Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:
Б>Что значит их нет? Они есть одновременно везде (с определенной вероятностью).
Это значит, что в каком-то из мест вероятность их появления = 0.

Б>Если существует какое-то место, которое более выгодно для вожатого по сравнению с другими, то он, очевидно пойдет туда (вероятность его похода туда увеличится). Но тогда пионеры скорее всего туда не пойдут (вероятность их похода в это место уменьшится). Но тогда это место станет менее выгодным для вожатого. Значит скорее всего он туда не пойдет (вероятность его похода туда уменьшится).
Это напальцевое рассуждение работает только в том случае, если разница между выигрышем и затратами в том месте, где пионеры "более вероятны", превышает затраты на поход в "менее вероятное" место.
Простейшая схема: всего три места. Поход в место А стоит 1, поход в места Б и В стоит 10. Выигрыш от поимки — 12. Пионеры выбирают стратегию (0, 50%, 50%). Если вожатый идёт в любое из мест Б или В, то матожидание выигрыша у него 6, а затраты — 10. Итого, он в среднем ожидает проиграть 4. При этом поход в А стоит ему только 1, поэтому он выбирает стратегию (100%, 0, 0). Общее матожидание его выигрыша = (-1).
Б>При равновесии матожидание выигрыша вожатого в каждом раунде одинаковое. И не зависит от того, какое место он выберет.
Нет. При равновесии матожидание выигрыша ухудшается при любом изменении стратегии. Одинаковость матожиданий выигрышей в каждом из мест не требуется.
Б>Если матожидание какого-то места отличается от других, то равновесие нарушается.
См. пример выше.
Дополнительные соображения: пионерам не обязательно выбирать 50/50 для мест В и Б. Они могут перекашивать вероятности посещения вплоть до такого момента, когда матожидание выигрыша в одном из этих мест не превысит 9.
То есть, (0, 75%, 25%) всё ещё равновесная стратегия, а вот (0, 76%, 24%) — уже нет. В ответ на эту стратегию вожатый выберет (0, 100%, 0), и у пионеров появится ненулевая вероятность быть пойманными.

Здравствуйте, Sinclair, Вы писали:

S>Это напальцевое рассуждение работает только в том случае, если разница между выигрышем и затратами в том месте, где пионеры "более вероятны", превышает затраты на поход в "менее вероятное" место.
S>Простейшая схема: всего три места. Поход в место А стоит 1, поход в места Б и В стоит 10. Выигрыш от поимки — 12. Пионеры выбирают стратегию (0, 50%, 50%). Если вожатый идёт в любое из мест Б или В, то матожидание выигрыша у него 6, а затраты — 10. Итого, он в среднем ожидает проиграть 4. При этом поход в А стоит ему только 1, поэтому он выбирает стратегию (100%, 0, 0). Общее матожидание его выигрыша = (-1).

Зачем вожатый отказался от похода во второе и третье место? Вожатый действовал неразумно.
Существует более выгодная для него стратегия (33%, 33%, 33%). Матожидание выигрыша составляет +0,67.

Б>>При равновесии матожидание выигрыша вожатого в каждом раунде одинаковое. И не зависит от того, какое место он выберет.
S>Нет. При равновесии матожидание выигрыша ухудшается при любом изменении стратегии. Одинаковость матожиданий выигрышей в каждом из мест не требуется.

Согласен.
Верно и другое. Если существует другая стратегия, при которой можно улучшить матожидание, то равновесие еще не достигнуто.

Поэтому в приведенном выше примере стратегия (100%, 0, 0) не приводит к равновесию.
Правда, и стратегия вожатого (33%, 33%, 33%) тоже не является равновесной. Т.к. теперь пионеры исправят свою стратегию.

S>Дополнительные соображения: пионерам не обязательно выбирать 50/50 для мест В и Б. Они могут перекашивать вероятности посещения вплоть до такого момента, когда матожидание выигрыша в одном из этих мест не превысит 9.
S>То есть, (0, 75%, 25%) всё ещё равновесная стратегия, а вот (0, 76%, 24%) — уже нет. В ответ на эту стратегию вожатый выберет (0, 100%, 0), и у пионеров появится ненулевая вероятность быть пойманными.

