в параде участвуют 2 истребителя Стеллс и один Миг. Каждый из Стеллсов может развивать скорость до 100 м/с в любом направлении. Изначально все три пташки находятся в вершинах правильного треугольника. Какую скорость должен уметь развивать Миг чтобы при любом движении Стеллсов он смог бы восстановить конфигурацию правильного треугольника?

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>в параде участвуют 2 истребителя Стеллс и один Миг. Каждый из Стеллсов может развивать скорость до 100 м/с в любом направлении. Изначально все три пташки находятся в вершинах правильного треугольника. Какую скорость должен уметь развивать Миг чтобы при любом движении Стеллсов он смог бы восстановить конфигурацию правильного треугольника?

Такое решение:



Далее такие выкладки:

b*v = v*sin(a) + sqrt(3)*v*cos(a)
b = sin(a) + sqrt(3)*cos(a)

То есть исходя из условия максимально неблагоприятного для Мига, получаем:

sin(a) + sqrt(3)*cos(a) = max
2 * ((1/2) * sin(a) + sqrt(3)/2 * cos(a)) = 2 * sin(pi/3 + a)

отсюда имеем a = pi/6 + 2*pi*n (примем pi/6, т.е. 30 градусов)

тогда получаем b = sin(pi/6) + sqrt(3)*cos(pi/6) = 2

Т. е. Миг должен уметь двигаться со скоростью 200 м/с.

Правильно?

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

Поглдяел. Решил. Что, из политкорректности к МИГам уже тормоза приделывают? До чего докатились, а....

Здравствуйте, adontz, Вы писали:

A>Поглдяел. Решил. Что, из политкорректности к МИГам уже тормоза приделывают? До чего докатились, а....

нет — там МИГ механический: группа китайцев (бывших неудавшихся учителей-программистов ) педали крутят...

Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

C>Такое решение:
принято.

C>

только один вопрос: почему направления обоих стеллсов составляют один и тот же угол (с точностью до знака) с прямой, их соединяющей?

P.S. кто найдёт красивое геометрическое решение? (я пока сам не знаю)

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>только один вопрос: почему направления обоих стеллсов составляют один и тот же угол (с точностью до знака) с прямой, их соединяющей?

Ну этому предшествовало много попыток на бумажке смоделировать наиболее неблагоприятный для мига вариант. Кончилось это двумя утверждениями (недоказанными конечно):
1) Стелсы должны одновременно удаляться от мига или лететь на него.
2) При удалении/сближении они должны сужать/расширять треугольник, так, чтобы мигу для поддержания его равносторонним пришлось еще поднажать .

Ну и все варианты свелись к таким:
1) Стелсы летят друг на друга или удаляются друг от друга по прямой, их соединяющей.
2) Стелсы летят прочь от мига, либо в его сторону (на рисунке в решении строго вверх).

В случае 1 мигу достаточно лететь со скоростью sqrt(3)*100 м/с, чтобы успеть на аварию , или поддерживать треунольник. В случае 2 только 100 м/с. Ну я и предположил, что истина где-то посередине . А угол одинаковый потому, что есть смутное подозрение насчет того, что будь угол неодинаков, то мигу пришлось компенсировать скорость лишь одного стелса по каждой проекции (сумбурно звучит, но при отклонении одного из стелсов мигу достаточно слегка подкорректировать курс и по всей видимости снизить скорость). А при таком угле оба стелса работают согласованно на доставление мигу максимальных неудобств . Короче шаманство, а не решение.

Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

Короче шаманство, а не решение.
вот такие — качественные — решения мне больше всего и нравятся кстати

H>P.S. кто найдёт красивое геометрическое решение? (я пока сам не знаю)

Имеем равносторонний трегольник ABC. В вершинах A и C находятся Стелсы.
Рассмотрим малое время dt, за которое Стелсы и МиГ не меняют направления движения.
За это время стелсы могут оказаться в любой точке в круге радиуса 100*dt с центрами в вершинах A и C.

Т.о. задача сводится к следующему. Дан равносторонний треугольник ABC, вокруг вершин A и C нарисованы круги достаточно малого радиуса. Строим такое ГМТ: берем по точке в каждом круге, соединяем их отрезком. На базе отрезка строим равносторонний треугольник (понятно в какую сторону). Берем третью вершину этого треуголника. Необходимо найти это ГМТ и максимум расстояния его точек от вершины B исходного треугольника.

