>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
Вместо того, чтобы крутить прямой угол вокруг эллипса, и считать пересечение касательных, зафиксируем центр эллипса в начале кооординат, и будем вращать эллипс, прижимая к нему, например, слева-снизу прямой угол с лучами, параллельными осям координат. Крайние (экстремальные) точки эллипса (левую и нижнюю) можно найти, продифференцировав параметрические уравнения
x=a*cos(t — fi)
y=b*sin(t — fi)
где fi — угол поворота эллипса
Искомое расстояни — сумма квадратов производных будет, понятно, постоянной, и равной сумме квадратов полуосей.

Здравствуйте, MBo, Вы писали:

Мда, фигню написал...
Уравнения не те — должно быть
x=a*cos(t) * cos(fi) — b * sin(t) sin(fi) и аналогично для y
и далее сильно навороченно тогда будет.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>
Ну да не зависит, потому что он касаться только в одном положении может.

Здравствуйте, denisko, Вы писали:

D>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>
D>Ну да не зависит, потому что он касаться только в одном положении может.
А может и гоню, в любом случае доказывается довольно занудно через условие на перпендикулярность касательных и решение уравнения для точки их пересечения, и то если забыть поделить на определитель.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>

Мы попросили людей разных профессий ответить на этот вопрос.

Тополог.
— Ну здесь все просто. Прямая делит пространство на два подмножества, являсь их общей границей. Две прямые -- на четыре подмножества. Эллипс лежит полностью в одном из них, причем при "непрерывном" перемещении прямых точка пересечения образует границу множества, в котором лежит овал, а значит эта граница этого множества топологически эквивалентна окружности, внутри которой и лежит эллипс -- суть та же окружность.
— А как же прямой угол, расстояние?
— Расстояния и углы нас не интересуют. Научитесь ставить правильные вопросы.

Философ.
— Я провел мысленный эксперимент. Допустим, мы пометили яйцо сбоку красной точкой и положили его так, чтобы оно касалось одновременно стенки и пола. Если мы теперь будем вращать его так, чтобы оно продолжало касаться и стенки, и, конечно же, пола, и так, чтобы красная точка всегда находилась слева, то она удивительнейшим образом будет описывать кривую, весьма напоминающую дугу окружности. Из этого можно сделать вывод, что человек в своем познании окружающего мира...
— Простите, а яйцо у Вас строго овальной формы?
— Вы знаете, молодой человек, Вы затронули весьма интересную философскую проблему. Вот Вы знаете, например, что в своих трудах Декарт...
— Э-э-э... Спасибо.

