола не зависящие. Их я считаю материальными. То есть если кто-то ещё начнёт изучать эти вещи, то он получит те же результаты, что и я.
Хорошо. Значит договоримся, что когда ты пишешь о материальном, ты имеешь ввиду обьективность. Хотя слово материальный обычно употребляют с другим смыслом.
E>Например если кто-то ещё независимый начнёт играть в кости, то он тоже получит теорвер.
Вот это утверждение я не понял.
Ш>>носителем предмета изучения математики -- а это что за зверь? E>Вот то, свойства чего математика изучает. Ты утверждал, насколько я понял, что предмета изучения математики не существует, так как всю математику выдумали учёные. То есть математика суть есть субъективна и полностью подвержена нашему произволу. Как захотим, так и выдумаем типа.
Нет, я так не утверждаю. Во первых предмет (а лучше сказать предметы) изучения в математике есть. Например, в теории числе -- целые числа, в алгебре -- различные алгебраические структуры, в анализе функции, в топологии -- топологические пространства, в теории меры и интеграла -- натурально, меры и интегралы, и.т.д Все эти вещи, да выдуманы учёными. Как захотим? Нет не как захотим. Впрочем, простого ответа на это вопрос не существует. Математика -- продукт исторического развития и тот вид, который она имеет несет в себе произвол учёных.
E>Так вот, я утверждаю, что это не так. В качестве примера я привёл то обстоятельство, что если ты захочешь получить что-то типа чисел, но двумерное, то получишь комплексные числа. А если захочешь 4-хмерное, то получишь кватернионы. Они тоже будут почти что полем, но умножение не будет комутативным. E>Но даже такая штука очень полезна на практике, так как позволяет работать с векторами, как с числами. Ну, например, делить удобно. Или производные искать.
Что именно не так? Примера чего? Того, что в математике есть теоремы? Так этого никто не отрицает.
E>Соответсвенно есть практическое применение подобных структур произвольной размерности. Но это, к сожалению невозможно. Такая штука может иметь размерность 1, 2, 4 или 8. AFAIK это доказанный факт. E>Я специально не использую терминологию, чтобы мы не начали выяснять что именно называли полем, кольцом или непрерывностью в наших ВУЗах. IMHO, это не важно. Но я думаю, что я достаточно понятно описал математический объект, о котором я говорю.
E>Так вот, спрос на 3-хмерное "почти поле" или на 20-мирное есть болльшой. Но получить такое "почти поле" в математике невозможно. E>Это как бы мат. факт. E>Он может быть субъективным фактом, то есть следствием произвола какого-то математика, которые когда-то принял какой-то постулаит, следствием которого и стало такое ограничение. Либо это может быть объективным свойством предмета изучения математики.
Это объективное свойство алгебр над полем вещественных чисел. Оно объективно, потому что может быть доказано. Правильность доказательства объективна сама по себе, в силу тех правил, которым должно подчиняться математическое доказательство.
E>Я думаю, что это объективное свойство, следовательно предмет изучения математики объективно существует.
Неверная импликация. Про предметы, изучаемые а математике нельзя говорить, что они существуют. Они не существуют так же, как материальные объекты мира в котором мы живем. Мы их воображаем. И наделяем некоторыми совйствами. Одно из этих свойств -- починятся законам логики.
Ты можешь вообразить мир Гарри Потера, например, или Властелина колец? Делает ли это эти миры существующими?
E>Следовательно можно задаться вопросом что же является материальным носителем этого предмета.
Что значит, быть материальным носителем?
E>Если же ты считаешь, что это результат субъективного выбора, то хотелось бы понять, какой именно произвольно сделанный выбор привёл к такому неудобному ограничению? И почему бы от такого выбора не отказаться?
Это результат, который в конечно итоге вытекает из аксиом и определений. Ты не можешь отказаться от этих аксиом и определений, постольку, поскольку в рамках других аксиом и определений твой первоначальный вопрос просто потеряет смысл.
