Здравствуйте, Nuseraro, Вы писали:

N>Есть несколько государств. Есть набор критериев оценки.
N>Для каждого из государств и каждого критерия высчитывается значение этой оценки.

N>Рассмотрим государство Альфия. В нем планируется составить рейтинг государств. Рейтинг планируется организовать по принципу средневзвешенной оценки, т.е.
N>Рейтинг(государство) = вес1 * Критерий1ДляЭтогоГосударства + ... + весi * КритерийiДляЭтогоГосударства
N>Еще до начала этой задачи, критерии были подобраны таким образом, что для Альфии нет абсолютно доминирующего государства, т.е. любое государство хотя бы по одному признаку хуже Альфии. (потому что государство, лучшее по всем критериям, всегда окажется выше Альфии в рейтинге любой средневзвешенной оценке)

N>Вопрос: всегда ли в таком случае найдется такой набор весов, чтобы Альфия оказалось первой? Если да, то почему, если нет, то каковы необходимые и достаточные условия существования таких весов?

Не всегда. Есть 3 государства A, B и C, с оценками (a1, a2), (b1, b2) и (c1, c2) соответственно, причем a1 < b1; a2 > b2 и a1 > c1; a2 < c2. Первый коэффициент wlog можно принять за 1. Чтобы A оказалось первым, требуется подобрать k так, чтобы

a1 + k*a2 > b1 + k*b2
a1 + k*a2 > c1 + k*c2

т.е

(a1-c1)/(c2-a2) > k > (b1-a1)/(a2-b2)

что возможно только если (a1-c1)/(c2-a2) > (b1-a1)/(a2-b2).