В стратегии вожатого нулевая вероятность должна быть только для тех мест, в которых "выигрыш от поимки минус затраты" будет отрицательным. В эти места нет смысла ходить вообще никогда. Даже если мы поймаем пионеров, все равно будет минус.

Но если в каком-то месте можно получить хоть какой-то плюс, то туда надо идти. В приведенном примере отрицательных мест нет, там результат выигрыша равен (11, 2, 2). Поэтому любая стратегия вожатого без нулевых вероятностей будет лучше, чем (100, 0, 0).

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Здравствуйте, Sinclair, Вы писали:

S>>Это напальцевое рассуждение работает только в том случае, если разница между выигрышем и затратами в том месте, где пионеры "более вероятны", превышает затраты на поход в "менее вероятное" место.
S>>Простейшая схема: всего три места. Поход в место А стоит 1, поход в места Б и В стоит 10. Выигрыш от поимки — 12. Пионеры выбирают стратегию (0, 50%, 50%). Если вожатый идёт в любое из мест Б или В, то матожидание выигрыша у него 6, а затраты — 10. Итого, он в среднем ожидает проиграть 4. При этом поход в А стоит ему только 1, поэтому он выбирает стратегию (100%, 0, 0). Общее матожидание его выигрыша = (-1).

Б>Зачем вожатый отказался от похода во второе и третье место? Вожатый действовал неразумно.
Б>Существует более выгодная для него стратегия (33%, 33%, 33%). Матожидание выигрыша составляет +0,67.
А, всё ясно. Вы неверно подсчитываете матожидание. Откуда взялось 0.67?
Вот смотрите: если он всегда ходит только в A — он получает (-1).
Если он всегда ходит в Б: он получает (12*50%) — 10 = -4. Это понятно, почему?
Точно так же он получает (-4) если выбирает всегда В.
Вы понимаете, что никакая суперпозиция стратегий с матожиданиями (-1, -4, -4) не даст матожидание выигрыша больше 0?
Стратегия, которая максимизирует матожидание здесь ровно одна — (100%, 0, 0).

S>>Дополнительные соображения: пионерам не обязательно выбирать 50/50 для мест В и Б. Они могут перекашивать вероятности посещения вплоть до такого момента, когда матожидание выигрыша в одном из этих мест не превысит 9.
S>>То есть, (0, 75%, 25%) всё ещё равновесная стратегия, а вот (0, 76%, 24%) — уже нет. В ответ на эту стратегию вожатый выберет (0, 100%, 0), и у пионеров появится ненулевая вероятность быть пойманными.

Б>В стратегии вожатого нулевая вероятность должна быть только для тех мест, в которых "выигрыш от поимки минус затраты" будет отрицательным. В эти места нет смысла ходить вообще никогда. Даже если мы поймаем пионеров, все равно будет минус.
Нет. Не "выигрыш минус затраты", а "матожидание выигрыша минус затраты".

Б>Но если в каком-то месте можно получить хоть какой-то плюс, то туда надо идти. В приведенном примере отрицательных мест нет, там результат выигрыша равен (11, 2, 2). Поэтому любая стратегия вожатого без нулевых вероятностей будет лучше, чем (100, 0, 0).
Вы почему-то думаете, что пионеры будут сидеть ровно в том месте, куда пошёл вожатый. А это не так. (11, 2, 2) можно получить только в том случае, если вожатый всегда угадывает. В реальности нужно домножить сумму выигрыша на его вероятность, заданную стратегией пионеров. Если их стратегия (100%, 0, 0), то матожидания выигрыша вожатого с учётом затрат будут (11, -10, -10).

Здравствуйте, Sinclair, Вы писали:

Б>>Зачем вожатый отказался от похода во второе и третье место? Вожатый действовал неразумно.
Б>>Существует более выгодная для него стратегия (33%, 33%, 33%). Матожидание выигрыша составляет +0,67.
S>А, всё ясно. Вы неверно подсчитываете матожидание. Откуда взялось 0.67?

Да, похоже я действительно неверно считаю матожидание.
И мой подход становится не верным.