Алгебраист.
— Ну это несложно. Если радиусы a и b, точка касания (x,y), то x^2/a^2+y^2/b^2=1, и, "идя вдоль эллипса" (т.е. дифференцируя это тождество), получаем xdx/a^2+ydy/b^2=0 или ydy/b^2=-xdx/a^2, а угол наклона касательной dy/dx=-b^2/a^2*x/y. В другой точке (s,t) наклон dt/ds=-dx/dy (чтобы касательные были перпендикулярны). Т.е. -b^2/a^2*s/t=a^2/b^2*y/x или b^4/a^4*s^2/t^2=a^4/b^4*y^2/x^2. При этом обе лежат на эллипсе, т.е. t^2=b^2(1-s^2/a^2). Значит, b^2/a^2*s^2/(a^2-s^2)=a^2/b^2*(a^2-x^2)/x^2. Выражаем s^2 через x^2. s^2=a^6*(a^2-x^2)/((b^4-a^4)*x^2+a^6), t^2=b^6*x^2/((b^4-a^4)*x^2+a^6). Точка (x,y) -- прямая y-b^2/a^2*x/y*(u-x), точка (s,t) -- прямая t-b^2/a^2*s/t*(u-s), пересечение в точке, где y-b^2/a^2*x/y*(u-x)=t-b^2/a^2*s/t*(u-s) или t=y-b^2/a^2*[x/y*(u-x)-s/t*(u-s)]=y-b^2/a^2*[(x/y+a^4/b^4*y/x)*u-(x^2/y+a^4/b^4*y/x*s)], u=[a^2/b^2*(y-t)+(x/y*x+a^4/b^4*y/x*s)]/(x/y+a^4/b^4*y/x), вторая координата v=y-b^2/a^2*x/y*(u-x)=y-b^2/a^2*x*[a^2/b^2*(1-t/y)+a^4/b^4*(s/x-1)]/(x/y+a^4/b^4*y/x)=[a^4/b^4*y^2/x+t*x/y-a^2/b^2*(s-x)]/(x/y+a^4/b^4*y/x). Возводим обе координаты в квадрат и складываем (квадрат расстояния до центра): {[a^2/b^2*(y-t)+(x/y*x+a^4/b^4*y/x*s)]/(x/y+a^4/b^4*y/x)}^2+{[a^4/b^4*y^2/x+t*x/y-a^2/b^2*(s-x)]/(x/y+a^4/b^4*y/x)}^2={[a^2/b^2*(y-t)+(x^2/y+a^4/b^4*y/x*s)]^2+[a^4/b^4*y^2/x+t*x/y-a^2/b^2*(s-x)]^2}/(x/y+a^4/b^4*y/x)^2={a^4/b^4*(y-t)^2+2a^2/b^2*(y-t)*x/y*x+2a^2/b^2*(y-t)*a^4/b^4*y/x*s+x^4/y^2+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s+a^8/b^8*y^2/x^2*s^2+a^8/b^8*y^4/x^2+t^2*x^2/y^2+a^4/b^4*(s-x)^2+2a^4/b^4*y^2/x*t*x/y-2a^4/b^4*y^2/x*a^2/b^2*(s-x)-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)}/(x/y+a^4/b^4*y/x)^2 теперь подставляем выражения для s^2 и t^2 ={a^4/b^4*(y^2+b^6*x^2/((b^4-a^4)*x^2+a^6)-2yt)+2a^2/b^2*(y-t)*x^2/y+2a^6/b^6*(y-t)*y/x*s+x^4/y^2+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s+a^14/b^8*y^2/x^2*(a^2-x^2)/((b^4-a^4)*x^2+a^6)+a^8/b^8*y^4/x^2+t^2*x^2/y^2+a^4/b^4*(s-x)^2+2a^4/b^4*y*t-2a^6/b^6*y^2/x*(s-x)-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)}/(x/y+a^4/b^4*y/x)^2={a^4/b^4*(y^2*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+b^6*x^2-2yt*((b^4-a^4)*x^2+a^6))+2a^2/b^2*(y-t)*x^2/y*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+2a^6/b^6*(y-t)*y/x*s*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+x^4/y^2*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+a^14/b^8*y^2/x^2*(a^2-x^2)+a^8/b^8*y^4/x^2*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+t^2*x^2/y^2*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+a^4/b^4*(s-x)^2*((b^4-a^4)*x^2+a^6)+2a^4/b^4*y*t*((b^4-a^4)*x^2+a^6)-2a^6/b^6*y^2/x*(s-x)*((b^4-a^4)*x^2+a^6)-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)*((b^4-a^4)*x^2+a^6)}/(x/y+a^4/b^4*y/x)^2/((b^4-a^4)*x^2+a^6) сейчас... я знак последний равенства потерял... ага, нашел ={a^4*y^2*x^2-a^8/b^4*y^2*x^2+a^10/b^4*y^2+a^4*b^2*x^2-a^4/b^4*2yt*b^4*x^2+a^4/b^4*2yt*a^4*x^2-a^4/b^4*2yt*a^6+2a^2/b^2*(1-t/y)*x^2*(b^4-a^4)*x^2+2a^2/b^2*(1-t/y)*x^2*a^6+2a^6/b^6*(y-t)*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2+2a^6/b^6*(y-t)*y/x*s*a^6+x^4/y^2*(b^4-a^4)*x^2+x^4/y^2*a^6+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s*a^6+a^14/b^8*y^2/x^2*a^2-a^14/b^8*y^2/x^2*x^2+a^8/b^8*y^4/x^2*b^4*x^2-a^8/b^8*y^4/x^2*a^4*x^2+a^8/b^8*y^4/x^2*a^6+t^2*x^4/y^2*b^4-t^2*x^4/y^2*a^4+t^2*x^2/y^2*a^6+a^4/b^4*(s-x)^2*(b^4-a^4)*x^2+a^4/b^4*(s-x)^2*a^6+2a^4/b^4*y*t*(b^4-a^4)*x^2+2a^4/b^4*y*t*a^6-2a^6/b^6*y^2/x*(s-x)*(b^4-a^4)*x^2-2a^6/b^6*y^2/x*(s-x)*a^6-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)*(b^4-a^4)*x^2-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)*a^6}/(x/y+a^4/b^4*y/x)^2/((b^4-a^4)*x^2+a^6)={a^4*y^2*x^2-a^8/b^4*y^2*x^2+a^10/b^4*y^2+a^4*b^2*x^2-a^4/b^4*2yt*b^4*x^2+a^4/b^4*2yt*a^4*x^2-a^4/b^4*2yt*a^6+2a^2/b^2*(1-t/y)*x^2*(b^4-a^4)*x^2+2a^2/b^2*(1-t/y)*x^2*a^6+2a^6/b^6*(y-t)*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2+2a^6/b^6*(y-t)*y/x*s*a^6+x^4/y^2*(b^4-a^4)*x^2+x^4/y^2*a^6+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*s*a^6+a^14/b^8*y^2/x^2*a^2-a^14/b^8*y^2/x^2*x^2+a^8/b^8*y^4/x^2*b^4*x^2-a^8/b^8*y^4/x^2*a^4*x^2+a^8/b^8*y^4/x^2*a^6+t^2*x^4/y^2*b^4-t^2*x^4/y^2*a^4+t^2*x^2/y^2*a^6+a^4/b^4*(s-x)^2*(b^4-a^4)*x^2+a^4/b^4*(s-x)^2*a^6+2a^4/b^4*y*t*(b^4-a^4)*x^2+2a^4/b^4*y*t*a^6-2a^6/b^6*y^2/x*(s-x)*(b^4-a^4)*x^2-2a^6/b^6*y^2/x*(s-x)*a^6-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)*(b^4-a^4)*x^2-t*x/y*a^2/b^2*(s-x)*a^6}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) я вот никак не