Есть одна идейка (но не решение) :
Для N = 10.
Рассм. такую матрицу :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 — — — — — — — — — —
2 — — — — —
3 — — —
4 — —
5 — —
6 —
7 —
8 —
9 —
10 —
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 -> кол-во '-'

Дальше приходим к выводу, что кол-во '-' есть кол-во делителей. Если это кол-во чётно, значит дверь закрыта, иначе она открыта. В этом случае 3 открытых и 7 закрытых дверей. Т.е. задачка сводится к вычислению суммы такого ряда :
k = f(1) + f(2) + ... + f(1000000);, где f(i) это ф-я возвр-я кол-во делителей числа i.