Три друга любят играть в кости(с тремя обычными шестисторонними кубиками). Они играют в следующие две игры:

Первая:
Каждый бросает по кубику, и тот у кого выпадает больше выигрывает.

Вторая:
С начала каждый бросает по кубику, и двое из тех у кого больше бросают снова, у кого больше, тот выигрывает.

Однако бывает так, что они выбрасывают одинаковые числа, и тогда приходится перебрасывать.
Один из них предложил поменять на кубиках числа на разные, так чтобы не могло выпасть одинаковое число.

Вопрос: какие числа нужно написать на кубиках так, чтобы игра оставалась честной.

Бонус: решить задачу используя только 13 разных чисел.


П.С. Переведено отсюда

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

C>Три друга любят играть в кости(с тремя обычными шестисторонними кубиками). Они играют в следующие две игры:

C>Первая:
C>Каждый бросает по кубику, и тот у кого выпадает больше выигрывает.

C>Вторая:
C>С начала каждый бросает по кубику, и двое из тех у кого больше бросают снова, у кого больше, тот выигрывает.

C>Однако бывает так, что они выбрасывают одинаковые числа, и тогда приходится перебрасывать.
C>Один из них предложил поменять на кубиках числа на разные, так чтобы не могло выпасть одинаковое число.

C>Вопрос: какие числа нужно написать на кубиках так, чтобы игра оставалась честной.

C>Бонус: решить задачу используя только 13 разных чисел.


C>П.С. Переведено отсюда

Кидаем стандартный шестигранный кубик (один).
1 4 — выигрывает первый
2 5 — выигрывает второй
3 6 — выигрывает третий.
Всё.

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

C>Вопрос: какие числа нужно написать на кубиках так, чтобы игра оставалась честной.
C>Бонус: решить задачу используя только 13 разных чисел.

Пусть первый кубик даёт однозначный выигрыш ("100500") с вероятностью 1/3, и пас соперникам ("0") с вероятностью 2/3.
Второй кубик в случае паса даёт однозначный выигрыш ("100") с вероятностью 1/2, и пас третьему (да хоть тот же "0") с 1/2.
Наконец, третий кубик в случае двух пасов даёт однозначный выигрыш ("1").

Итого, я уложился в 4 разных числа!
Первый — 3 3 0 0 0 0
Второй — 2 2 2 0 0 0
Третий — 1 1 1 1 1 1

Если числа на гранях должны быть все разные, то добавим младший разряд:
31 32 01 02 03 04
21 22 23 01 02 03
11 12 13 14 15 16
Эх, 15 разных чисел.

Здравствуйте, Кодт,

К>Итого, я уложился в 4 разных числа!
К>Первый — 3 3 0 0 0 0
К>Второй — 2 2 2 0 0 0
К>Третий — 1 1 1 1 1 1

Если во второй игре в первом раунде выпадет: 0, 0 и 1, то мы вернёмся к проблеме которую изначально решали...

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

C>Если во второй игре в первом раунде выпадет: 0, 0 и 1, то мы вернёмся к проблеме которую изначально решали...

Я не понял с первого раза правила второй игры.
Окей, пусть будут
а) 0 0 0 0 4 4
б) 1 1 1 3 3 3
в) 2 2 2 2 2 2
В этом случае коллизий точно не будет. Но поплывут вероятности.
"а" выходит в финал — 1/3, "а" побеждает в финале — 1/3, итого 1/9
Поэтому такая схема не подойдёт.

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

C>Вопрос: какие числа нужно написать на кубиках так, чтобы игра оставалась честной.
Пишем перебор, легко получаем ответ для 14 чисел (таких ответов много):
[3, 3, 6, 11, 15, 15]
[1, 5, 8, 8, 13, 17]
[0, 4, 10, 10, 12, 16]

C>Бонус: решить задачу используя только 13 разных чисел.
Приняв "в первой фазе второй игры каждый вылетает с вероятностью 1/3" получаем, что решений нет.
Но видимо можно вылетать (выкидывать мин число) с другой вероятностью и компенсировать это вероятностью выиграть во второй фазе.
В общем, думать надо.

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

C>Вопрос: какие числа нужно написать на кубиках так, чтобы игра оставалась честной.
C>Бонус: решить задачу используя только 13 разных чисел.

Решение с 10 числами:
{5, 5, 5, 8, 16, 16}
{2, 2, 9, 14, 14, 14}
{0, 7, 7, 11, 11, 17}}

