Найти целые a, b, c для которых (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) = 2.
Ребёнок подкинул задачку, я помучался, посмотрел, что есть граничные условия и всё остальное можно перебрать. Но наверняка есть интереснее решение, кто знает как такие задачи решать?
Здравствуйте, Mishka, Вы писали:
M>Найти целые a, b, c для которых (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) = 2.
M>Ребёнок подкинул задачку, я помучался, посмотрел, что есть граничные условия и всё остальное можно перебрать. Но наверняка есть интереснее решение, кто знает как такие задачи решать?
Можно, например, сначала преобразовать:
(a+1)/a * (b+1)/b * (c+1)/c = 2
Отсюда можно, для начала, попробовать вариант когда всё попарно сокращается — такой вариант только один, когда два сокращения один-к-одному, и одно один-к-двум. То есть имеем систему:
a + 1 = b
b + 1 = c
c + 1 = 2a
Система легко решается и даёт целые значения для a, b и c. Если бы целых решений не было бы, пришлось бы думать дальше.
мой любимый метод решения подобных задач — брутфорсом решения найти, нарисовать трехмерный график и понять что там за ф-ии скрываются за a, b, c
но, конечно, на олимпиаде такое не выкинешь
Здравствуйте, Mishka, Вы писали:
M>Найти целые a, b, c для которых (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) = 2. M>Ребёнок подкинул задачку, я помучался, посмотрел, что есть граничные условия и всё остальное можно перебрать. Но наверняка есть интереснее решение, кто знает как такие задачи решать?
А там точно не было доп. ограничений? А то, к примеру, если зафиксировать любой из параметров в 1, то получается бесконечно много решений.
Здравствуйте, andy1618, Вы писали:
A>Здравствуйте, Mishka, Вы писали:
M>>Найти целые a, b, c для которых (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) = 2
A>А там точно не было доп. ограничений? А то, к примеру, если зафиксировать любой из параметров в 1, то получается бесконечно много решений.
Разве?
Фиксируем a = 1, получаем 2*(1+1/b)*(1+1/c) = 2
(1+1/b)*(1+1/c) = 1 — Для целых b и c решений нет.
Здравствуйте, Mishka, Вы писали:
M>Найти целые a, b, c для которых (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) = 2. M>Ребёнок подкинул задачку, я помучался, посмотрел, что есть граничные условия и всё остальное можно перебрать. Но наверняка есть интереснее решение, кто знает как такие задачи решать?
Сначала ответ: есть 3 серии решений, первую из которых уже нашли:
a=1, b+c+1=0
a=2, (b-3)*(c-3)=12
a=3, (b-2)*(c-2)=6
и все их перестановки. Первая серия бесконечная, две другие — конечные.
Доказательство, что других нет: после приведения к общему знаменателю и перегруппировки исходного уравнения получаем (a-1)*(b-1)*(c-1)=2*(a+b+c), a,b,c!=0.
Пусть abs(a-1) <= abs(b-1) <= abs(c-1). Докажем, что abs(a-1) <= 2. Пусть противное: 3 <= abs(a-1) <= abs(b-1) <= abs(c-1). Тогда 9*abs(c-1) <= abs((a-1)*(b-1)*(c-1)) = 2 * abs(a+b+c) <= 6 * abs(c-1) + 6, откуда 3*abs(c-1) <= 6, что противоречит предположению.
Таким образом, при указанном упорядочении, a=-1, a=0, a=1, a=2, или a=3. При a=-1 исходное уравнение сводится к b*c=0, что не попадает в ОДЗ. a=0 само не попадает в ОДЗ. При остальных трёх значениях a уравнение приводится к трём вышеуказанным видам.
А где дают такие суровые задачки? Прямо как с brilliant.org.
Здравствуйте, Mishka, Вы писали:
M>Найти целые a, b, c для которых (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) = 2.
Более простое решение с той же идеей: число (1+1/x) при целом x != -1, 0, 1, 2, 3 будет положительным не превосходящим 5/4, значит произведение трёх таких чисел будет не более 125/64 < 2. Поэтому хотя бы одно из искомых a,b,c должно быть равно 1, 2 или 3, после подстановки указанного a получаем уравнение на b и c, которое приводится к виду произведение целых равно целому, после чего решается перебором всех целых множителей правой части. Не забываем про ОДЗ и про перестановки.
C>Доказательство, что других нет: после приведения к общему знаменателю и перегруппировки исходного уравнения получаем (a-1)*(b-1)*(c-1)=2*(a+b+c), a,b,c!=0.
Как то странно получилась сгруппировать. Скобки же умножаются, разве не (1 + a)*(1 + b)*(1 + c) = 2*a*b*c ?
C>А где дают такие суровые задачки? Прямо как с brilliant.org.
Спасибо за сайт.