Будет использовать комплексные числа, т.к. в них проще всего поворачивать отрезки на 60гр.
Итак, пусть точка A=0, точка C=1 (без потери общности можем выбрать такой масштаб).
Пусть стелс из точки A проходит расстояние A под углом a к прямой AC.
Пусть второй стелс из точки С проходит расстояние B под углом b к прямой AC.

Точки, в которых окажутся стелсы

A*exp(i*a),   1 + B*exp(i*b)

Отрезок, который соединяет эти точки есть комплексное число

1 + B*exp(i*b) - A*exp(i*a)

Поворачиваем отрезок на 60гр против часой стрелки

exp(i*p/3)*(1 + B*exp(i*b) - A*exp(i*a)), p - число "пи".

Т.к. отрезок идет от первого стелса, а не от начала координат, то точка, где должен оказаться МиГ будет

exp(i*p/3)*(1 + B*exp(i*b) - A*exp(i*a)) + A*exp(i*a)

Отрезок, который проходит МиГ:

exp(i*p/3)*(1 + B*exp(i*b) - A*exp(i*a)) + A*exp(i*a) - exp(i*p/3)

где exp(i*p/3) — вершина B исходного треугольника.

Начинаем жевать это выражение, сначала группируем по exp(i*p/3)

... = exp(i*p/3)*(B*exp(i*b) - A*exp(i*a)) + A*exp(i*a) = exp(i*p/3)* B*exp(i*b) + A*exp(i*a) * (1 - exp(i*p/3))

Т.к. 1 — exp(i*p/3) = exp(-i*p/3) (просто строим точки на единичном круге), то

... = exp(i*p/3) * B*exp(i*b) + A*exp(i*a) * exp(-i*p/3) = exp(i*p/3) * (B*exp(i*b) + A*exp(i*(a - 2*p/3)))

И что же мы видим? Т.к. углы a и b — произвольные, то это есть сумма двух комплексных чисел, каждое их которых ограничено по модулю. Понятно, что такие суммы могут принимать произвольные значения, и максимум модуля результата в два раза больше максимума модуля исходных чисел. А искомое ГМТ есть круг в два раза бОльшего радиуса вокруг вершины B исходного треугольника.

Итак, максимальная скорость, которая требуется МиГу — 200 м/с.

Когда достигается максимум?
Когда углы b и (a — 2*p/3) равны (ну, с точностью до периодичности). Т.е.

b = a - 2*p/3

т.е. разность между курсами Стелсов должна составлять 120гр.

В каком направлении должен при этом двигаться МиГ? Пусть b = a — 2*p/3, тогда курс МиГа

с = p/3 + a - 2*p/3 = a - p*/3

Короче говоря,

с = (a + b) / 2

что было и так очевидно...

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

H>>P.S. кто найдёт красивое геометрическое решение? (я пока сам не знаю)

Все это можно было сделать и проще, если воспользоваться инвариантом, заданным в условии задача, а именно, что Стелсы и МиГ все время должны находится в вершинах равностороннего треугольника.

Т.е. без потери общности Стелсы и МиГ можно поместить в одну точку (или, просто рассматривать пространоство векторов их скоростей).

С этой точки зрения получаем. Стелсы находятся в точках A*exp(i*a) и B*exp(i*b). Отрезок... Поворачиваем... Смещаем...
В итоге, сразу полчаем выражение

exp(i*p/3)*(B*exp(i*b) - A*exp(i*a)) + A*exp(i*a)

Но жевать мы его не будет. Без потери общности, мы можем считать, что a=0, а A=1 (замена координат).
Т.о, получаем

exp(i*p/3)*(B*exp(i*b) - 1) + 1 = exp(i*p/3)*B*exp(i*b) + (1 - exp(i*p/3)) = exp(i*p/3)*B*exp(i*b) + exp(-i*p/3)

Будем считать, что первый Стелс движется с максимальной скоростью, т.е. B<=1, b-произвольное.
В итоге получаем круг с центром в точке exp(-i*p/3) и радиуса 1.

