Десять пятаков расположены в виде замкнутой цепочки (т.е. первый касается второго, второй — третьего и
т.д., десятый — первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из этих пятаков. Сколько оборотов он сделает,
вернувшись в исходное положение?

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Десять пятаков расположены в виде замкнутой цепочки (т.е. первый касается второго, второй — третьего и
B>т.д., десятый — первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из этих пятаков. Сколько оборотов он сделает,
B>вернувшись в исходное положение?

Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3
а если расположены вокруг цилиндра то N=n/6 = 1+2/3
еще на поверхности тора можно намотать, на ленту мёбиуса и т.д.

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>>Десять пятаков расположены в виде замкнутой цепочки (т.е. первый касается второго, второй — третьего и
B>>т.д., десятый — первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из этих пятаков. Сколько оборотов он сделает,
B>>вернувшись в исходное положение?

_>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3
_>а если расположены вокруг цилиндра то N=n/6 = 1+2/3
_>еще на поверхности тора можно намотать, на ленту мёбиуса и т.д.

Точно. Про плоскость то я не подумал

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3

Какие Ваши доказательства? (с)

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

_>>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3

Б>Какие Ваши доказательства? (с)

Еще их можно как герлянду на конусе расположить. Будет нечто промежуточное между плоскостью и цилиндром.

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

_>>>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3

Э нет. Данная картинка недостаточна. Тут пятаки выстроены в окружность. А они могут лежать как угодно. Главное, чтобы касались другу друга и образовывали цепочку.
Т.е в доказательстве не хватает еще одного, на мой взгляд, главного шага. Иначе задача совсем уж проста.

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>>Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

_>>>>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3

B>Э нет. Данная картинка недостаточна. Тут пятаки выстроены в окружность. А они могут лежать как угодно. Главное, чтобы касались другу друга и образовывали цепочку.
B>Т.е в доказательстве не хватает еще одного, на мой взгляд, главного шага. Иначе задача совсем уж проста.
30+a не зависит от R и от n, т.е. радиус кривизны может быть любой. И цепочку можно выгибать по своему усмотрению.

Дальше просто всё складываем
30+a1+30+a2+30+a3+....
a1+a2+a3...=360
30*2*n=60*n
sum/360=1+n/6

Еще вопросы?

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>>Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>>>Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

_>>>>>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3

B>>Э нет. Данная картинка недостаточна. Тут пятаки выстроены в окружность. А они могут лежать как угодно. Главное, чтобы касались другу друга и образовывали цепочку.
B>>Т.е в доказательстве не хватает еще одного, на мой взгляд, главного шага. Иначе задача совсем уж проста.
_>30+a не зависит от R и от n, т.е. радиус кривизны может быть любой. И цепочку можно выгибать по своему усмотрению.

_>Дальше просто всё складываем
_>30+a1+30+a2+30+a3+....
_>a1+a2+a3...=360
_>30*2*n=60*n
_>sum/360=1+n/6

_>Еще вопросы?

Решение то я знаю Но раз уж мы перешли к строгому доказательству, то хотелось бы его увидеть таким, чтобы оно было понятно и девятикласснику.
Задачи как раз с олимпиады для 9-го класса.

Так что, хотелось бы понять
1) что такое в ваших обозначениях a1, a2 и т.п.
2) почему ваша фраза "30+a не зависит от R и от n" имеет какое то отношение к тому что "цепочку можно выгибать по своему усмотрению."

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

_>>>Если они расположены на плоскости то N=1+n/6 = 1+10/6 = 2+2/3

Б>>Какие Ваши доказательства? (с)
_>Image: ZBkW2Zi.png

Вы не учитываете что катящийся пятак вращается не только вокруг собственного центра, но одновременно и вокруг центров неподвижных пятаков. Поэтому правильный будет в 2 раза больше чем вычисленный по Вашей формуле. Т.е. N=2+n/3.

Я где-то встречал упрощенную версию данной задачи: Сколько оборотов сделает пятак, прокатившись вокруг другого неподвижного пятака? Он сделает 2 полных оборота. По полному обороту на каждые 180 (а не 360) градусов пройденной дуги неподвижного пятака. Это легко проверить на практике, взяв два пятака и выполнив прокат.

Случай же с несколькими неподвижными пятаками тоже проверяется довольно просто для n=3. Замкнутая цепочка тогда имеет единственную конфигурацию в виде такого плотного "треугольника" из пятаков. Катящийся вокруг нее пятак будет проходить по 180 градусов вокруг каждого из неподвижных и в результате, вернувшись в исходную точку, сделает ровно 3 оборота вокруг собственного центра.

Здравствуйте, Karbofos, Вы писали:

K>Вы не учитываете что катящийся пятак вращается не только вокруг собственного центра, но одновременно и вокруг центров неподвижных пятаков. Поэтому правильный будет в 2 раза больше чем вычисленный по Вашей формуле. Т.е. N=2+n/3.
Да вы правы.

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

Б>>Какие Ваши доказательства? (с)
_>Image: ZBkW2Zi.png
_>Еще их можно как герлянду на конусе расположить. Будет нечто промежуточное между плоскостью и цилиндром.

А если фигура не выпуклая, и два (три) пятака находятся внутри так, что внешний пятак их не касается?

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Десять пятаков расположены в виде замкнутой цепочки (т.е. первый касается второго, второй — третьего и
B>т.д., десятый — первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из этих пятаков. Сколько оборотов он сделает,
B>вернувшись в исходное положение?

Общее решение для замкнутой цепочки из N монет в градусах: N * 60 + 360.

Для N = 10: 600 + 360 = 960 градуса, что составляет 8/3 полного оборота.

Важным условием применимости этого решения является то, что катящийся пятак касается КАЖДОГО пятака из цепочки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы многоугольник, построенный на центрах монет, не содержал вогнутых вершин, острее 120 градусов.

Задача перекликается с теоремой о сумме внешних углов многоугольника. Величина поворота монетки при единичном перекате в соседнее положение в градусах составляет: 60 + a, где a — величина пройденного внешнего угла. Внешний угол берется со знаком "плюс" для выпуклых вершин и со знаком "минус" для вогнутых. Таким образом, слагаемое "360" в общей формуле является прямым следствием этой теоремы.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Для этого необходимо и достаточно, чтобы многоугольник, построенный на центрах монет, не содержал вогнутых вершин, острее 120 градусов.

Предположение о достаточности — не верно. Рисуем толстой кистью кольцо, вырезаем сегмент кольца шириной меньше двух диаметров монеты, укладываем монеты по краю получившейся фигуры. Углов острее 120 не будет, монета пущенная снаружи/изнутри выпуклой оболочки фигуры не сможет проникнуть вовнутрь/нуражу.

Здравствуйте, dead0k, Вы писали:

D>Предположение о достаточности — не верно. Рисуем толстой кистью кольцо, вырезаем сегмент кольца шириной меньше двух диаметров монеты, укладываем монеты по краю получившейся фигуры. Углов острее 120 не будет, монета пущенная снаружи/изнутри выпуклой оболочки фигуры не сможет проникнуть вовнутрь/нуражу.

Да, верно.