В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
x
|
| A
| *
|
|
|
| B
| *
|_____________________________
y
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>
HN> x
HN> |
HN> | A
HN> | *
HN> |
HN> |
HN> |
HN> | B
HN> | *
HN> |_____________________________
HN> y
HN>
По брахистохроне. щас не вспомню как мы это на методах оптимизации решали, но в поисках решения по инету может помочь
Здравствуйте, lightSource, Вы писали:
S>По брахистохроне. щас не вспомню как мы это на методах оптимизации решали, но в поисках решения по инету может помочь
Забыл сказать. Если вдруг кто найдет решение в инете, подождите немного... Пусть народ помучается. Дело в том, что задача очень известная
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>Здравствуйте, lightSource, Вы писали:
S>>По брахистохроне. щас не вспомню как мы это на методах оптимизации решали, но в поисках решения по инету может помочь
HN>Забыл сказать. Если вдруг кто найдет решение в инете, подождите немного... Пусть народ помучается. Дело в том, что задача очень известная
Непонятно, какое отношение она имеет к теме форума. Это задача по вариационному исчислению, а не по программированию.
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>
HN> x
HN> |
HN> | A
HN> | *
HN> |
HN> |
HN> |
HN> | B
HN> | *
HN> |_____________________________
HN> y
HN>
Решение задачки описано в математическом справочнике Выгодского.
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>
HN> x
HN> |
HN> | A
HN> | *
HN> |
HN> |
HN> |
HN> | B
HN> | *
HN> |_____________________________
HN> y
HN>
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
Помню на физике в классе 10м решали... Что получилось — не помню. А в чем проблема? Записываем уравнение t(alpha) и находим минимум.
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>
HN> x
HN> |
HN> | A
HN> | *
HN> |
HN> |
HN> |
HN> | B
HN> | *
HN> |_____________________________
HN> y
HN>
Ставим пушку в точке A и посылаем материальную точку почти по прямой.
Если мы "кидаем" точку и считаем гравитационное поле однородным, то она (точка) полетит по параболе. Если же точка обладает "двигателем" то это уже другая задача. Уточните условие.
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
По параболе
Собственно варианта два по навесной и наоброт ( как же это называется? ). По навесной лететь очевидно дольше.
Здравствуйте, adontz, Вы писали:
A>Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
A>Если мы "кидаем" точку и считаем гравитационное поле однородным, то она (точка) полетит по параболе. Если же точка обладает "двигателем" то это уже другая задача. Уточните условие.
Насколько я понял условие, точку мы НЕ кидаем и у нее НЕТ никакого двигателя. Точка движется только под действием силы тяжести. Однако точка не просто падает в пространстве, а обязана двигаться по определенной траектории. Например, как бусина на изогнутой проволке (без трения, конечно). Т.о., требуется задать такую траекторию движения, чтобы точка достигла пункта В за минимальное время.
Serge.
Hасколько проще была бы жизнь, если бы она была в исходниках.
Здравствуйте, Sergeem, Вы писали:
S>Здравствуйте, adontz, Вы писали:
A>>Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
A>>Если мы "кидаем" точку и считаем гравитационное поле однородным, то она (точка) полетит по параболе. Если же точка обладает "двигателем" то это уже другая задача. Уточните условие.
S>Насколько я понял условие, точку мы НЕ кидаем и у нее НЕТ никакого двигателя. Точка движется только под действием силы тяжести. Однако точка не просто падает в пространстве, а обязана двигаться по определенной траектории. Например, как бусина на изогнутой проволке (без трения, конечно). Т.о., требуется задать такую траекторию движения, чтобы точка достигла пункта В за минимальное время.
А чего ее задавать? Ведь тело двигается по параболе. Чем больше горизонтальная скорость, тем положе парабола. При бесконечной скорости — прямая. Задача сводится к расчету нужного угла, в зависимости от скорости. Но это уже не задача, как за минимальное время попасть, а как расчитать траекторию, чтобы при заданной начальной скорости попасть в точку B.
Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>А чего ее задавать? Ведь тело двигается по параболе. Чем больше горизонтальная скорость, тем положе парабола. При бесконечной скорости — прямая. Задача сводится к расчету нужного угла, в зависимости от скорости. Но это уже не задача, как за минимальное время попасть, а как расчитать траекторию, чтобы при заданной начальной скорости попасть в точку B.