Ш>>Егор, тебе явно надо починить кондиционер. Просто явно.
E>Эх, я ими не пользуюсь...
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>я находил сводство в поведении человека и поведении рынков, потом сообразил, что это очевидно — поведение рынков и определяется поведением человека
Поведение рынков — это некоторая грань коллективного поведения человеков, так что скорее уж социология, чем психология.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Хорошо. Значит договоримся, что когда ты пишешь о материальном, ты имеешь ввиду обьективность. Хотя слово материальный обычно употребляют с другим смыслом.
Это очень мутный вопрос. Вот поле гравитации, например, оно существует? А запутанные состояния частиц? Ну и т. д...
E>>Например если кто-то ещё независимый начнёт играть в кости, то он тоже получит теорвер. Ш>Вот это утверждение я не понял.
Ну он тоже начнёт изучать статистику, обнаружит закон больших чисел и т. д.
То есть теорвер выводится из структуры случайности, реализующейся в нашем мире. Вот случайность и её свойства -- она существует? Во всяком случае она объективна.
Ш>Нет, я так не утверждаю. Во первых предмет (а лучше сказать предметы) изучения в математике есть. Например, в теории числе -- целые числа, в алгебре -- различные алгебраические структуры, в анализе функции, в топологии -- топологические пространства, в теории меры и интеграла -- натурально, меры и интегралы, и.т.д Все эти вещи, да выдуманы учёными. Как захотим? Нет не как захотим. Впрочем, простого ответа на это вопрос не существует. Математика -- продукт исторического развития и тот вид, который она имеет несет в себе произвол учёных.
Э нет, вот числа там или меры -- это как раз произвол нашего воображения. Я высказываю более тонкое соображение. Что в математике есть такие штуки, которые носят объективный характер.
E>>Но даже такая штука очень полезна на практике, так как позволяет работать с векторами, как с числами. Ну, например, делить удобно. Или производные искать.
Ш>Что именно не так? Примера чего? Того, что в математике есть теоремы? Так этого никто не отрицает.
Нет. Примера совсем другого. Того, что мы не можем выдумать такую математику, какую хотим. То есть в математике есть некая объективная часть. То есть есть и независимо от нас существующий предмет изучения, который неподвластен нашим фантазиям.
Ш>Это результат, который в конечно итоге вытекает из аксиом и определений. Ты не можешь отказаться от этих аксиом и определений, постольку, поскольку в рамках других аксиом и определений твой первоначальный вопрос просто потеряет смысл.
Вот смотри, аксиомы поля -- они же не догма. Они нам не нужны. Нам нужны не они, а штуки похожие на числа. Числа можно взять, например, из геометрии, как представления о длинах отрезков. Но при этом мы получим такую беду, что как мы не будем пыжится и тужится, а двадцатимерные числа не получим. Эта вот невозможность получить 20-мерные числа -- это свойство чего? Геометрии? Нашего способа получить из геометрии числа? Нашего способа делать выводы? Где было то произвольное решение, которое мы приняли и обрекли себя на невозможность 20-мерных чисел? Или это ограничение носит таки объективный характер. И из какой геометрии мы бы не исходили, и как бы числа (длины отрезков) оттуда не добыли, а всё равно 20-мерных чисел не получим?
Ш>Про предметы, изучаемые а математике нельзя говорить, что они существуют. Они не существуют так же, как материальные объекты мира в котором мы живем. Мы их воображаем.
Это всё опять просто про слова спор, а не про идеи. IMHO, ключевым тут является то, воображаем мы их или открываем? IMHO, опять же проверить просто. Вообразить мы можем что угодно, а вот открыть только то, что существует объективно...
Ш>Ты можешь вообразить мир Гарри Потера, например, или Властелина колец? Делает ли это эти миры существующими?
Нет не делает, так как я могу вообразить их произвольными. А с математикой этот фокус не проходит. Так что есть какое-то таки "сопротивление материала", ну значит есть и какой-то "материал"
Ш>>>Егор, тебе явно надо починить кондиционер. Просто явно. E>>Эх, я ими не пользуюсь... Ш>А зря, батенька. Чертовски приятная в жару вещь.