пойму, на 31 странице Уайлс делает какой-то нестандартный переход, который может быть в общем случае неверным... так сокрашаем здесь тоже ={a^4*x^2*y^2-a^8/b^4*x^2*y^2+a^10/b^4*y^2+a^4*b^2*x^2+b^4*x^6/y^2-a^4*x^6/y^2+a^6*x^4/y^2+a^16/b^8*y^2/x^2-a^14/b^8*y^2+a^8/b^4*y^4-a^12/b^8*y^4+a^14/b^8*y^4/x^2+b^6*x^4/y^2+a^12/b^4-a^10/b^4*x^2+a^4*x^4-a^8/b^4*x^4+a^10/b^4*x^2-a^4/b^4*2y*b^4*x^2*t+a^4/b^4*2y*a^4*x^2*t-a^4/b^4*2y*a^6*t+(2a^4-2a^8/b^4)*x^2*y*t+2a^10/b^4*y*t+2a^2/b^2*x^2/y*b^4*x^2*(y-t)-2a^2/b^2*x^2/y*a^4*x^2*(y-t)+2a^2/b^2*x^2/y*a^6*(y-t)+2a^6/b^6*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2*(y-t)+2a^6/b^6*y/x*s*a^6*(y-t)+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*b^4*x^2*s-2x^2/y*a^4/b^4*y/x*a^4*x^2*s+a^10/b^4*2x*s-[a^4/b^4*(b^4-a^4)*x^2+a^4/b^4*a^6]*2x*s-(2a^6/b^2-2a^10/b^6)*x*y^2*(s-x)-2a^6/b^6*y^2/x*a^6*(s-x)-x/y*a^2/b^2*(b^4-a^4)*x^2*(s-x)*t-x/y*a^2/b^2*a^6*(s-x)*t}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2)={a^4*x^2*y^2-a^8/b^4*x^2*y^2+a^10/b^4*y^2+a^4*b^2*x^2+b^4*x^6/y^2-a^4*x^6/y^2+a^6*x^4/y^2+a^16/b^8*y^2/x^2-a^14/b^8*y^2+a^8/b^4*y^4-a^12/b^8*y^4+a^14/b^8*y^4/x^2+b^6*x^4/y^2+a^12/b^4-a^10/b^4*x^2+a^4*x^4-a^8/b^4*x^4+a^10/b^4*x^2-a^4/b^4*2y*b^4*x^2*t+a^4/b^4*2y*a^4*x^2*t-a^4/b^4*2y*a^6*t+(2a^4-2a^8/b^4)*x^2*y*t+2a^10/b^4*y*t+2a^2/b^2*x^2/y*b^4*x^2*(y-t)-2a^2/b^2*x^2/y*a^4*x^2*(y-t)+2a^2/b^2*x^2/y*a^6*(y-t)+2a^6/b^6*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2*(y-t)+2a^6/b^6*y/x*s*a^6*(y-t)+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*b^4*x^2*s-2x^2/y*a^4/b^4*y/x*a^4*x^2*s+a^10/b^4*2x*s-[a^4/b^4*(b^4-a^4)*x^2+a^4/b^4*a^6]*2x*s-(2a^6/b^2-2a^10/b^6)*x*y^2*(s-x)-2a^6/b^6*y^2/x*a^6*(s-x)-x/y*a^2/b^2*(b^4-a^4)*x^2*(s-x)*t-x/y*a^2/b^2*a^6*(s-x)*t}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) похоже где-то ошибка... никто не видит пока?.. ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(x^2+y^2)+2a^4x^2(x^2+y^2)-2a^8/b^4x^2(x^2+y^2)+a^8/b^4*y^2(x^2+y^2)-a^12/b^8*y^2(x^2+y^2)+a^6(x^4/y^2+x^2)+2a^10/b^4(x^2+y^2)+a^14/b^8*(y^4/x^2+y^2)-b^4*x^4+b^6*x^4/y^2-a^4*x^2*y^2+a^4*b^2*x^2+a^6*x^2+a^8/b^4*x^4-a^10/b^4*y^2-2a^10/b^4*x^2+a^12/b^8*y^2*x^2+a^12/b^4-2a^14/b^8*y^2+a^16/b^8*y^2/x^2-a^4*2y*x^2*t+a^8/b^4*2y*x^2*t-a^10/b^4*2y*t+(2a^4-2a^8/b^4)*x^2*y*t+2a^10/b^4*y*t+2a^2/b^2*x^2/y*b^4*x^2*(y-t)-2a^2/b^2*x^2/y*a^4*x^2*(y-t)+2a^2/b^2*x^2/y*a^6*(y-t)+2a^6/b^6*y/x*s*(b^4-a^4)*x^2*(y-t)+2a^6/b^6*y/x*s*a^6*(y-t)+2x^2/y*a^4/b^4*y/x*b^4*x^2*s-2x^2/y*a^4/b^4*y/x*a^4*x^2*s+a^10/b^4*2x*s-[a^4/b^4*(b^4-a^4)*x^2+a^4/b^4*a^6]*2x*s-(2a^6/b^2-2a^10/b^6)*x*y^2*(s-x)-2a^6/b^6*y^2/x*a^6*(s-x)-x/y*a^2/b^2*(b^4-a^4)*x^2*(s-x)*t-x/y*a^2/b^2*a^6*(s-x)*t}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) там где *t очень многое сокращается... ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(x^2+y^2)+2a^4x^2(x^2+y^2)-2a^8/b^4x^2(x^2+y^2)+a^8/b^4*y^2(x^2+y^2)-a^12/b^8*y^2(x^2+y^2)+a^6(x^4/y^2+x^2)+2a^10/b^4(x^2+y^2)+a^14/b^8*(y^4/x^2+y^2)-b^4*x^4+b^6*x^4/y^2+2a^2b^2*x^4-a^4*x^2*y^2+a^4*b^2*x^2+a^6*x^2-2a^6/b^2*x^4+2a^6/b^2*x^2*y^2+a^8/b^4*x^4+2a^8/b^2*x^2-a^10/b^4*y^2-2a^10/b^4*x^2-2a^10/b^6*x^2*y^2+a^12/b^8*y^2*x^2+a^12/b^4+2a^12/b^6*y^2-2a^14/b^8*y^2+a^16/b^8*y^2/x^2-2a^2b^2*x^4*t/y+2a^6/b^2*x^4*t/y-2a^8/b^2*x^2*t/y-2a^6/b^2*y*x*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st+2a^4*x^3*s-2a^4*x^3*s+2a^6/b^2*y^2*x*s-2a^6/b^2*x*y^2*s-2a^8/b^4*x^3*s+2a^8/b^4*x^3*s+2a^10/b^4*x*s-2a^10/b^4*x*s-2a^10/b^6*y^2*x*s+2a^10/b^6*x*y^2*s+2a^12/b^6*y^2/x*s-2a^12/b^6*y^2/x*s-a^2*b^2*x^3/y*st+a^2*b^2*x^4*t/y+a^6/b^2*x^3/y*st-a^6/b^2*x^4x/y*t-a^8/b^2*x/y*st+a^8/b^2*x^2/y*t}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) три раза я порывался бросить все это, но так и не сумел... кстати, многое сокращается ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(x^2+y^2)+2a^4x^2(x^2+y^2)-2a^8/b^4x^2(x^2+y^2)+a^8/b^4*y^2(x^2+y^2)-a^12/b^8*y^2(x^2+y^2)+a^6(x^4/y^2+x^2)+2a^10/b^4(x^2+y^2)+a^14/b^8*(y^4/x^2+y^2)-b^4*x^4+b^6*x^4/y^2+2a^2b^2*x^4-a^4*x^2*y^2+a^4*b^2*x^2+a^6*x^2-2a^6/b^2*x^4+2a^6/b^2*x^2*y^2+a^8/b^4*x^4+2a^8/b^2*x^2-a^10/b^4*y^2-2a^10/b^4*x^2-2a^10/b^6*x^2*y^2+a^12/b^8*y^2*x^2+a^12/b^4+2a^12/b^6*y^2-2a^14/b^8*y^2+a^16/b^8*y^2/x^2-2a^2b^2*x^4*t/y+a^2*b^2*x^4*t/y+2a^6/b^2*x^4*t/y-a^6/b^2*x^4*t/y-2a^8/b^2*x^2*t/y+a^8/b^2*x^2*t/y-a^2*b^2*x^3/y*st+a^6/b^2*x^3/y*st-2a^6/b^2*y*x*st-a^8/b^2*x/y*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2)={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(x^2+y^2)+2a^4x^2(x^2+y^2)-2a^8/b^4x^2(x^2+y^2)+a^8/b^4*y^2(x^2+y^2)-a^12/b^8*y^2(x^2+y^2)+a^6(x^4/y^2+x^2)+2a^10/b^4(x^2+y^2)+a^14/b^8*(y^4/x^2+y^2)-b^4*x^4+b^6*x^4/y^2+2a^2b^2*x^4-a^4*x^2*y^2+a^4*b^2*x^2+a^6*x^2-2a^6/b^2*x^4+2a^6/b^2*x^2*y^2+a^8/b^4*x^4+2a^8/b^2*x^2-a^10/b^4*y^2-2a^10/b^4*x^2-2a^10/b^6*x^2*y^2+a^12/b^8*y^2*x^2+a^12/b^4+2a^12/b^6*y^2-2a^14/b^8*y^2+a^16/b^8*y^2/x^2-a^2b^2*x^4*t/y+a^6/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y-a^2*b^2*x^3*st/y+a^6/b^2*x^3*st/y-a^8/b^2*x/y*st-2a^6/b^2*y*x*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) ччерт, не