Представь бусинку на горизонтальной проволке. Нагнешь проволку — и бусинка побежит вниз.
Теперь ты можешь изогнуть проволку как угодно, и бусинка, двигаясь под действием силы тяжести, будет повторять все изгибы. Понятно,что таким образом можно задать любую кривую, а не только параболу.
Serge.
Hасколько проще была бы жизнь, если бы она была в исходниках.
Здравствуйте, Sergeem, Вы писали:
S>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>>А чего ее задавать? Ведь тело двигается по параболе. Чем больше горизонтальная скорость, тем положе парабола. При бесконечной скорости — прямая. Задача сводится к расчету нужного угла, в зависимости от скорости. Но это уже не задача, как за минимальное время попасть, а как расчитать траекторию, чтобы при заданной начальной скорости попасть в точку B.
S>Представь бусинку на горизонтальной проволке. Нагнешь проволку — и бусинка побежит вниз. S>Теперь ты можешь изогнуть проволку как угодно, и бусинка, двигаясь под действием силы тяжести, будет повторять все изгибы. Понятно,что таким образом можно задать любую кривую, а не только параболу.
Так бы и сказал, что надо по проволоке (кстати, трение есть?).
Здравствуйте, adontz, Вы писали:
A>Если мы "кидаем" точку и считаем гравитационное поле однородным, то она (точка) полетит по параболе. Если же точка обладает "двигателем" то это уже другая задача. Уточните условие.
Ни двигателя, ни свободного падения.
Представь, что ты для этой точки проектируеши желоб без трения, по которому она должна попасть из A в B.
Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:
Ш>Непонятно, какое отношение она имеет к теме форума. Это задача по вариационному исчислению, а не по программированию.
Форум называется "Этюды для программистов". Это абсолютно не означает, что задачки должны быть по программированию . Задачки должны быть для программистов. Тем более, что задача достаточно интересная.
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
К сожалению уже не помню всяких умных формул про ускорения. Но поразмыслив можно заметить, что вопрос в выборе компромиса между скоростью, которая тем больше чем дольше и вертикальней точка будет падать и расстоянием которое ей нужно пройти до точки B, которое тем меньше, чем ближе к отрезку соединяющему эти точки. Я бы предложил спуститься по окружности радиуса (высота А — высота В) и далее по прямой. У меня это почему-то ассоциируется с уголом 45 градусов, который очень компромиссный в плане синусов-косинусов
Чисто интуитивно, совершенно антинаучно
"Keyboard error or no keyboard present. Press F1 to continue, Del to enter setup" (C)
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
A>>Если мы "кидаем" точку и считаем гравитационное поле однородным, то она (точка) полетит по параболе. Если же точка обладает "двигателем" то это уже другая задача. Уточните условие.
HN>Ни двигателя, ни свободного падения. HN>Представь, что ты для этой точки проектируеши желоб без трения, по которому она должна попасть из A в B.
Кстати про жёлоб.
Ещё Фейнман заругался на учебник физики, в котором демонстрировался закон ускорения предмета силой тяжести.
Шарик скатывают по наклонной плоскости — т.е. на него действуют сила тяжести (вниз) и реакция опоры (вбок-вверх). Сумма сил, а следовательно, и ускорений, постоянна и зависит только от наклона доски (трение качения не учитываем).
Однако не всё так просто. Дело в том, что потенциальная энергия шарика переходит в кинетическую двух видов: скорости и вращения.
m*g*d = m*v^2 + n*w^2,
где d — "глубина" опускания шарика с начальной отметки, n — момент инерции, w — угловая скорость.
w = v/r, то есть можно записать
m*g*d = (m + n/r^2)*v^2
Как мы видим, массу сократить нельзя.
Перекуём баги на фичи!
Re[4]: Задача Бернулли
От:
Аноним
Дата:
26.03.04 09:48
Оценка:
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>m*g*d = (m + n/r^2)*v^2 К>Как мы видим, массу сократить нельзя.
Зато можно загнать всё в левую часть и обозвать "эффективным g".
То есть картина движения не изменится, только мы будем на чуть меньшей планете
Кстати сама масса таки сократится (по размерности просто —
эффективное ускорение будет зависить только от её распределения.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
К>>m*g*d = (m + n/r^2)*v^2 К>>Как мы видим, массу сократить нельзя.
