В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
Если допустить, что у нас цилиндрическое ведро, охлаждение идет только за счет испарения, тогда:
1) количество теплоты, которое надо потерять — одинакого в обоих случаях
2) количество теплоты, теряемое жидкостью в единицу времени, пропорционально разности температур. В первом случае разнать больше, стало быть жидкость охлаждается быстрее. Значит температуры сравняются.
Как только их температуры сравняются — получится, что через одну и туже площадь нало охрадить 1 литр или 6 литров — ясно, что 1 литр охладится быстрее
Здравствуйте, Real 3L0, Вы писали:
R3>Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
R3>Аналог: http://rsdn.ru/forum/etude/1516416.aspx
Там все таки не совсем полный аналог, так как объемы полагаются одинаковыми.
В данном случае ( если пренебречь, что по идее процесс остывания в теории бесконечен, и считать, что вода достигла комнатной температуры, если разница есть маленькая дельта ), быстрее должна охладиться емкость с одним литром горячей.
В самом деле, для охлаждения до одной температуры, и в первом и во втором случае надо отдать одинаковое коичество теплоты ( той что имеет литр воды нагретый до 90 градусов ). При этом отдача теплоты идет с поверхности емкости, а теплота "размазана" по всему объему. Так как у нас поверхность растет как квадрат, а объем как куб, то соотношение площади к объему будет выше для одного литра воды, чем для шести. Следовательно данная конструкция будет быстрее отдавать тепло.
Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
Смелый ответ: в обоих вёдрах температура никогда не охладится до комнатной температуры
Закон охлаждения — обратно-экспоненциальный.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
К>Смелый ответ: в обоих вёдрах температура никогда не охладится до комнатной температуры К>Закон охлаждения — обратно-экспоненциальный.
Наверное имелось в виду, что в какой-то момент эти две экспоненты пересекутся и вода в cосуде с большем количеством воды станет теплее чем в другом сосуде. Хотя до комнатной температуры они оба будут охлаждаться бесконечное кол-во времени.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Смелый ответ: в обоих вёдрах температура никогда не охладится до комнатной температуры К>Закон охлаждения — обратно-экспоненциальный.
А то, что вода во второе ведро будет доливаться тоже бесконечно долго ты учел?
Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
Если посчитать, что "комнатная температура" — это 20 градусов [учитывая нынешнюю жару, это недостижимая мечта ],
то можно сразу найти начальную температуру второго ведра T2:
1 литр * (90 — T2) * = 5 литров * (T2 — 20) // Множитель удельной теплоёмкости опущен
Решая уравнение, получаем: T2 = 31,7 градуса.
Т.е. задача сводится к следующей:
в одном ведре — 1 литр при 90 градусах
во втором — 6 литров при 31,7 градусах
Ну а далее всё упирается в то, что постановка задачи некорректная:
строго говоря, температура никогда не достигнет 20 градусов, т.к. независимо от характера теплообмена
(испарение, теплопроводность, излучение, конвекция окружающего воздуха, ...) график в первом приближении
будет иметь вид экспоненты, бесконечно стремящейся к 20 градусам.
Пожалуй, хорошим вопросом в данном случае был бы следующий:
сравняются ли когда-либо температуры в этих вёдрах? (т.е. пересекутся ли графики температур?)
[ИМХО ответ будет неоднозначным и зависеть от условий, в которых находятся вёдра]
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Если допустить, что у нас цилиндрическое ведро, охлаждение идет только за счет испарения, тогда:
Тогда ещё и потеря массы будет пропорциональна температуре. То есть, твои рассуждения даже усугубляются!
А если добавить охлаждение за счёт излучения (или какого-нибудь ещё отвода) через боковые стенки, то закон куб-квадрат тоже говорит в пользу литра горячей воды.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
К>Смелый ответ: в обоих вёдрах температура никогда не охладится до комнатной температуры К>Закон охлаждения — обратно-экспоненциальный.