Я от них болею. Кроме того я, как и большинство сибиряков, люблю жару
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Не придумала, а доказала. Ш>Это то же самое, что спросить, а какая зараза сделала небо голубым, а траву зеленой.
Ну так трава и небо существуют объективно, вне связи с существованием людей. Вот и какая-то часть, или суть математики, похоже тоже существует объективно. Возникает вопрос, а в какой форме происходит это существование?
Вот если люди впадут вдруг в дикость, а потом заново математику откроют. В какой форме математика будет существовать во время дикости людей?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Есть, но это число -- абстракция. Т.е. она не существует как некая материальная сущность. Её нельзя потрогать, взвесить, понюхать и.т.д.
Как так нельзя? Трёхмерность нашего пространства вполне доступна нам в наших ощущениях...
Ш>Мы не живем ни в каком пространстве. Само понятие пространства -- это тоже абстракция.
Это тоже не совсем корректно, IMHO, в пространстве мы как раз живём. А вот модели этого пространства физики использовали разные, это да...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:
Pzz>Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>>я находил сводство в поведении человека и поведении рынков, потом сообразил, что это очевидно — поведение рынков и определяется поведением человека
Pzz>Поведение рынков — это некоторая грань коллективного поведения человеков, так что скорее уж социология, чем психология.
так социология вытекает из психологии. та самая психология помноженная на законы простых чисел. ну а там просто полное сходство, до того, что я законы психики (относительно плохо изученные) объяснял аналогией с биржей
вот смотрите. поведение котировок на биржах определяется не реальной производительностью или даже прибылью предприятий, а информационными сигналами. человеческая оценка "выгодности" своего состояния определяется также чисто информационными сигналами. увидев в газете сообщение о выигрыше в лотерею, человек сразу почувствует себя счастливым, хотя он ничего ещё не получил, даже денег. человеческая мотивация определятся "выгодностью" вкладывания энергии в ту или иную область деятельности — так же как экономическая "мотивация" определяется выгодностью пользой, которую может принести тот или иной бизнес
сама по себе рыночная экономика — это в некотором роде социал-дарвинизм, направление *естественных* человеческих способностей в сторону, выгодную экономике, государству. человеческий эгоизм, борьба за место под солнцем — начинают приносить пользу обществу как белка вертящаяся в колесе
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Про теории я знаю. Но это всё кванты, и размерности там такие, немного свёрнутые. И про пространство-время я тоже знаю.
E>но, тем не мнее, я утверждаю, что у пространства в котором мы живём и оперрируем предметами всё-таки есть размерность, которая таки является числом...
откуда ты это знаешь? откуда ты знаешь по эти свёрнутые пространства? пойми, это всего лишь теории появившиеся в последние несколько десятков лет
и далее. вот скажем нарисовать отрезок и скзаать, что число 2 существует потому что к него длина 2 см? ты понимаешь, что нет
понятие числа — абстракция. применение этой абстракции к описанию "размерности пространства" — это всего лишь отображение из мира чисел на реальный мир. это не само число 3. так же, как от применения понятия матер. точки к решению практических задач, это понятие не становится частью матер. мира, так и 3 не становится реальным объектом
кстати, поверхность шара можно считать и 2-мерным, и 3-мерным объектом. какое число она представляет? то, которое *ты* выберешь
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
E>>но, тем не мнее, я утверждаю, что у пространства в котором мы живём и оперируем предметами всё-таки есть размерность, которая таки является числом...
BZ>откуда ты это знаешь? откуда ты знаешь по эти свёрнутые пространства? пойми, это всего лишь теории появившиеся в последние несколько десятков лет
Про свёрнутые знаю из теории суперструн. Но это всё математические трюки, так же как комплексное время, например, или пространство-время Минковского. А пространство доступное нам так сказать органолептически, оно трёхмерное...