Proof:

    public static void main(String[] args) {
        int[][] a = new int[][] {{5, 5, 5, 8, 16, 16}, {2, 2, 9, 14, 14, 14}, {0, 7, 7, 11, 11, 17}};

        int m0=0,m1=0,m2=0;
        for (int a0=0; a0<6; a0++)
            for (int a1=0; a1<6; a1++)
                for (int a2=0; a2<6; a2++) {
                    if (a[0][a0] > Math.max(a[1][a1], a[2][a2])) m0++;
                    if (a[1][a1] > Math.max(a[0][a0], a[2][a2])) m1++;
                    if (a[2][a2] > Math.max(a[1][a1], a[0][a0])) m2++;
                }
        System.out.println(m0 + " " + m1 + " " + m2);

        m0=0;m1=0;m2=0;
        for (int a0=0; a0<6; a0++)
            for (int a1=0; a1<6; a1++)
                for (int a2=0; a2<6; a2++) {
                    if (a[0][a0] < Math.min(a[1][a1], a[2][a2])) {
                        for (int b1=0; b1<6; b1++)
                            for (int b2=0; b2<6; b2++) {
                                if (a[1][b1]>a[2][b2]) m1++;
                                else m2++;
                            }
                    }
                    if (a[1][a1] < Math.min(a[0][a0], a[2][a2])) {
                        for (int b0=0; b0<6; b0++)
                            for (int b2=0; b2<6; b2++) {
                                if (a[0][b0]>a[2][b2]) m0++;
                                else m2++;
                            }
                    }
                    if (a[2][a2] < Math.min(a[1][a1], a[0][a0])) {
                        for (int b0=0; b0<6; b0++)
                            for (int b1=0; b1<6; b1++) {
                                if (a[0][b0]>a[1][b1]) m0++;
                                else m1++;
                            }
                    }
                }
        System.out.println(m0 + " " + m1 + " " + m2);
    }

Вывод:

72 72 72
2592 2592 2592

Забавно, что такими кубиками честно играть только втроем. Вдвоем уже не получится.

Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:

T>Забавно, что такими кубиками честно играть только втроем. Вдвоем уже не получится.

Во втором раунде второй игры, как раз и идёт игра вдвоём...

Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:

T>Пишем перебор, легко получаем ответ для 14 чисел (таких ответов много):

Такой ответ один:

1 4 8 8 10 13
2 5 7 7 11 14
3 3 6 9 12 12

все остальные лишь вариации на тему...

T>[3, 3, 6, 11, 15, 15]
T>[1, 5, 8, 8, 13, 17]
T>[0, 4, 10, 10, 12, 16]

Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:

T>Решение с 10 числами:
T>{5, 5, 5, 8, 16, 16}
T>{2, 2, 9, 14, 14, 14}
T>{0, 7, 7, 11, 11, 17}}


T>Забавно, что такими кубиками честно играть только втроем. Вдвоем уже не получится.

Зачем же так сложно? На троих можно просто вот так:

1 1 3 3 6 6
2 2 2 5 5 5
4 4 4 4 4 4

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

T>>Забавно, что такими кубиками честно играть только втроем. Вдвоем уже не получится.

C> Во втором раунде второй игры, как раз и идёт игра вдвоём...

Вдвоем, но у игроков разные шансы выйти во второй раунд. И это компенсируется разными шансами выиграть.

Здравствуйте, Caracrist, Вы писали:

C>Зачем же так сложно? На троих можно просто вот так:

C>1 1 3 3 6 6
C>2 2 2 5 5 5
C>4 4 4 4 4 4

Подставляем в proof:
72 72 72
1512 2592 3672

т.е. третий игрок выигрывает в 2 раза чаще первого

Здравствуйте, Tan4ik, Вы писали:
Вот полная перечень вариантов:

3 players only:
Unique numbers 16 to 18

1 5 9 12 14 16
2 6 7 10 15 17
3 4 8 11 13 18
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 16 to 18

1 5 9 12 14 16
2 6 7 11 13 18
3 4 8 10 15 17
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 14 to 18

1 5 10 11 13 17
2 6 8 9 14 18
3 4 7 12 15 16
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 15 to 18

1 6 8 11 14 17
2 5 7 12 15 16
3 4 9 10 13 18
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 15 to 18

1 6 8 11 14 17
2 5 9 10 13 18
3 4 7 12 15 16
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 16 to 18

1 6 8 11 15 16
2 4 9 12 13 17
3 5 7 10 14 18
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 15 to 18

1 6 8 11 15 16
2 5 7 12 14 17
3 4 9 10 13 18
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 15 to 18

1 6 8 11 15 16
2 5 9 10 13 18
3 4 7 12 14 17
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 16 to 18

1 6 8 12 13 17
2 4 9 11 15 16
3 5 7 10 14 18
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 11 to 18

1 6 9 10 13 18
2 3 11 12 14 15
4 5 7 8 16 17
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 15 to 18

1 6 9 10 14 17
2 5 7 12 15 16
3 4 8 11 13 18
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 15 to 18

1 6 9 10 14 17
2 5 8 11 13 18
3 4 7 12 15 16
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 15 to 18

1 6 9 10 15 16
2 5 7 12 14 17
3 4 8 11 13 18
---------------------------
3 or 2 players:
Unique numbers 15 to 18

1 6 9 10 15 16
2 5 8 11 13 18
3 4 7 12 14 17
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 11 to 18

1 6 9 11 12 18
2 3 10 13 14 15
4 5 7 8 16 17
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 11 to 18

1 7 8 10 13 18
2 3 11 12 14 15
4 5 6 9 16 17
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 10 to 18

1 7 8 11 12 18
2 3 10 13 14 15
4 5 6 9 16 17
---------------------------
3 players only:
Unique numbers 15 to 18

1 7 9 10 12 18
2 4 8 13 14 16
3 5 6 11 15 17
---------------------------
Press any key to continue . . .