Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Десять пятаков расположены в виде замкнутой цепочки (т.е. первый касается второго, второй — третьего и
B>т.д., десятый — первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из этих пятаков. Сколько оборотов он сделает,
B>вернувшись в исходное положение?

Общее решение для замкнутой цепочки из N монет в градусах: N * 60 + 360.

Для N = 10: 600 + 360 = 960 градуса, что составляет 8/3 полного оборота.

Важным условием применимости этого решения является то, что катящийся пятак касается КАЖДОГО пятака из цепочки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы многоугольник, построенный на центрах монет, не содержал вогнутых вершин, острее 120 градусов.

Задача перекликается с теоремой о сумме внешних углов многоугольника. Величина поворота монетки при единичном перекате в соседнее положение в градусах составляет: 60 + a, где a — величина пройденного внешнего угла. Внешний угол берется со знаком "плюс" для выпуклых вершин и со знаком "минус" для вогнутых. Таким образом, слагаемое "360" в общей формуле является прямым следствием этой теоремы.