А вот и нет, за счет испарения воды могут охладиться ниже комнатной температуры. (Температура мокрого термометра)
Так что надо ввести еще влажность воздуха.
Если влажность высокая, быстрее до комнатной охладится горячий литр, если низкая, то возможно что и теплые 6 литров.
А вообще еще много трудно-вычислимых параметров, механизм теплопередачи, влияние конвекции, форма и материал ведра...
Здравствуйте, Demotivated, Вы писали:
D>Если влажность высокая, быстрее до комнатной охладится горячий литр, если низкая, то возможно что и теплые 6 литров.
Хотя вру, в любом случае первое остынет быстрее, независимо от влажности, т.к. отдать надо одинаковое кол-во тепла, а с горячего теплоотдача быстрее идет.
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Если допустить, что у нас цилиндрическое ведро, охлаждение идет только за счет испарения, тогда: PP4>1) количество теплоты, которое надо потерять — одинакого в обоих случаях PP4>2) количество теплоты, теряемое жидкостью в единицу времени, пропорционально разности температур. В первом случае разнать больше, стало быть жидкость охлаждается быстрее. Значит температуры сравняются.
Неверно.
В такой простой схеме их температуры никогда не сравняются.
В точке пересечения графики температур должны соприкоснуться по касательной и дальше идти вместе, ведь разность температур будет одинакова.
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Неверно. RB>В такой простой схеме их температуры никогда не сравняются. RB>В точке пересечения графики температур должны соприкоснуться по касательной и дальше идти вместе, ведь разность температур будет одинакова.
А теплоёмкость нет
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>В точке пересечения графики температур должны соприкоснуться по касательной и дальше идти вместе, ведь разность температур будет одинакова.
dQ/dt = -kT
Q = qVT
где
Q — количество (избыточной) энергии,
T — (избыточная) температура,
V — объём,
q — удельная теплоёмкость,
k — коэффициент теплоотдачи,
t — время
Таким образом (полагая, что V≈const — количество испарившейся воды ничтожно)
dT/dt = -T*(k/qV)
T(t) = T0*exp(-t*k/qV)
Здравствуйте, Demotivated, Вы писали:
D>А вот и нет, за счет испарения воды могут охладиться ниже комнатной температуры. (Температура мокрого термометра)
Это точно!
D>Так что надо ввести еще влажность воздуха. D>Если влажность высокая, быстрее до комнатной охладится горячий литр, если низкая, то возможно что и теплые 6 литров.
Наоборот: если относительная влажность воздуха 100%, то испарения вообще не будет
(мокрый термометр при 100% будет показывать ту же температуру, что и сухой).
Т.е. в первом приближении горячий литр так и останется горячим, а тёплые 6 — тёплыми
D>А вообще еще много трудно-вычислимых параметров, механизм теплопередачи, влияние конвекции, форма и материал ведра...
Да, есть подозрение, что в зависимости от параметров ответ будет качественно разным.
Здравствуйте, PoM-PoM 40mm, Вы писали:
PP4>Если допустить, что у нас цилиндрическое ведро, охлаждение идет только за счет испарения, тогда: PP4>1) количество теплоты, которое надо потерять — одинакого в обоих случаях
Логично.
PP4>2) количество теплоты, теряемое жидкостью в единицу времени, пропорционально разности температур. PP4>В первом случае разнать больше, стало быть жидкость охлаждается быстрее. Значит температуры сравняются.
А вот тут логика немного хромает. Пример: берём литр горячей воды и литр тёплой воды.
Из выделенной фразы выходит, что температуры этих двух ёмкостей сравняются, а это, очевидно, не так.
