Петр Петрович поселился в новом 5-этажном доме на 3-м этаже. При переезде выяснилось, что пьяный электрик перепутал проводку, и теперь при нажатии любой кнопки лифт едет в нужном направлении, но останавливается на случайном этаже (как выше, так и ниже нажатого этажа). Например, если на первом этаже нажать кнопку 4-го этажа, можно с равной вероятностью очутиться на любом этаже со второго по пятый. А если на 4-м нажать кнопку второго этажа, то лифт с равными шансами увезет вас на любой этаж с первого по третий.
1) Так как лестницы в доме нет, каждое утро Петр Петрович, отправляясь на работу, заходит в лифт и жмет кнопки, пока не окажется на первом этаже (при этом, он, разумеется, делает это оптимальным образом, чтобы по возможности минимизировать среднее время, проведенное в лифте). Сколько в среднем раз он нажимает кнопку лифта каждое утро и какое в среднем расстояние при этом проезжает (расстояние, например, между вторым этажом и пятым равно трем этажам)?
2) Вечером Петр Петрович возвращается с работы домой и таким же образом, как и утром, гоняет лифт, пока не окажется на третьем этаже. Сколько в среднем раз он нажимает кнопку лифта каждый вечер, и какое в среднем расстояние (в этажах) он при этом проезжает?
3) Лифт проезжает один этаж за 2 секунды, и еще тратит 10 секунд на закрытие/открытие дверей и на разгон/торможение. Например, если с первого этажа уехать на 5-й, а потом только на 3-й, то время, проведенное в лифте, будет 4этажа*2сек/этаж+10сек+2этажа*2сек/этаж+10сек=32 секунды. Если бы лифт был исправен, то Петр Петрович ежедневно проезжал бы в лифте 4 этажа и тратил бы 28 секунд. Какое расстояние в среднем за день он проезжает в испорченном лифте, и сколько при этом тратит времени?
4) Прежде чем поселиться в злополучном доме, Петр Петрович все никак не мог решиться, какую квартиру выбрать, на 2-м этаже, на 3-м этаже или на 4-м? Правильный ли он сделал выбор, с учетом времени, которое он тратит в лифте каждый день?
5) Зато в квартиру на 4-м этаже переехал старый друг Петра Петровича, Семен Семеныч. Какое расстояние проезжает, сколько раз жмет кнопки и сколько времени в среднем тратит Петр Петрович, чтобы подняться к другу на лифте с 3-го этажа на 4-й, чтобы спуститься обратно и в сумме?
6) Покажите, что среднее число этажей, которые приходиться проехать за день, т.е. утром плюс вечером, живя на 2-м этаже произвольного дома с n этажами и неисправным лифтом, равно числу этажей, которые приходиться проехать за день, живя на последнем этаже того же дома с исправным лифтом. Сравните 2-й этаж и последний (n-й) в доме с неисправным лифтом по среднему количеству нажатий на кнопки, расстоянию и времени за день.
7) Когда, спустя пару месяцев в доме, в котором живет Петр Петрович, на втором этаже поселился другой знакомый Петра Петровича, Владимир Владимирович... лифт сразу починили, а потому вопросов у меня больше не осталось.