то вынес за скобку, ща поправим ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(a^2+b^2)+2a^4x^2(a^2+b^2)-2a^8/b^4x^2(a^2+b^2)+a^8/b^4*y^2(a^2+b^2)-a^12/b^8*y^2(a^2+b^2)+a^6(a^2+b^2)x^2/y^2+2a^10/b^4(a^2+b^2)+a^14/b^8*(a^2+b^2)y^2/x^2+b^4*x^6/y^2+2a^2b^2*x^4-a^2b^4x^4/y^2+a^4*x^2*y^2+a^4*x^4-a^4*x^6/y^2-a^4*b^2*x^2+a^4b^2x^4/y^2-a^6b^2x^2/y^2+2a^6x^4/y^2-2a^6/b^2*x^4+2a^6/b^2*x^2*y^2-a^8x^2/y^2-a^8/b^2y^2+4a^8/b^2*x^2-a^8/b^4*x^4+a^8/b^4y^4-a^8/b^4x^2y^2-2a^10/b^2+2a^10/b^4*x^2-2a^10/b^6*x^2*y^2-a^12/b^4+3a^12/b^6*y^2-a^12/b^8*y^4+a^14/b^8*y^4/x^2-a^14/b^6y^2/x^2-a^2b^2*x^4*t/y+a^6/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y-a^2*b^2*x^3*st/y+a^6/b^2*x^3*st/y-a^8/b^2*x/y*st-2a^6/b^2*y*x*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) заметим, что x^2/a^2+y^2/b^2=1 или y^2/b^2=1-x^2/a^2 ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(a^2+b^2)+2a^4x^2(a^2+b^2)-2a^8/b^4x^2(a^2+b^2)+a^8/b^4*y^2(a^2+b^2)-a^12/b^8*y^2(a^2+b^2)+a^6(a^2+b^2)x^2/y^2+2a^10/b^4(a^2+b^2)+a^14/b^8*(a^2+b^2)y^2/x^2+a^2(a^2+b^2)*x^6/y^2-a^2b^2x^6/y^2-4a^6x^4/y^2+3a^8x^2/y^2-2a^8/b^2*x^4/y^2-a^8/b^4x^2y^2-2a^10/b^2+2a^10/b^2*x^2/y^2-3a^10/b^4*x^2-2a^12/b^4+3a^12/b^4+a^14/b^8*y^4/x^2-a^14/b^6y^2/x^2-a^2b^2*x^4*t/y+a^6/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y-a^2*b^2*x^3*st/y+a^6/b^2*x^3*st/y-a^8/b^2*x/y*st-2a^6/b^2*y*x*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2)={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(a^2+b^2)+2a^4x^2(a^2+b^2)-2a^8/b^4x^2(a^2+b^2)+a^8/b^4*y^2(a^2+b^2)-a^12/b^8*y^2(a^2+b^2)+a^6(a^2+b^2)x^2/y^2+2a^10/b^4(a^2+b^2)+a^14/b^8*(a^2+b^2)y^2/x^2-2a^6x^4/y^2+4a^8x^2/y^2-2a^10/y^2-a^2b^2*x^4*t/y+a^6/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y-a^2*b^2*x^3*st/y+a^6/b^2*x^3*st/y-a^8/b^2*x/y*st-2a^6/b^2*y*x*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2)={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(a^2+b^2)+2a^4x^2(a^2+b^2)-2a^8/b^4x^2(a^2+b^2)+a^8/b^4*y^2(a^2+b^2)-a^12/b^8*y^2(a^2+b^2)+a^6(a^2+b^2)x^2/y^2+2a^10/b^4(a^2+b^2)+a^14/b^8*(a^2+b^2)y^2/x^2-2a^6x^4/y^2+4a^8x^2/y^2-2a^10/y^2+(a^4-b^4)a^2/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y-a^2*b^2*x^3*st/y+a^6/b^2*x^3*st/y-a^8/b^2*x/y*st-2a^6/b^2*y*x*st+2a^10/b^6*y*x*st-2a^12/b^6*y/x*st}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) далее, xs=-a^4/b^4*ty ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(a^2+b^2)+2a^4x^2(a^2+b^2)-2a^8/b^4x^2(a^2+b^2)+a^8/b^4*y^2(a^2+b^2)-a^12/b^8*y^2(a^2+b^2)+a^6(a^2+b^2)x^2/y^2+2a^10/b^4(a^2+b^2)+a^14/b^8*(a^2+b^2)y^2/x^2-2a^6x^4/y^2+4a^8x^2/y^2-2a^10/y^2+(a^4-b^4)a^2/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y+a^6/b^6*(b^4*x^2-a^4*x^2+a^6)*t^2+2a^10/b^10*(b^4*x^2-a^4*x^2+a^6)*y^2/x^2*t^2}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) а t^2=b^6*x^2/((b^4-a^4)*x^2+a^6) ={+(b^4-a^4)*x^4/y^2(a^2+b^2)+2a^4x^2(a^2+b^2)-2a^8/b^4x^2(a^2+b^2)+a^8/b^4*y^2(a^2+b^2)-a^12/b^8*y^2(a^2+b^2)+a^6(a^2+b^2)x^2/y^2+2a^10/b^4(a^2+b^2)+a^14/b^8*(a^2+b^2)y^2/x^2-a^4b^2*x^4/y^2+a^6b^2*x^2/y^2+(a^4-b^4)a^2/b^2*x^4*t/y-a^8/b^2*x^2*t/y}/(x^4/y^2*b^4-x^4/y^2*a^4+2x^2*a^4-a^8/b^4*2x^2+a^8/b^4*y^2-a^12/b^8*y^2+x^2/y^2*a^6+2a^10/b^4+a^14/b^8*y^2/x^2) ЧЧЧЧЕРТ, где-то ошибка, Я ВАМ ГОВОРИЛ!.. Какой я осел! С длинными ушами! Тут можно проще. Ну конечно, не надо было раскрывать эти скобки, чтобы потом опять собирать все под скобку. Так, сначала. u=[a^2/b^2*(xy^2+b^4/a^4*sx^2)+x^3+a^4/b^4*y^2*s]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^2/b^2*(x(b^2-b^2/a^2*x^2)+b^4/a^4*sx^2)+x^3+a^4/b^4*(b^2-b^2/a^2*x^2)*s]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^2/b^2*(b^2x-b^2/a^2*x^3+b^4/a^4*sx^2)+x^3+a^4/b^4*b^2*s-a^4/b^4*b^2/a^2*x^2*s]/(x^2+a^4/b^4*y^2) как здесь все удачно сокращается! Вы следите за мной, молодой человек? Вы следите за мной! я теперь делаю медленно, специально для Вас =[a^2/b^2*b^2x-a^2/b^2*b^2/a^2*x^3+a^2/b^2*b^4/a^4*sx^2+x^3+a^4/b^4*b^2*s-a^4/b^4*b^2/a^2*x^2*s]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^2x+a^4/b^2*s+b^2/a^2x^2*s-a^2/b^2x^2*s]/(x^2+a^4/b^4*y^2) v=[a^4/b^4*y^3+t*x^2-a^2/b^2*xy(s-x)]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^4/b^4y*b^2-a^4/b^4y*b^2/a^2*x^2+t*x^2-a^2/b^2y*xs+a^2/b^2y*x^2]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^4/b^2y-a^2/b^2x^2y+t*x^2-a^2/b^2y*xs+a^2/b^2y*x^2]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^4/b^2y-a^2/b^2x^2y+t*x^2+a^6/b^6y^2t+a^2/b^2y*x^2]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^4/b^2y-a^2/b^2(a^2-a^2/b^2y^2)y+t*(a^2-a^2/b^2y^2)+a^6/b^6y^2t+a^2/b^2y*(a^2-a^2/b^2y^2)]/(x^2+a^4/b^4*y^2)=[a^4/b^2y-a^2/b^2a^2y+a^2/b^2a^2/b^2y^3+t*a^2-t*a^2/b^2y^2+a^6/b^6y^2t+a^2/b^2y*a^2-a^2/b^2y*a^2/b^2y^2]/(x^2+a^4/b^4*y^2) или нет, пожалуй он прав... Уайлс, разумеется =[a^4/b^2y+a^2t-a^2/b^2y^2t+a^6/b^6y^2t]/(x^2+a^4/b^4*y^2) x^2+a^4/b^4*y^2=a^2-a^2/b^2y^2+a^4/b^4y^2=a^2(1-y^2/b^2+a^2/b^4y^2) u=[x+a^2/b^2*s+b^2/a^4x^2*s-1/b^2x^2*s]/(1-y^2/b^2+a^2/b^4y^2) v=[a^2/b^2y+t-1/b^2y^2t+a^4/b^6y^2t]/(1-y^2/b^2+a^2/b^4y^2) u^2+v^2={[x+a^2/b^2*s+b^2/a^4x^2*s-1/b^2x^2*s]^2+[a^2/b^2y+t-1/b^2y^2t+a^4/b^6y^2t]^2}/(1-y^2/b^2+a^2/b^4y^2)^2={x^2+a^4/b^4*s^2+b^4/a^8x^4*s^2+1/b^4x^4*s^2+2xa^2/b^2s+2xb^2/a^4x^2s-2x/b^2x^2s+2a^2/b^2sb^2/a^4x^2s-2a^2/b^2s/b^2x^2s-2/a^4x^4s^2+a^4/b^4y^2+x^4/a^4t^2+a^8/b^12y^4t^2+2/b^2yx^2t+2a^2/b^2ya^4/b^6y^2t+2x^2/a^2ta^4/b^6y^2t}/(1-y^2/b^2+a^2/b^4y^2)^2={x^2+a^4/b^4*s^2+b^4/a^8x^4*s^2+1/b^4x^4*s^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s+2a^2/a^4x^2s^2-2a^2/b^4x^2s^2-2/a^4x^4s^2+a^4/b^4y^2+x^4/a^4t^2+a^8/b^12y^4t^2+2/b^2yx^2t+2a^6/b^8y^3t+2a^2/b^6x^2y^2t^2}/(x^2/a^2+a^2/b^4y^2)^2 вам не кажется, мой юный друг, что мы уже катастрофически близки к разгадке?.. ={x^2+a^4/b^4*s^2+b^4/a^8x^4*s^2+1/b^4x^4*s^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s+2a^2/a^4x^2s^2-2a^2/b^4x^2s^2-2/a^4x^4s^2+a^4/b^4y^2+x^4/a^4t^2+a^8/b^12y^4t^2+2/b^2yx^2t+2a^6/b^8y^3t+2a^2/b^6x^2y^2t^2}/(x^2/a^2+a^2/b^4y^2)^2={x^2+a^4/b^4*s^2+b^4/a^8x^4*s^2+1/b^4x^4*s^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s+2a^2/a^4x^2s^2-2a^2/b^4x^2s^2-2/a^4x^4s^2+a^4/b^4y^2+x^4/a^4t^2+a^8/b^12y^4t^2+2/b^2yx^2t+2a^6/b^8y^3t+2a^2/b^6x^2y^2t^2}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={x^4/a^2+1/b^2y^2x^2+a^4/b^4y^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s+a^4/b^4*s^2+b^4/a^8x^4*s^2+1/b^4x^4*s^2+2a^2/a^4x^2s^2-2a^2/b^4x^2s^2-2/a^4x^4s^2+x^4/a^4t^2+a^8/b^12y^4t^2+2/b^2yx^2t+2a^6/b^8y^3t+2a^2/b^6x^2y^2t^2}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={x^2+a^4/b^4*s^2+b^4/a^8x^4*s^2+1/b^4x^4*s^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s+2a^2/a^4x^2s^2-2a^2/b^4x^2s^2-2/a^4x^4s^2+a^4/b^4y^2+x^4/a^4t^2+a^8/b^12y^4t^2+2/b^2yx^2t+2a^6/b^8y^3t+2a^2/b^6x^2y^2t^2}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={+a^4/b^2+a^6/b^4+3x^2-a^2/b^2x^2-2a^4/b^4x^2+b^4/a^6x^4-2/a^2x^4+a^2/b^4x^4-a^6/b^6t^2+a^8/b^8t^2-2/b^2x^2t^2+2a^2/b^4x^2t^2+2a^4/b^6x^2t^2-2a^6/b^8x^2t^2-b^2/a^6x^4t^2+1/a^4x^4t^2+2/a^2/b^2x^4t^2-2/b^4x^4t^2-a^2/b^6x^4t^2+a^4/b^8x^4t^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s+2/b^2yx^2t+2a^6/b^8y^3t}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={+a^4/b^2+a^6/b^4+2x^2-2a^4/b^4x^2-b^2/a^4x^4-1/a^2x^4-1/b^2x^4+a^2/b^4x^4+x^2-a^2/b^2x^2+b^4/a^6x^4-b^2/a^4x^4-1/a^2x^4+1/b^2x^4+a^6/b^6t^2-a^8/b^8t^2-2/b^6t^2((b^4-a^4)*x^2+a^6)+2a^2/b^8t^2((b^4-a^4)*x^2+a^6)-b^2/a^6x^4t^2+1/a^4x^4t^2+2/a^2/b^2x^4t^2-2/b^4x^4t^2-a^2/b^6x^4t^2+a^4/b^8x^4t^2+2a^2/b^2xs+2b^2/a^4x^3s-2/b^2x^3s-2a^2/b^2xs-2b^2/a^4x^3s+2/b^2x^3s}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={x^4/a^4(a^2+b^2)+2/b^4x^2y^2(a^2+b^2)+a^4/b^8y^4(a^2+b^2)-x^2+a^2/b^2x^2+b^4/a^6x^4-b^2/a^4x^4-1/a^2x^4+1/b^2x^4+a^6/b^6t^2-a^8/b^8t^2-b^2/a^6x^4t^2+1/a^4x^4t^2+2/a^2/b^2x^4t^2-2/b^4x^4t^2-a^2/b^6x^4t^2+a^4/b^8x^4t^2}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={x^4/a^4(a^2+b^2)+2/b^4x^2y^2(a^2+b^2)+a^4/b^8y^4(a^2+b^2)+(-(b^4-a^4)x^4+(b^4-a^4)a^2/b^2x^4+(b^4-a^4)b^4/a^6x^6-(b^4-a^4)b^2/a^4x^6-(b^4-a^4)/a^2x^6+(b^4-a^4)/b^2x^6-a^6x^2+a^8/b^2x^2+b^4x^4-a^2b^2x^4-a^4x^4+a^6/b^2x^4+a^6x^2-a^8/b^2x^2-b^8/a^6x^6+b^6/a^4x^6+2b^4/a^2x^6-2b^2*x^6-a^2x^6+a^4/b^2x^6)/((b^4-a^4)*x^2+a^6)}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={x^4/a^4(a^2+b^2)+2/b^4x^2y^2(a^2+b^2)+a^4/b^8y^4(a^2+b^2)+(0)/((b^4-a^4)*x^2+a^6)={x^4/a^4(a^2+b^2)+2/b^4x^2y^2(a^2+b^2)+a^4/b^8y^4(a^2+b^2)+(0)/((b^4-a^4)*x^2+a^6)}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)={(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)(a^2+b^2)}/(x^4/a^4+2/b^4x^2y^2+a^4/b^8y^4)=a^2+b^2. Таким образом, расстояние постоянно и равно a^2+b^2.

