Тесты на COVID не всегда дают правильный ответ.

В случае больного тест дает положительный результат с вероятностью p1
В случае здорового тест дает отрицательный результат с вероятностью p2
Будем считать что и p1 и p2 достаточно близки к 1.

Какова вероятность того что человек болен если тест дал положительный результат?
Какова вероятность того что человек болен если тест дал отрицательный результат?

N>В случае больного тест дает положительный результат с вероятностью p1
N>В случае здорового тест дает отрицательный результат с вероятностью p2
N>Будем считать что и p1 и p2 достаточно близки к 1.

N>Какова вероятность того что человек болен если тест дал положительный результат?
N>Какова вероятность того что человек болен если тест дал отрицательный результат?

А что тут прогать-то? Одна ж формула.
Обозначим вероятность того, что человек болен через P.

Для положительного теста: вер. обнаружения + вероятность ложной тревоги = 1:
P*p1 + (1-P)(1-p2) = 1 Отсюда P = (p2 — 1)/(p1 + p2 -1), если в алгебре не ошибся

Для отрицательного теста: вер. пропуска + вер. правильного необнаружения = 1:
P*(1-p1) + (1-P)*p2 = 1 Отсюда P = p2 /(p1 + p2 — 1)

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>А что тут прогать-то? Одна ж формула.
A>Обозначим вероятность того, что человек болен через P.
A>Для положительного теста: вер. обнаружения + вероятность ложной тревоги = 1:
A>P*p1 + (1-P)(1-p2) = 1 Отсюда P = (p2 — 1)/(p1 + p2 -1), если в алгебре не ошибся
A>Для отрицательного теста: вер. пропуска + вер. правильного необнаружения = 1:
A>P*(1-p1) + (1-P)*p2 = 1 Отсюда P = p2 /(p1 + p2 — 1)

Тут же вроде формула Байеса. Формулы выше не очень похожи.

S>Тут же вроде формула Байеса. Формулы выше не очень похожи.

Ну да. Ерунду я там написал. Сейчас попробую исправиться.

Состояние пациента (Б — болен, З — здоров), теста — (П — положительный, O — отрицательный )

Условия: P(О|З) = p2, P(П|Б) = p1

т. Байеса — вероятность болезни при положит. тесте:

Р(Б|П) = P(П|Б) * P(Б)/P(П) = p1 * P(Б)/P(П) (*)

вероятность положит теста
P(П) = P(П|Б) * P(Б) + P(П|З) * P(З) = P(П|Б) * P(Б) + P(П|З) * (1 — P(Б)) = (P(П|Б) — P(П|З))* P(Б) + P(П|З) (**)

если рассм. только здоровых пациентов, положит и отриц тесты образуют полную группу событий и:
P(П|З) = 1 — P(О|З)

подставим в (**)

P(П) = (P(П|Б) — 1 + P(О|З))* P(Б) + (1 — P(О|З)) = (p1 + p2 — 1)*P(Б) + (1-p2)

Далее несколько кривая аппроксимация, в справедливости которой я сильно сомневаюсь:

В условии не задано априорной вероятности P(Б), но сказано, что (1-p2)~0.

Отсюда P(П) =~ (p1 + p2 — 1) * P(Б)

Это дает возможность избавиться от априорных вероятностей в числителе и знаменателе (*)

Р(Б|П) =~ p1/(p1 + p2 — 1)

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>если рассм. только здоровых пациентов, положит и отриц тесты образуют полную группу событий и:
A>P(П|З) = 1 — P(О|З)

Я не уверен, что это формула верна: P(П|З) + P(О|З) = P(З) . Т.е. тут нужна формула полной вероятности.

A>Это дает возможность избавиться от априорных вероятностей в числителе и знаменателе (*)
A>Р(Б|П) =~ p1/(p1 + p2 — 1)

p1=p2=0.9, то p > 1

A>>если рассм. только здоровых пациентов, положит и отриц тесты образуют полную группу событий и:
A>>P(П|З) = 1 — P(О|З)

S>Я не уверен, что это формула верна: P(П|З) + P(О|З) = P(З) . Т.е. тут нужна формула полной вероятности.

