Полные квадраты
От: kov_serg Россия  
Дата: 26.05.20 09:12
Оценка: 5 (1)
Есть такая последовательность:
m[0]=1 d[0]=4

m[i+1]=m[i]*d[i]
d[i+1]=4-1/d[i]
s[i+1]=3*m[i+1]^2+1

Как проще всего доказать что все s[i] — будут полные квадраты, т.е. все s[i]^0.5 — целые числа?
s[1]^0.5=7, s[2]^0.5=26, s[3]^0.5=97, s[4]^0.5=362, ...
Re: Полные квадраты
От: kfmn Россия  
Дата: 26.05.20 15:25
Оценка: 15 (1)
Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Есть такая последовательность:

_>
_>m[0]=1 d[0]=4

_>m[i+1]=m[i]*d[i]
_>d[i+1]=4-1/d[i]
_>s[i+1]=3*m[i+1]^2+1
_>

_>Как проще всего доказать что все s[i] — будут полные квадраты, т.е. все s[i]^0.5 — целые числа?
_>s[1]^0.5=7, s[2]^0.5=26, s[3]^0.5=97, s[4]^0.5=362, ...


Непосредственно из условия следует, что
m[i+2] = m[i+1]*d[i+1] = m[i+1]*(4 — 1/d[i]) = 4*m[i+1] — m[i+1]/d[i] = 4*m[i+1] — m[i]
Получилось простое разностное уравнение. Решения ищутся в виде a^i. Подстановка в уравнение дает a = 2+-sqrt(3). Поэтому общее решение m[i] = A*(2+sqrt(3))^i + B*(2-sqrt(3))^i
Из начальных условий находится A = (2+sqrt(3))/2/sqrt(3), B = -(2-sqrt(3))/2/sqrt(3), откуда A*B = -1/12
Следовательно, s[i] = 3*m[i]^2 + 1 = 3 * A^2*(2+sqrt(3))^{2*i} + 3 * B^2*(2-sqrt(3))^{2*i} + 6*A*B -12*A*B = 3 * ( A*(2+sqrt(3))^i — B*(2-sqrt(3))^i )^2
Отсюда t[i] = sqrt(s[i]) = sqrt(3) * ( A*(2+sqrt(3))^i — B*(2-sqrt(3))^i ).
Это означает, что t[i] удовлетворяет тому же самому разностному уравнению t[i+2] = 4*t[i+1] — t[i] только с другими начальными условиями.
Раз первые два значения целые, то и остальные тоже.
Отредактировано 26.05.2020 18:20 kfmn . Предыдущая версия .
Re[2]: Полные квадраты
От: kov_serg Россия  
Дата: 27.05.20 13:28
Оценка:
Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>Это означает, что t[i] удовлетворяет тому же самому разностному уравнению t[i+2] = 4*t[i+1] — t[i] только с другими начальными условиями.

K>Раз первые два значения целые, то и остальные тоже.
Круто. Если взять такую последовательность только с t[0]=2 t[1]=4 t[i+2]=4*t[i+1]-t[i]
то можно получить треугольники со сторонами t[i]-1,t[i],t[i]+1 и целой площадью
1,2,3
3,4,5
13,14,15
51,52,53
193,194,194
723,724,725
...
Отредактировано 27.05.2020 13:30 kov_serg . Предыдущая версия . Еще …
Отредактировано 27.05.2020 13:29 kov_serg . Предыдущая версия .
 
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.