Геометр.
— Элементарно.


Ученик старшего класса средней школы.
Если касательные перпендикулярны, то их углы наклона t и -1/t. Пусть радиусы эллипса r (по горизонтали) и 1 (по вертикали). Сожмем по горизонтали в r раз, получим окружность и две касательные с углами наклона rt и -r/t, а отрезки, соединяющие центр окружности и точки касания имеют наклоны -1/rt и t/r. Значит точки касания -rt/srqt(1+r^2t^2),1/srqt(1+r^2t^2) и r/sqrt(r^2+t^2),t/sqrt(r^2+t^2), а прямые задаются уравнениями rtx+sqrt(1+r^2t^2) и -r/tx+sqrt(1+r^2/t^2), пересечение в точке (t+1/t)rx=sqrt(1+r^2/t^2)-sqrt(1+r^2t^2),(t+1/t)y=t*sqrt(1+r^2/t^2)+1/t*sqrt(1+r^2t^2). Остается только заметить, что сумма (t+1/t)^2((rx)^2+y^2)=1+r^2/t^2+1+r^2t^2+t^2+r^2+1/t^2+r^2=(r^2+1)(1/t^2+2+t^2)=(1+r^2)(1+1/t)^2, т.е., растягивая назад, точка (x,y) переходит в (rx,y) и расстояние до начала координат равно 1+r^2 -- не зависит от t.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