Тем не менее, в нашем случае, когда объёмы разные, итоговый вывод о пересечении графиков имеет право на существование
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>dQ/dt = -kT К>Q = qVT
К>где К>Q — количество (избыточной) энергии, К>T — (избыточная) температура, К>V — объём, К>q — удельная теплоёмкость, К>k — коэффициент теплоотдачи, К>t — время
К>Таким образом (полагая, что V≈const — количество испарившейся воды ничтожно) К>dT/dt = -T*(k/qV) К>T(t) = T0*exp(-t*k/qV)
К>Разная крутизна у экспонент.
Вполне правдоподобная модель!
Вот навскидку графики по этим формулам:
-коэффициенты k, q и масштаб времени взяты от балды (кстати, оказалось, что температура в точке пересечения графиков от них не зависит!)
-начальные температуры — были вычислены здесь
-конечная температура испарения принята равной 15 градусам (взято из психрометрической таблички для комнатной температуры 20 градусов и влажности 55%)
Вывод: в данной модели (испарение, линейная зависимость теплопотерь от разницы температур, комнатная температура 20 градусов) быстрее остынет первая ёмкость (с 1 литром).
Но если поднять комнатную температуру до той, которая сейчас в Москве (30-35 градусов), то, возможно, появится шанс на противоположный ответ
Здравствуйте, andy1618, Вы писали:
A>Но если поднять комнатную температуру до той, которая сейчас в Москве (30-35 градусов), то, возможно, появится шанс на противоположный ответ
Думаешь, точка пересечения окажется ниже комнатной?
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
A>>Но если поднять комнатную температуру до той, которая сейчас в Москве (30-35 градусов), то, возможно, появится шанс на противоположный ответ К>Думаешь, точка пересечения окажется ниже комнатной?
Хм, действительно! Поигрался с моделькой — даже при сильно ослабленных условиях (долив всего 1 литра, высокая комнатная температура, низкая конечная температура) утащить точку пересечения ниже комнатной не удалось.
Кстати, на практике теплообмен должен ещё в бОльшей степени зависеть от температуры (например, отдача энергии при излучении пропорциональна четвёртой степени от температуры тела), т.е. в реальности первая ёмкость должна остывать ещё быстрее.
Выходит, вывод в этой задаче такой же, как и в простой задаче про чай с молоком: если хочется получить похолоднее, разбавлять надо в конце
Здравствуйте, andy1618, Вы писали:
К>>Думаешь, точка пересечения окажется ниже комнатной?
A>Хм, действительно! Поигрался с моделькой — даже при сильно ослабленных условиях (долив всего 1 литра, высокая комнатная температура, низкая конечная температура) утащить точку пересечения ниже комнатной не удалось.
Надо поиграться не с температурами, а с влажностью.
Поскольку горизонт у обеих экспонент — это температура мокрого термометра, и точка пересечения — где-то выше.
Мысленно представим себе: влажность 0%, комнатная температура 88°.
Литр стартует с 90°, шесть литров с 88.3°.
А финишируют, допустим, на 80° (нет таблицы под рукой).
Ясное дело, что пересекутся ниже комнатной.
A>Кстати, на практике теплообмен должен ещё в бОльшей степени зависеть от температуры (например, отдача энергии при излучении пропорциональна четвёртой степени от температуры тела), т.е. в реальности первая ёмкость должна остывать ещё быстрее.
И какой коэффициент при этой T^4...
Что-то мне кажется, излучение даёт самый маленький вклад, по сравнению с испарением и контактным отводом тепла (передача через стенки, нагрев воздуха, конвекция).
A>Выходит, вывод в этой задаче такой же, как и в простой задаче про чай с молоком: если хочется получить похолоднее, разбавлять надо в конце
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Мысленно представим себе: влажность 0%, комнатная температура 88°. К>Литр стартует с 90°, шесть литров с 88.3°. К>А финишируют, допустим, на 80° (нет таблицы под рукой). К>Ясное дело, что пересекутся ниже комнатной.
Почему комнатная температура считается постоянной?