С заболевшими все норм вроде. Представь, что тесты берут только у них. Возможные исходы — положит или отриц тест

A>>Это дает возможность избавиться от априорных вероятностей в числителе и знаменателе (*)
A>>Р(Б|П) =~ p1/(p1 + p2 — 1)
S>p1=p2=0.9, то p > 1

Ну да. Мне тоже не нравится. Но как решить исходную задачу, если априори про заболевших ничего не известно. Никакие знания о тест-системе тебе априорного распределения заболевших не дадут.

Здравствуйте, andyp, Вы писали:


S>>Я не уверен, что это формула верна: P(П|З) + P(О|З) = P(З) . Т.е. тут нужна формула полной вероятности.
A>С заболевшими все норм вроде. Представь, что тесты берут только у них. Возможные исходы — положит или отриц тест

Похоже я тут маху дал: P(П|З)P(З) + P(О|З)P(З) = 1. Вот формула полной вер-ти. В любом случае та формула выше неверна.

A>>>Р(Б|П) =~ p1/(p1 + p2 — 1)
S>>p1=p2=0.9, то p > 1
A>Ну да. Мне тоже не нравится. Но как решить исходную задачу, если априори про заболевших ничего не известно. Никакие знания о тест-системе тебе априорного распределения заболевших не дадут.

Мне кажется, тут данных маловато в условии. Ждем уточнения от автора.

S>Похоже я тут маху дал: P(П|З)P(З) + P(О|З)P(З) = 1. Вот формула полной вер-ти. В любом случае та формула выше неверна.

Смотри, у тебя левая часть фактически P(П,З) + P(О,З) — сумма вероятностей пересечений множеств исходов (П.З) и (О,З). Она никак не может быть равной 1, так как 1 равна следующая сумма
P(П,З) + P(О,З) + P(П,Б) + P(О,Б) — тут пересечения образуют полную группу событий.

Теперь представь мысленно, что бы тестируешь своей тест-системой только здоровых и получаешь некоторые частоты положительных и отрицательных результатов. Это и есть P(П|З) и P(О|З). Для них справедливо P(П|З) + P(О|З) = 1. Первое слагаемое — вероятность ложной тревоги, вторая — правильное необнаружение (это если в терминах статистической радиотехники, что мне ближе). Здесь условные вероятности — фактически вероятности условных событий (см. например https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability, одно из определений As the probability of a conditional event) Эти два условных события тоже образуют полную группу и определяются только параметрами твоей тест-системы.

Ну как-то так думаю. Лучше объяснить свою точку зрения не могу.

Здравствуйте, Sharov, Вы писали:

S>Мне кажется, тут данных маловато в условии. Ждем уточнения от автора.

Если недостаточно исходных данных то смело можно ввести новые неизвестные, от которых будет зависеть ответ

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>Смотри, у тебя левая часть фактически P(П,З) + P(О,З) — сумма вероятностей пересечений множеств исходов (П.З) и (О,З). Она никак не может быть равной 1, так как 1 равна следующая сумма
A>P(П,З) + P(О,З) + P(П,Б) + P(О,Б) — тут пересечения образуют полную группу событий.
A>Теперь представь мысленно, что бы тестируешь своей тест-системой только здоровых и получаешь некоторые частоты положительных и отрицательных результатов. Это и есть P(П|З) и P(О|З). Для них справедливо P(П|З) + P(О|З) = 1.

Понял, речь о том, что мы точно знаем P(З) = 1. Тогда все верно, а моя формула ( P(П|З)P(З) + P(О|З)P(З) = 1)
не верна в общем случае (P(З) не 1).

Спор ни о чем. Не знаю к чему этот этюд, если все решается формулой Байеса.

S>Спор ни о чем. Не знаю к чему этот этюд, если все решается формулой Байеса.

Угу. Тут вроде прогать-то и нечего.

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>Если недостаточно исходных данных то смело можно ввести новые неизвестные, от которых будет зависеть ответ

Имхо, не хватает априорной вероятности найти больного в популяции P(Б). Тогда все сходится.

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>Тесты на COVID не всегда дают правильный ответ.

N>В случае больного тест дает положительный результат с вероятностью p1
N>В случае здорового тест дает отрицательный результат с вероятностью p2
N>Будем считать что и p1 и p2 достаточно близки к 1.

N>Какова вероятность того что человек болен если тест дал положительный результат?
N>Какова вероятность того что человек болен если тест дал отрицательный результат?

И та и другая вероятность зависит от % больных людей в популяции.
А так по формуле Байеса все считается.