BZ>и далее. вот скажем нарисовать отрезок и скзаать, что число 2 существует потому что к него длина 2 см? ты понимаешь, что нет
Я пока что понимаю, что ты меня совсем не понимаешь. И вообще, похоже, не дочитываешь сообщения до конца...
Так что я бы сказал, что ты неадекватен, как собеседник. Видимо дело в SUBJ...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>так социология вытекает из психологии. та самая психология помноженная на законы простых чисел. ну а там просто полное сходство, до того, что я законы психики (относительно плохо изученные) объяснял аналогией с биржей
Ну примерно так же, как аэродинамика вытекает из законов Ньютона. Слишком большое количество участников вызывает качественное изменение сложности системы, в результате даже если вы можете "рассчитать движения отдельных частиц", вам это мало что дает в плане понимания динамики массы. Приходится пользоваться совсем другими законами.
А так, да, и экономика и социология — наука о человеке. О котором, кстати, мы все еще мало что знаем.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Да нет, он не есть реальность. Он есть идеальность. Он даже не есть проекция реальности. И в этом особенность математики среди других наук. Ш>Если ты не согласен -- найди мне в реальности число, например.
В реальности число может существовать как объективная характеристика совокупности предметов. Например, в комнате, где я сижу сейчас находится 2 стула. Если в нее занести еще 1 стул, то в ней будет 3 стула. Это объективная реальность.
Еще в реальности может существовать число, записанное на каком-нибудь материальном носителе: бумага, регистры процессора, нейроны головного мозга. И некоторые материальные объекты (компьютеры, люди) могут производить с этими числами разнообразные операции. Например, сейчас я мысленно сложил 1 и 2, и получил 3. Эти числа в реальности были представлены, как состояния нейронов моего мозга.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
N>>Ты можешь отмахнуться, что пересчет камней — за пределами математики,
Ш>Это так и есть
То есть, когда детей в школе на уроке математики просят решить задачу, в которой у Васи было 3 яблока, а он одно отдал Маше, то это на самом деле не математика, и детей систематически обманывают?
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>>>Ты можешь отмахнуться, что пересчет камней — за пределами математики, Ш>>Это так и есть N>То есть, когда детей в школе на уроке математики просят решить задачу, в которой у Васи было 3 яблока, а он одно отдал Маше, то это на самом деле не математика, и детей систематически обманывают?
Вообще-то, да
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>>Хорошо. Значит договоримся, что когда ты пишешь о материальном, ты имеешь ввиду обьективность. Хотя слово материальный обычно употребляют с другим смыслом.
E>Это очень мутный вопрос. Вот поле гравитации, например, оно существует? А запутанные состояния частиц? Ну и т. д...
В воображении.
E>>>Например если кто-то ещё независимый начнёт играть в кости, то он тоже получит теорвер. Ш>>Вот это утверждение я не понял. E>Ну он тоже начнёт изучать статистику, обнаружит закон больших чисел и т. д. E>То есть теорвер выводится из структуры случайности, реализующейся в нашем мире.
Нет. Не так. Теория вероятности -- по существу раздел теории меры. Совершенно абстрактный предмет. Соотнесение математических утверждений, доказываемых в теории вероятностей с конкретными наблюдаемыми явлениями -- отдельный и очень не простой процесс. Во всяком случае, очень многие люди допускают грубые ошибки, пытаясь применит тер. вер. к жизни.
E>Вот случайность и её свойства -- она существует? Во всяком случае она объективна.
Есть два понятия случайности. Случайность в реальном мире и случайность как математическое понятие. Они совершенно разные.
Ш>>Нет, я так не утверждаю. Во первых предмет (а лучше сказать предметы) изучения в математике есть. Например, в теории числе -- целые числа, в алгебре -- различные алгебраические структуры, в анализе функции, в топологии -- топологические пространства, в теории меры и интеграла -- натурально, меры и интегралы, и.т.д Все эти вещи, да выдуманы учёными. Как захотим? Нет не как захотим. Впрочем, простого ответа на это вопрос не существует. Математика -- продукт исторического развития и тот вид, который она имеет несет в себе произвол учёных.