Будьте добры, напомните пожалуйста определение эллипса.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Будьте добры, напомните пожалуйста определение эллипса.
Эллипс

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Будьте добры, напомните пожалуйста определение эллипса.
Дык, элементарно...

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

"пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость"

"Осталось" выразить прямой угол касательных к окружности в проекции эллипса. Здесь то и "собака порылась". Простых уравнений не видно

Здравствуйте, gok, Вы писали:

gok>Здравствуйте, nikov, Вы писали:

gok>"пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость"

gok>"Осталось" выразить прямой угол касательных к окружности в проекции эллипса. Здесь то и "собака порылась". Простых уравнений не видно
Уравение касательной к эллипсу в точке x_1,y_1
x * x_1 / (a * a) + y * y_1 / (b*b) = 1
без ограничения общности можешь считать, что эллипс лежит центром в центре координат, а его оси параллельны осям СК.
решаешь систему уравнений для точки пересечения, при условии что касательные пересекаются.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>

V>Мы попросили людей разных профессий ответить на этот вопрос.

V>Тополог.
V>Философ.
V>Алгебраист.
V>Геометр.
V>- Элементарно.
V>
V>Ученик старшего класса средней школы.

А тут все кроме последнего доказательства шуточные? Или геометрическое норм? Мне хотелось бы понять геометрическое. Уже придумал переформулировку изначального утверждения:
Все описанные вокруг эллипса прямоугольника являются вписанными в окружность с центром в центре эллипса и радиусом sqrt(aa+bb). Я так чую от такой формулировки до доказательства 1 шаг, но никак не придумаю его.

Здравствуйте, Nuseraro, Вы писали:

N>Все описанные вокруг эллипса прямоугольника являются вписанными в окружность с центром в центре эллипса и радиусом sqrt(aa+bb). Я так чую от такой формулировки до доказательства 1 шаг, но никак не придумаю его.

N>

Надо использовать Поризм Понселе (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BC_%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B5).

Доказательство состоит из следующих шагов:
1) Любой эллипс вписан в какой-то прямоугольник. (Очевидно)
2) Прямоугольник вписан в окружность. (Очевидно)
3) Для любой точки окружности существует четырёхугольник с вершиной в этой точке, вписанный в окружность и описанный вокруг эллипса. (Поризм Понселе)
4) Из соображений симметрии четырёхугольник центрально симметричен. (Не знаю простого доказательства)
5) Центрально симметричный четырёхугольник — параллелограмм. (Очевидно)
6) Параллелограмм вписанный в окружность — прямоугольник. (Очевидно)

Конечно, из пушки по воробьям, зато без формул.

Здравствуйте, Nuseraro, Вы писали:

N>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>>

V>>Мы попросили людей разных профессий ответить на этот вопрос.

V>>Тополог.
V>>Философ.
V>>Алгебраист.
V>>Геометр.
V>>- Элементарно.
V>>
V>>Ученик старшего класса средней школы.

N>А тут все кроме последнего доказательства шуточные? Или геометрическое норм? Мне хотелось бы понять геометрическое. Уже придумал переформулировку изначального утверждения:
N>Все описанные вокруг эллипса прямоугольника являются вписанными в окружность с центром в центре эллипса и радиусом sqrt(aa+bb). Я так чую от такой формулировки до доказательства 1 шаг, но никак не придумаю его.

Все нешуточные. На самом деле, три последних доказательства верные. Алгебраическое -- "в лоб", без особой фантазии. Там действительно получается все наворочено, и я сделал где-то ошибку в первой части (если кто-то заметил, дайте знать), но потом переделал. Там все честно. Последнее -- смесь алгебры и геометрии. Ясно, что работать с окружностью удобнее, хотя бы потому, что касательные перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки касания и центр. Поэтому в алгебраической части там все намного проще получается, все выводится через две переменные -- угол наклона и отношение радиусов. А геометрическое доказательство -- это типа особое! Просто "геометр" поленился объяснять то, что ему и так очевидно из рисунка. Хотя на рисунке он даже эллипс забыл нарисовать.

