В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Не факт что вообще существует. Пример — вершины пирамиды треугольной.
А вообще габаритный бокс у множества точек только один. А уж попадут точки в вершины или нет — вопрос

Здравствуйте, Homunculus, Вы писали:

H>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

H>Не факт что вообще существует. Пример — вершины пирамиды треугольной.
H>А вообще габаритный бокс у множества точек только один. А уж попадут точки в вершины или нет — вопрос

Параллелепипед, он не обязательно прямоугольный.
И направление осей не задано.
Важно, только, чтобы все четыре точки были вершинами.

Число параллелепипедов всегда одинаково, независимо от выбора точек:
Линейное пространство всегда можно линейно преобразовать, так что эти четыре точки расположены как вам удобно.
(Параллелепипед при линейном преобразовании остается параллелепипедом.)

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Параллелепипед, он не обязательно прямоугольный.

А, точно. Тупанул

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

48

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

_>48
Нет. Меньше.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>>>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

_>>48
C>Нет. Меньше.

28

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>>>48
C>>Нет. Меньше.

_>28

Опять рубль упал.

Здравствуйте, Слава, Вы писали:

С>Опять рубль упал.
Продолжайте наблюдение

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>>>>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>>>>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

_>>>48
C>>Нет. Меньше.

_>28

Подумав, как можно было подучить 28, пришел к выводу что вы забыли вот такую конфигурацию:

   *-----
  /|    /|
 / |   / |
 -----*  |
|   --|--*
| /   | /
|/    |/
*-----

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:
C>Подумав, как можно было подучить 28, пришел к выводу что вы забыли вот такую конфигурацию:


C>

C>   *-----
C>  /|    /|
C> / |   / |
C> -----*  |
C>|   --|--*
C>| /   | /
C>|/    |/
C>*----- 

C>

Тогда 35

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Наверное, больше никто не заинтересуется задачей.

	Решение через перечисление всех возможных конфигураций тетраэдров:
	Будем обозначать точки, связанные общим ребром параллелограмма. Тогда возможны 4 конфигурации: A-B,B-C,C-D -----D /| /| / | / | B-----C | | --|-- | / | / |/ |/ A----- Учитывая, что перестановка вершин (A<->D, B<->C) дает тот же параллелограмм что и исходная последовательность, общее число параллелограммов, с данной конфигурацией: 4!/2 = 12 A-B,A-C,A-D D----- /| /| / | / | A-----C | | --|-- | / | / |/ |/ B----- Здесь, перестановочны точки B-C-D. общее число параллелограммов, с данной конфигурацией: 4!/3! = 4 A-B,A-C, D (D- не имеет общих ребер) -----D /| /| / | / | B----- | | --|-- | / | / |/ |/ A-----C Перестановочны B-C общее число параллелограммов, с данной конфигурацией: 4!/2! = 12 A,B,C,D — (Вообще без общих ребер.) B----- /| /| / | / | -----C | | --|--D | / | / |/ |/ A----- Все точки перестановочные. общее число параллелограммов, с данной конфигурацией: 4!/4! = 1 Итого, общее число параллелограммов: 12+4+12+1=29.

	Решение через средние плоскости
	Будем называть средней плоскостью параллелограмма плоскость, проходящею через его центра, и параллельную одной из пар граней параллелограмма. Заметим, что параллелограмм однозначно задается одной вершиной, и тремя средними плоскостями. Заметим, что средние плоскости равноудалены от всех вершин параллелограмма. Сколько всего существует плоскостей плоскостей, равноудаленный от четырех заданных точек? Очевидно, все плоскости проходят только через середины ребер треугольной пирамиды (построенной на заданных точках, в качестве вершин). Существует 4 плоскости, пересекающий по 3 ребра: параллельных каждой из граней пирамиды. Существует 3 плоскости, пересекающих по 4 ребра: параллельных одновременно двум ребрам, не имеющим общей вершины. (Всего ребер треугольной пирамиды — 6, и они образуют 3 пары на связанных ребер.) Всего плоскостей; 4+3=7 Всего троек плоскостей можно выбрать 7!/3!/4! = 35. Однако, среди этих троек существуют тройки плоскостей на которых невозможно построить параллелограмм. Это тройки плоскостей не имеющие общей точки пересечения, т.е. параллельные одной прямой. Всего таких троик — 6 (параллельны каждому из 6 ребер пирамиды.) Итого параллелограммов: 7!/3!/4! — 6 = 35 — 6 = 29.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Наверное, больше никто не заинтересуется задачей.

   2-----3
  /|    /|
 / |   / |
1-----2  |
|  1--|--2
| /   | /
|/    |/
0-----1
distance from first point
-------------------------



(1,1,1) -> 1
    ----- 
  /|    /|
 / |   / |
B-----   |
|  C--|--
| /   | /
|/    |/
A-----D

(1,1,2) -> 3*3 (тут 3 случая вырождены) -3
   2----- 
  /|    /|
 / |   / |
B-----D  |
|  C--|--2
| /   | /
|/    |/
A-----1

(1,1,3) -> 3*1
    -----D 
  /|    /|
 / |   / |
B-----   |
|  C--|-- 
| /   | /
|/    |/
A-----1

(1,2,2) -> 3*3
   2-----  
  /|    /|
 / |   / |
B-----C  |
|  1--|--D
| /   | /
|/    |/
A-----1

(1,2,3) -> 3*3*1 (-3 вар с AB||CD)
   2-----D 
  /|    /|
 / |   / |
B-----C  |
|  1--|--2
| /   | /
|/    |/
A-----1

(2,2,2) -> 1
   B-----
  /|    /|
 / |   / |
 -----C  |
|   --|--D
| /   | /
|/    |/
A----- 

(2,2,3) -> 3*1
   B-----D
  /|    /|
 / |   / |
 -----C  |
|   --|--2
| /   | /
|/    |/
A----- 


1+3*3-3+3*1+3*3+3*3*1-3+1+3*1 = 29

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>В пространстве заданы 4 точки, не лежащие на одной плоскости.
C>Сколько существует параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
12 (но это первое наивное рассуждение)
твое решение не смотрел, интересно решить самостоятельно

MVK>12 (но это первое наивное рассуждение)
MVK>твое решение не смотрел, интересно решить самостоятельно

Эх, пойду подсматривать ответ, раз никто не отвечает.