А>Зато можно загнать всё в левую часть и обозвать "эффективным g". А>То есть картина движения не изменится, только мы будем на чуть меньшей планете А>Кстати сама масса таки сократится (по размерности просто — А>эффективное ускорение будет зависить только от её распределения.
Поэтому полый и полный шарики одинаковой массы и размера скатятся за разное время.
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>
HN> x
HN> |
HN> | A
HN> | *
HN> |
HN> |
HN> |
HN> | B
HN> | *
HN> |_____________________________
HN> y
HN>
Оптимальная траектория имеет форму "цепной кривой", если не ошибаюсь в названии. Такую форму приобретает, например, металлическая цепочка, подвешеная к двум точкам, отсюда и произошло её название.
Небольшой парадокс в этой задаче заключается в том, что минимум оптимальной траектории находится ниже точки В. Задача эта известная и упоминалась то ли у Перельмана, то ли у Гарднера. Скорее у первого.
M>Оптимальная траектория имеет форму "цепной кривой", если не ошибаюсь в названии. Такую форму приобретает, например, металлическая цепочка, подвешеная к двум точкам, отсюда и произошло её название. M>Небольшой парадокс в этой задаче заключается в том, что минимум оптимальной траектории находится ниже точки В. Задача эта известная и упоминалась то ли у Перельмана, то ли у Гарднера. Скорее у первого.
А как определить длину цепочки? Разные длины — разные траектории
"Keyboard error or no keyboard present. Press F1 to continue, Del to enter setup" (C)
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
Vobshe-to ato zadachka po fizike, no raz uj zadali to horosho.
otvet takov: tochka doljna dvigazza po duge okrujnosti radius kotoroy raven rastoyaniyu mejdu tochkami . Good Luck
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
К>>>m*g*d = (m + n/r^2)*v^2 К>>>Как мы видим, массу сократить нельзя.
А>>Зато можно загнать всё в левую часть и обозвать "эффективным g". А>>То есть картина движения не изменится, только мы будем на чуть меньшей планете А>>Кстати сама масса таки сократится (по размерности просто — А>>эффективное ускорение будет зависить только от её распределения.
К>Поэтому полый и полный шарики одинаковой массы и размера скатятся за разное время.
На самом деле, кинетическая энергия всё равно будет пропорциональна квадрату скорости. В подобных случаях просто вводят понятие эффективной массы.
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>>
HN>> x
HN>> |
HN>> | A
HN>> | *
HN>> |
HN>> |
HN>> |
HN>> | B
HN>> | *
HN>> |_____________________________
HN>> y
HN>>
M>Оптимальная траектория имеет форму "цепной кривой", если не ошибаюсь в названии. Такую форму приобретает, например, металлическая цепочка, подвешеная к двум точкам, отсюда и произошло её название.
Ответ неверен.
M>Небольшой парадокс в этой задаче заключается в том, что минимум оптимальной траектории находится ниже точки В. Задача эта известная и упоминалась то ли у Перельмана, то ли у Гарднера. Скорее у первого.
И это тоже не верно в общем случае. Провис наступает при dx>(pi/2)*dy. Кстати, график нарисован криво -- почему это ось y пошла горизонтально ???
Здравствуйте, HeaveN, Вы писали:
HN>В вертикальной плоскости под действием силы тяжести материальная точка должна попасть из точки A в точку B. По какой траектории должна двигаться точка, чтобы попасть в точку B за кратчайшее время?
HN>
HN> x
HN> |
HN> | A
HN> | *
HN> |
HN> |
HN> |
HN> | B
HN> | *
HN> |_____________________________
HN> y
HN>
Кривая — циклоида,
Математическая постановка сводится к нахождению функции достовляющей интегралу минимальное значение
интеграл( ((1+(y'(x))^2)^(1/2))/(2*g*(y0-y(x)))^(1/2) )dx от x0 до x1
при y(x0)=y0, y(x1)=y1
ну и условия на непрерывность... диффиренцируемость и т.д...
решение:
x = (C1/2)*(t-sin(t)) + C2
y = y0 — (C1/2)(1-cos(t))
Перекуём баги на фичи!