Получаем примерно такую схему


Первый Стелс находится в точке 1. Второй — где-то в круге с центром 0. Тогда вектор скорости МиГа находится где-то в круге с центром exp(-i*p/3). Если вектор второго Стелса лежит на окружности, то и вектор МиГа лежит на окружности, а проходит курс МиГа равен среднему арифметическому курсов Стелсов.

Вектор скорости МиГа достигает маскимума 2 когда его угол равен 60гр. При этом, разность курсов Стелсов — 120гр.

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

ЗЫ
Все это напоминает задачи преследования и круги Аполония (кажется так они называются)...

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>в параде участвуют 2 истребителя Стеллс и один Миг. Каждый из Стеллсов может развивать скорость до 100 м/с в любом направлении. Изначально все три пташки находятся в вершинах правильного треугольника. Какую скорость должен уметь развивать Миг чтобы при любом движении Стеллсов он смог бы восстановить конфигурацию правильного треугольника?

Ну, предложу и я свое решение

Равносторонний треугольник будет таким в любой систем отсчета. Свяжем систему отсчета 1 с одним из стелсов.
Для того, чтобы две движущиеся точки составляли равносторонний треугольник отн. начала координат, надо чтобы тангенциальные и радиальные составляющие их скоростей отн. начала коор-т были равны. Таким образом, в этой системе отсчета вектор скорости мига (v21) должен быть равен скорости второго стелса (v11), повернутой на 60. Обозначим операцию поворота через R. Тогда

v21 = Rv11

Далее, запишем равенства перехода из системы, связанной с землей в систему, связанную с первым стелсом.
Первый индекс обозначает номер самолета (0 — первый стелс, 1 — второй, 2 — миг). Второй индекс обозначает систему отсчета (если не указан — земля, если 1 — первый стелс).

v11 = v1 — v0
v2 = v21 — v0

Получим

v2 = R(v1 — v0) + v0

Далее, для упрощения картины, положим скорости стелсов одинаковыми и равными 1. Ось х системы, связанной с землей направим по направлению скорости первого стелса.

Тогда

v1=(1,0)
v2=(cos(a), sin(a))

Матрица поворота на 60 имеет вид

|1/2         sqrt(3)/2|
|-sqrt(3)/2  1/2      | 


          cos(a) - 1
v1 - v0 =
          sin(a)

                 | 1        sqrt(3) |   | cos(a) - 1 |         | cos(a) - 1 + sqrt(3) * sin(a)        |
R(v1-v0) = 1/2 * |                  | * |            | = 1/2 * |                                      |
                 | -sqrt(3) 1       |   | sin(a)     |         | -sqrt(3) * cos(a) + sqrt(3) + sin(a) | 


                           |cos(a) - 1 + sqrt(3) * sin(a) + 2    |
v0 = R(v1-v0) + v0 =  1/2 *|                                     |
                           |-sqrt(3) * cos(a) + sqrt(3) + sin(a) | 


4 * |v0|^2 = (cos(a) + 1 + sqrt(3) * sin(a))^2 + (sqrt(3) - sqrt(3) * cos(a) + sin(a))^2 = 

cos(a)^2 + 1 + 3 * sin(a)^2 + 2*cos(a) + 2*cos(a)*sqrt(3)*sin(a) + 2*sqrt(3)*sin(a) + 
3 + 3*cos(a)^2 + sin(a)^2 - 2*3*cos(a) + 2*sqrt(3)*sin(a) - 2*sqrt(3)*cos(a)*sin(a) =

4+4-4*cos(a)+4*sqrt(3)*sin(a),

|v0|^2 = 1-cos(a)+sqrt(3)*sin(a)

найдем максимум через производную

sin(a) + sqrt(3)*cos(a) = 0

tg(a) = -1/sqrt(3)

Два решения:

1. a=pi - pi/6     cos(a)=-sqrt(3)/2, sin(a)=1/2
2. a=-pi/6         cos(a)=sqrt(3)/2, sin(a)=-1/2

Посчитаем значение ф-ии для обоих значений.

