Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Есть такая последовательность:
_>

_>m[0]=1 d[0]=4

_>m[i+1]=m[i]*d[i]
_>d[i+1]=4-1/d[i]
_>s[i+1]=3*m[i+1]^2+1
_>

_>Как проще всего доказать что все s[i] — будут полные квадраты, т.е. все s[i]^0.5 — целые числа?
_>s[1]^0.5=7, s[2]^0.5=26, s[3]^0.5=97, s[4]^0.5=362, ...


Непосредственно из условия следует, что
m[i+2] = m[i+1]*d[i+1] = m[i+1]*(4 — 1/d[i]) = 4*m[i+1] — m[i+1]/d[i] = 4*m[i+1] — m[i]
Получилось простое разностное уравнение. Решения ищутся в виде a^i. Подстановка в уравнение дает a = 2+-sqrt(3). Поэтому общее решение m[i] = A*(2+sqrt(3))^i + B*(2-sqrt(3))^i
Из начальных условий находится A = (2+sqrt(3))/2/sqrt(3), B = -(2-sqrt(3))/2/sqrt(3), откуда A*B = -1/12
Следовательно, s[i] = 3*m[i]^2 + 1 = 3 * A^2*(2+sqrt(3))^{2*i} + 3 * B^2*(2-sqrt(3))^{2*i} + 6*A*B -12*A*B = 3 * ( A*(2+sqrt(3))^i — B*(2-sqrt(3))^i )^2
Отсюда t[i] = sqrt(s[i]) = sqrt(3) * ( A*(2+sqrt(3))^i — B*(2-sqrt(3))^i ).
Это означает, что t[i] удовлетворяет тому же самому разностному уравнению t[i+2] = 4*t[i+1] — t[i] только с другими начальными условиями.
Раз первые два значения целые, то и остальные тоже.