E>Э нет, вот числа там или меры -- это как раз произвол нашего воображения. Я высказываю более тонкое соображение. Что в математике есть такие штуки, которые носят объективный характер.
Нет таких штук. Есть понятия, которые были инспирированы наблюдениями за реальным миром. Тем не менее, сами эти понятия абстрактны и являются результатом работы воображения.
Ш>>Про предметы, изучаемые а математике нельзя говорить, что они существуют. Они не существуют так же, как материальные объекты мира в котором мы живем. Мы их воображаем. E>Это всё опять просто про слова спор, а не про идеи. IMHO, ключевым тут является то, воображаем мы их или открываем? IMHO, опять же проверить просто. Вообразить мы можем что угодно, а вот открыть только то, что существует объективно...
Ш>>Ты можешь вообразить мир Гарри Потера, например, или Властелина колец? Делает ли это эти миры существующими? E>Нет не делает, так как я могу вообразить их произвольными. А с математикой этот фокус не проходит. Так что есть какое-то таки "сопротивление материала", ну значит есть и какой-то "материал"
Это сопротивление материала -- законы логики. Кстати говоря, они и к литературе применимы. Посто писатели не следуют им строго. Или вернее следуют, но не законам мат. логики, а законам бытовой логики. Тем не менне, полное отсутсвие логики приводит к отсутсвию литературного произведения.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Тем не менне, полное отсутсвие логики приводит к отсутсвию литературного произведения.
Открой для себя Бориса Виана, например Или Хармса...
Про остальное я тебе так скажу, что я с тобой не согласен. Не согласен потому, что мы видим простой экспериментальный факт: иногда нам было бы выгодно выдумать совсем другую математику, но у нас не получается. Вот это-вот "не получается" чем-то таки обеспечивается. А ты всё время скатываешься на обсуждение мелких подробностей как именно что-то в математике реализовано. Ясно, что реализация вся целиком субъективна. А вот что-то важное и главное нефига не субъективно.
Ну я не знаю как ещё тебе объяснить. Ну вот когда "Вояджеры" отправляли на них выгравировывали картинки с математическим смыслом. Видимо считали, что у инопланетян есть аналогичный раздел знания и что они нас поймут... Вот именно то, в структуре математики, что позволяет надеяться на то, что инопланетяне нас поймут, и есть след наличия объективно существующего предмета изучения математики...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:
Pzz>Когда интересно до господ ученых дойдет, что "космонавты в космос летали, бога не видели" — плохой аргумент, причем с точки зрения научной методологии тоже?
1. офтопик нефальсифицируемый.
2. вы лулзы собираете или лужи газифицируете?
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Это — одна из точек зрения, причем явно чрезмерно полемически заостренная. Понятно, что, например, теорию чисел очень сложно считать частью естествознания,
ошибочная точка зрения тех же "целых поколений математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках"(с)Арнольд, потому как без теории чисел и понимания места простый чисел в построении квантовой физики вообще неадекватно понимание полноты и неполноты в теореме Гёделя
Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
BZ>Здравствуйте, BulatZiganshin, Вы писали:
S>>>Объясняю. Вот есть Карлос Кастанеда. Модный в гуманитарных кругах кумир, которого никто не понимает но о котором сегодня все "претендующие на продвинутость" должны говорить с придыханием, чтобы друг друга распознавать.
BZ>>это ты его не понимаешь
BZ>Егор, а с какой стати -1?
Егор знает, что Sealcon190 понимает Гёделя, по этому поставил BulatZiganshin -1, как формальная договоренность ставить -1 в случае восприятия предиката одного субъекта по отношению к другому как ложное утверждение в булевой системе логики первого порядка (без кванторов существования этих субъектов и модальных отношений к ним), что абсолютно укладывается в непротиворечивость выстроенных в системе аксиом RSDN.
