Есть последовательность из N нормально распределенных величин. Каково матожидание максимума/минимума этой последовательности?

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Есть последовательность из N нормально распределенных величин. Каково матожидание максимума/минимума этой последовательности?

Одинаково нормально распределённых?

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Есть последовательность из N нормально распределенных величин. Каково матожидание максимума/минимума этой последовательности?

Если семплы i.i.d. из N(m,sigma), то:

Вероятность того, что максимум равен a есть сумма произведений
P(max=a) = sum(i=1..N){(P(x_i = a)П(j<>i){P(x_j < a)}}

здесь j<>i — j не равно i

Каждое произведение — вероятность того, что i-ый семпл равен а, а все остальные семплы меньше.
(P(x_i = a)П(j<>i){P(x_j < a)}

Т.к семплы независимы, то

P(max = a) = N*{(P(x_i = a)П(j<>i){P(x_j < a)}} = N *(P(x_i = a)*P(x_j < a)^(N-1)

P(x_i = a) = 1/sqrt(2*pi)*exp(-(a — m)^2/2/sigma^2)
P(x_j < a) = 1/2(1+erf((a-m)/sqrt(2)/sigma))

Для м.о. нужно посчитать интеграл

m = int{a*P(max = a)da} в бесконечных пределах

Писал из головы, мог и накосячить.

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>P(x_i = a) = 1/sqrt(2*pi)*exp(-(a — m)^2/2/sigma^2)

Вероятность попадания в конкретную точку будет равна 0.
Для любого числа A выполняется P(x_i = A) = 0

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Есть последовательность из N нормально распределенных величин. Каково матожидание максимума/минимума этой последовательности?

Пусть, F(x) — функция распределения наших величин.
F(x) = P(s < x), где s — наша случайная величина.

Попробуем посчитать функцию распределения максимума N нормально распределённых величин. Обозначим её за F_MAX(x)
Какова будет вероятность того, что максимум из N величин будет меньше, чем X? Для этого все N величин должны быть меньше, чем X.
То есть, F_MAX(x) = P(s1 < x) * P(s2 < x) * ... * P(sN < x) = F(x) ^ N
Тут мы считаем, что наши случайные величины независимы.

Как теперь посчитать матожидание.
Оно будет равно интегралу (x * f_max(x) dx), интеграл считаем от минус бесконечности до плюс бесконечности.
f_max(x) здесь — функция плотности, которая равна производной от F_MAX(x).
f_max(x) = F_MAX'(x) = N * F(x)^(N-1) * F'(x) = N * F(x)^(N-1) * f(x), где f(x) — функция плотности нормального распределения.

Получаем в ответе интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности от следующей функции:
x * N * F(x)^(N-1) * f(x) dx

Как его посчитать, я не знаю.

Здравствуйте, Eugene Sh, Вы писали:

ES>Получаем в ответе интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности от следующей функции:
ES>x * N * F(x)^(N-1) * f(x) dx

ES>Как его посчитать, я не знаю.

Экспоненциальную функцию особенно просто возводить в степень, а N выносится за интеграл.

Здравствуйте, Eugene Sh, Вы писали:

ES>Вероятность попадания в конкретную точку будет равна 0.
ES>Для любого числа A выполняется P(x_i = A) = 0

Не равна в кусочек da, который было лень по всем формулам таскать. Окончательный результат от этого не меняется.

Здравствуйте, Don Reba, Вы писали:

ES>>Получаем в ответе интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности от следующей функции:
ES>>x * N * F(x)^(N-1) * f(x) dx

DR>Экспоненциальную функцию особенно просто возводить в степень, а N выносится за интеграл.

Не очень понятно.
Ответ-то какой?

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Есть последовательность из N нормально распределенных величин. Каково матожидание максимума/минимума этой последовательности?

Пусть Mu_k — искомое матожидание.
Mu, sigma — параметры распределения случайных величин, образующих последовательность.

1) Из соображений сдвиговой симметрии:
Mu_k(Mu, sigma) = Mu*k + Mu_k( 0, sigma)
2) Из соображений размерности:
Mu_k(0, sigma) = sigma * Mu_k( 0, 1 )

Таким образом, не нарушая общности, можно полагать что исходные случайные числа распределены с Mu=0, sigma=1.

Для вычисления Mu_k, можно использовать формулу Eugene Sh-а

	Mu_k
	k Mu_k 1 0 2 0.564189584 3 0.846284375 4 1.029375373 5 1.162964474 6 1.267206361 7 1.352178376 8 1.423600306 9 1.485013162 10 1.538752731 11 1.586436352 12 1.62922764 13 1.667990177 14 1.703381554 15 1.735913445 16 1.765991393 17 1.793941981 18 1.820031879 19 1.844481512 20 1.86747506 21 1.889167915 22 1.909692322 23 1.929161712 24 1.947674074 25 1.96531461 26 1.98215784 27 1.998269302 28 2.013706924 29 2.028522146 30 2.042760844 31 2.056464098 32 2.069668828 33 2.082408336 34 2.094712756 35 2.10660944 36 2.118123287 37 2.129277025 38 2.140091455 39 2.150585658 40 2.160777178 41 2.170682185 42 2.180315608 43 2.18969126 44 2.198821949 45 2.207719564 46 2.216395168 47 2.224859068 48 2.233120881 49 2.241189597 50 2.249073629 51 2.256780863 52 2.264318696 53 2.271694083 54 2.278913565 55 2.285983301 56 2.292909101 57 2.299696448 58 2.306350524 59 2.312876231 60 2.319278207 61 2.325560852 62 2.331728336 63 2.337784619 64 2.343733465 65 2.349578452 66 2.355322986 67 2.36097031 68 2.366523516 69 2.371985554 70 2.377359239 71 2.382647259 72 2.387852186 73 2.392976476 74 2.398022483 75 2.40299246 76 2.407888565 77 2.412712867 78 2.417467352 79 2.422153926 80 2.426774418 81 2.431330587 82 2.435824122 83 2.440256649 84 2.444629732 85 2.448944876 86 2.453203532 87 2.457407097 88 2.461556917 89 2.465654293 90 2.469700477 91 2.473696678 92 2.477644065 93 2.481543766 94 2.48539687 95 2.489204432 96 2.49296747 97 2.496686971 98 2.500363889 99 2.503999146

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

Плотность под интегралом забыл (ну или в формуле не написал)

Здравствуйте, andyp, Вы писали:

A>Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

A>Плотность под интегралом забыл (ну или в формуле не написал)

Я интегрирую по функции распределения. d F(x)
Если её продифференцировать, получим P(x) d x.

Здравствуйте, Chorkov, Вы писали:

C>Я интегрирую по функции распределения. d F(x)
C>Если её продифференцировать, получим P(x) d x.

Ну да, извини, вчера ночью тупанул.