1.
|v0|^2 = 1+sqrt(3)/2+sqrt(3)*1/2=1+sqrt(3)

2.
|v0|^2 = 1-sqrt(3)/2-sqrt(3)*1/2=1-sqrt(3)

Максимум дает 1.

|v0| = sqrt(1+sqrt(3)) = 1.653

Значит, максимальная необходимая скорость должна составлять 1.653 скорости стелса, т.е. 165.3 м/с

Можно показать, что в случае, когда скорости стелсов меньше максимальной или стелсы движутся не по прямой, необходимая скорость мига меньше найденной.

Таким образом, максимальная скорость мига должна быть примерно 165.3 м/с

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

H>Короче шаманство, а не решение.
H> вот такие — качественные — решения мне больше всего и нравятся кстати

А как тебе такой вариант:

-----------------* МиГ



---------/\
---------|
---------|
---------* Stealth------* Stealth
------------------------|
------------------------|
------------------------\/

(сволочь, пробелы удаляются) тогда скорость МиГа должна быть бесконечность. Видимо, формулировка была недостаточно качественной

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>>Здравствуйте, Cadet, Вы писали:

H>>Короче шаманство, а не решение.
H>> вот такие — качественные — решения мне больше всего и нравятся кстати

А>А как тебе такой вариант:

А>-----------------* МиГ



А>---------/\
А>---------|
А>---------|
А>---------* Stealth------* Stealth
А>------------------------|
А>------------------------|
А>------------------------\/

А>(сволочь, пробелы удаляются) тогда скорость МиГа должна быть бесконечность. Видимо, формулировка была недостаточно качественной

Во избежании возможных недоразумений — на рисунке вектор скорости совпадает с направлением движения

А>>(сволочь, пробелы удаляются) тогда скорость МиГа должна быть бесконечность. Видимо, формулировка была недостаточно качественной

А>Во избежании возможных недоразумений — на рисунке вектор скорости совпадает с направлением движения

Все равно, скорость не будет бесконечной...

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>(сволочь, пробелы удаляются)
попробуй
[ ccode ]
[ /ccode ]

A> тогда скорость МиГа должна быть бесконечность.
обоснуй

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

RB>Итак, максимальная скорость, которая требуется МиГу — 200 м/с.

RB>Когда достигается максимум?
RB>Когда углы b и (a — 2*p/3) равны (ну, с точностью до периодичности). Т.е.
RB>

RB>b = a - 2*p/3
RB>

RB>т.е. разность между курсами Стелсов должна составлять 120гр.

Я правильно понимаю, что максимум скорости зависит ТОЛЬКО от разности углов между курсами стелсов?
В это м случае, если курсы стелсов направлены по линиям, проходящим из центра через вершины треугльника, необходимая скорость мига должна быть равна скорости стелсов:

A>Ну, предложу и я свое решение
...
A>Таким образом, максимальная скорость мига должна быть примерно 165.3 м/с

Не нашел слова "лопата" в решении...

Здравствуйте, Ahven, Вы писали:

A>Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

RB>>Итак, максимальная скорость, которая требуется МиГу — 200 м/с.

A>Я правильно понимаю, что максимум скорости зависит ТОЛЬКО от разности углов между курсами стелсов?
A>В это м случае, если курсы стелсов направлены по линиям, проходящим из центра через вершины треугльника, необходимая скорость мига должна быть равна скорости стелсов:

То есть, должна быть 100 м/с, а не 200, как у Вас получилось.

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

A>>Ну, предложу и я свое решение
RB>...
A>>Таким образом, максимальная скорость мига должна быть примерно 165.3 м/с

RB>Не нашел слова "лопата" в решении...

Смайлик не тот поставил. Надо было такой

RB>>Когда достигается максимум?
RB>>Когда углы b и (a — 2*p/3) равны (ну, с точностью до периодичности). Т.е.
RB>>

RB>>b = a - 2*p/3
RB>>

RB>>т.е. разность между курсами Стелсов должна составлять 120гр.

A>Я правильно понимаю, что максимум скорости зависит ТОЛЬКО от разности углов между курсами стелсов?
A>В это м случае, если курсы стелсов направлены по линиям, проходящим из центра через вершины треугльника, необходимая скорость мига должна быть равна скорости стелсов:

Здесь a = 210гр. Угол b = -30гр. Поэтому условие на экстремум не выполнен.
A>

Пример смотри здесь

Автор: Cadet
Дата: 18.06.04