Скачал и установил J2EE, а если точнее, то App Platform + JDK, то есть JRE включено в этот пакет.
Но Eclipse запускаться не захотел. Дальнейшее исследование показало, что проблема была в том, что JRE не было зарегистрировано в системе при установке J2EE.
Что я сделал не так и можно ли зарегистрировать JRE не вручную?