Здравствуйте, andy1618, Вы писали:
A>например, отдача энергии при излучении пропорциональна четвёртой степени от температуры тела
Это не совсем правда. Вернее это правда для одинокого тела в вакууме.
Если у нас случай обмена теплом через излучение между двумя телами примерно равных температур, то мощность передачи тепла будет пропорциональна разности температур и кубу температуры одного из тел.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, andy1618, Вы писали:
A>>например, отдача энергии при излучении пропорциональна четвёртой степени от температуры тела
E>Это не совсем правда. Вернее это правда для одинокого тела в вакууме. E>Если у нас случай обмена теплом через излучение между двумя телами примерно равных температур, то мощность передачи тепла будет пропорциональна разности температур и кубу температуры одного из тел.
Без разницы какой степени, главное что теплоотдача монотонно растет с разностью температур. В этом случае тело с большей теплоемкостью но с меньшей стартовой температурой, рано или позжно станет теплее тела с меньшей теплоемкостью. Причем даже если у тела с большей теплоемкость температура была всего на 1 град больше комнатной а у второго на 1000 град, через какое-то время t первое тело все-равно будет тпелее второго.
Здравствуйте, deimos, Вы писали:
D>Без разницы какой степени,
Я с этим не спорю. Просто там было неверное утверждение высказано, и я его на всякий случай поправил.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, deimos, Вы писали:
D>Без разницы какой степени, главное что теплоотдача монотонно растет с разностью температур. В этом случае тело с большей теплоемкостью но с меньшей стартовой температурой, рано или позжно станет теплее тела с меньшей теплоемкостью. Причем даже если у тела с большей теплоемкость температура была всего на 1 град больше комнатной а у второго на 1000 град, через какое-то время t первое тело все-равно будет тпелее второго.
Это да. Но в случае испарения итоговая температура вёдер будет меньше комнатной. И была гипотеза, что при определённых условиях тело с большей теплоёмкостью достигнет комнатной температуры быстрее, чем тело с более высокой теплоёмкостью. Но пока что эту гипотезу подтвердить не удалось (в рамках приведённой выше модели с экспоненциальным остыванием).
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
A>>Хм, действительно! Поигрался с моделькой — даже при сильно ослабленных условиях (долив всего 1 литра, высокая комнатная температура, низкая конечная температура) утащить точку пересечения ниже комнатной не удалось.
К>Надо поиграться не с температурами, а с влажностью. К>Поскольку горизонт у обеих экспонент — это температура мокрого термометра, и точка пересечения — где-то выше. К>Мысленно представим себе: влажность 0%, комнатная температура 88°. К>Литр стартует с 90°, шесть литров с 88.3°. К>А финишируют, допустим, на 80° (нет таблицы под рукой). К>Ясное дело, что пересекутся ниже комнатной.
Я тоже так думал. Но фокус не прошёл — брал комнатную температуру 89 градусов, температуру остывания (на влажность наплевав вообще) — 0 градусов.
Всё равно, заразы, пересекаются чуть-чуть выше 89 градусов!
И даже замена 5 доливаемых литров на 1 не помогает! Уже и не знаю, что делать!
Здравствуйте, andy1618, Вы писали:
A>И даже замена 5 доливаемых литров на 1 не помогает! Уже и не знаю, что делать!
Известно, что делать: написать уравнение пересечения, ввести туда все параметры... и решить, при каких сочетаниях точка встречи ниже точки комнатной температуры.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, ZevS, Вы писали:
ZS>>В связи с плановым отключением горячей воды родилась задача. Есть два ведра, в каждый налили ровно по литру воды и нагрели до 90 градусов. Затем, одно оставили как есть, а во второе налили еще 5 литров воды комнатной температуры. Вопрос: в каком ведре вода быстрее охладится до комнатной температуры?
К>Смелый ответ: в обоих вёдрах температура никогда не охладится до комнатной температуры К>Закон охлаждения — обратно-экспоненциальный.
Перекуём баги на фичи!
], 