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:
3>Вот Вам яркая иллюстрация того, что проиходит, когда люди изучают науку на форумах. 3>1. Евклидова геометрия не удовлетворяет условиям теорем Геделя.
а вот яркий пример профессорского фарисействования
а проективная геометрия удовлетворяет?
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
N>>>>Возьмем, например, теорию чисел. Можно доказать, что 7919 — простое число. Можно ли отсюда сделать вывод, что кучку из 7919 камешков нельзя разделить на несколько равных кучек?
Ш>>>Нельзя. Кучку из 7919 камней можно разделить на 7919 кучек по одному камню в кучке.
N>>А если условиться, что "несколько" — это "больше одного", а кучка должна состоять из нескольких камней?
Ш>Тогда нельзя.
Можно. Никто не говорил что кучка камней абсолютно исчерпывается понятием "счетное множество". Можно делить на кучки равной массы или по другому признаку, например оттенкам цвета кучек — они будут равными. И никакой Гёдель здесь ничего не применит со своим натуральным рядом. И выявление дополнителтьных свойств кучки, заметье — не физика, а опять же моделирование, т.е математика. Вопрос о характеристиках понятия "равенство" тоже не затрагивался, это отдельная тема.
Ш>Блин, неужели это так трудно понять?
даже без 7919 кучек
Кстати, современная школьная геометрия — это теория горздо сильнее евклидовой геометрии. Например, в ней допустима квантификация по целочисленным параметрам фигур ("Для любого n-угольника..."), что даже нельзя выразить на языке евклидовой геометрии.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>А если условиться, что "несколько" — это "больше одного", а кучка должна состоять из нескольких камней? N>Ты можешь отмахнуться, что пересчет камней — за пределами математики,
А взвешивание камней за пределами разделов математики?
кажется что когда многие говорят о математике, они путают её всё с той же арифметикой натурального ряда
N>но я напомню, что в метаматематических работах Гёделя, Тарского и Лёба числа используются для пересчета доказательств и символов в доказательствах, и из утверждения о том, что не существует числа, являющегося номером доказательства с определенными свойствами, делается вывод о том, что и такого доказательства не существует.
Ш>>В нашем мире действуют законы логики.
а вобще какая логика в мире действует? модальная действует?
N>Удивительное совпадение, не правда ли?
удивительное совпадение, что не двоичной, а троичной логики?
Здравствуйте, Erop и BulatZiganshin до кучи
E>Я пока что понимаю, что ты меня совсем не понимаешь. И вообще, похоже, не дочитываешь сообщения до конца...
Возвращяясь к "нашим баранам" и пастуху-Гёделю
Задумалось моё сознание над следующим:
"Я пока что не понимаю, что ты меня совсем не понимаешь"
является попыткой нащупать утверждение не противоречащее теории оппонента, но являющейся невыводимой в ней
E>Так что я бы сказал, что ты неадекватен, как собеседник.
заранее — приветсвуются любые исходы
Здравствуйте, DemAS, Вы писали:
DAS>"31415926" <66093@users.rsdn.ru> writes:
>> А науку (любую), изучают на на форумах, неглупый Вы наш....
DAS>Ну, в общем то, мой жизненный опыт показывает, что если человек разбирается в предмете, то он может рассказать простым житейским языком о сути предмета, каким бы сложным он не был.
не для этого форума ИМХО.
здесь таких практически нет.
речь шла не об объяснении теории, а о ее практическом применении. Это как про программные технологии в двух словам можно сказать: упрощают и делают более читабельным программный код, упрощая поддержку и модицикацию. Все. Для обычного человека достаточно. А более подробно ему уже и не надо.
Так и про эту теорию можно, наверно, сказать в простых словах. Что она дает и зачем вообще нужна.
Да и с другой стороны: не хочешь конструктива — не лезь а разговор. А то высказался, поплевал свысока, а ничего сказать по делу не смог. Выглядит очень неприглядно.