Итак, геометрическое. Насколько я понимаю, геометрия не очень любит эллипсы. По крайней мере, я с ними работать не умею. Есть такой способ построения эллипса ("с помощью циркуля"): берем бумажку, рисуем окружность, отмечаем центр ее, точка A, затем ставим внутри ее любую другую точку -- точку B. Теперь выберем на окружности любую точку. Согнем лист пополам так, чтобы точка B попала в эту точку на окружности. Получили линию сгиба. Сделаем то же самое для другой точки окружности. И т.д., в идеале для всех точек окружностей. Тогда линии сгиба описывают кривую внутри окружности -- эллипс с фокусами в точках A и B. Один радиус эллипса равен половине радиуса окружности, а другой -- как-то выражается через радиус окружности и расстояние между A и B. Замечу, что при таком построении каждая линия сгиба является касательной к эллипсу.

Таким образом, дан эллипс. Берем один его фокус. Для каждой касательной отображаем фокус относительно ее. Получаем окружность с центром в другом фокусе. Наша задача сводится к следующей. Дана окружность с центром в A, берем любую точку B внутри окружности (это фокусы невидимого эллипса), строим прямой угол с вершиной в точке B, он пересекает окружность в точках C и D, т.е. эти точки на окружности, и угол CBD прямой, строим серединные перпендикуляры к BC и BD (перпендикулярные касательные к невидимому эллипсу), они пересекутся в точке M, причем, т.к. треугольник CBD прямоугольный, то точка M -- середина гипотенузы, отрезка CD. Пусть точка O -- середина отрезка AB (центр невидимого эллипса). Надо показать, что расстояние MO зависит только от расстояния AB и от радиуса окружности (эти две величины, как я раньше сказал, определяют радиусы невидимого эллипса, и наоборот, радиусы эллипса однозначно определяют расстояние AB -- расстояние между фокусами эллипса, и радиус окружности -- он равен диаметру эллипса).

В итоге. Есть две точки A и B, расстояние между ними x. Из точки B выпускаем два луча под прямым углом, на них отмечаем две точки -- C и D так, что AC=AD=y. Надо показать, что расстояние между серединой отрезка AB (точка O) и серединой отрезка CD (точка M) зависит только от x и y, т.е. не зависит от того, под каким углом выпускаются лучи. На рисунке геометр изобразил это красной окружностью. Заметьте, эллипсом тут уже и не пахнет.
Новый рисунок:

В принципе, тут уже более менее понятно. Самый простой способ, который я нашел, такой: MO -- медиана AMB, значит 2|MO|^2=|MA|^2+|MB|^2-|AB|^2/2 (это так выражается длина медианы через стороны -- можно вывести в одну строчку векторным способом, т.е. представить MA=MO+OA,MB=MO+OB, скалярно умножить на себя оба выражения и сложить), но т.к. MB=MD и треугольник AMD прямоугольный, то 2|MO|^2=|AD|^2-|AB|^2/2, т.е. |MO|^2=(2y^2-x^2)/4 -- не зависит ни от чего, кроме расстяния AB и радиуса окружности (другими словами, определяется только радиусами невидимого эллипса).

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, Nuseraro, Вы писали:

N>>Все описанные вокруг эллипса прямоугольника являются вписанными в окружность с центром в центре эллипса и радиусом sqrt(aa+bb). Я так чую от такой формулировки до доказательства 1 шаг, но никак не придумаю его.

N>>

А>Надо использовать Поризм Понселе (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BC_%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B5).

А>Конечно, из пушки по воробьям, зато без формул.

Интересная теорема. Только в данном случае это не просто "из пушки по воробьям", а, по сути, мы используем более общее утверждение, чтобы доказать частный случай. Возьмем прямоугольник, у которого стороны параллельны радиусам, как на рисунке. Теорема утверждает, что если мы теперь возьмем другую точку A, проведем касательную к эллипсу хорду AB, а затем касательную хорду BC, то точка C окажется напротив точки A, т.к. только в этом случае мы сможем построить дальше касательные CD и DA, и теорема будет верна. Но доказательство этого факта в данном конкретном случае окружности и эллипса сводится по сути к исходной задаче, т.к. точка C окажется напротив A только в том случае, если угол ABC прямой. Видимо, доказательство более общего утверждения вряд ли легче.

Best answer ever!

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Интересная теорема. Только в данном случае это не просто "из пушки по воробьям", а, по сути, мы используем более общее утверждение, чтобы доказать частный случай. Возьмем прямоугольник, у которого стороны параллельны радиусам, как на рисунке. Теорема утверждает, что если мы теперь возьмем другую точку A, проведем касательную к эллипсу хорду AB, а затем касательную хорду BC, то точка C окажется напротив точки A, т.к. только в этом случае мы сможем построить дальше касательные CD и DA, и теорема будет верна. Но доказательство этого факта в данном конкретном случае окружности и эллипса сводится по сути к исходной задаче, т.к. точка C окажется напротив A только в том случае, если угол ABC прямой. Видимо, доказательство более общего утверждения вряд ли легче.

Поризм Понселе — это утверждение, которое элементарно сформулировать, но очень сложно доказать. Я знаю, "элементарные" доказательства. Но элементарные доказательства слишком далеко уводят от сути: Поризм Понселе — это следствие из теоремы сложения точек на эллиптической кривой.

Решить задачу про эллипс в лоб, выписав три уравнения, для меня не составляло труда. Интереснее было решить задачу в уме. При этом я решил, что при таких условиях воспользоваться Поризмом Понселе не зазорно.

Итак, мы имеем Поризм Понселе, которые с одной стороны, является более общим утверждением, а с другой не объясняет почему углы в нашем случае прямые. Чтобы это объяснить, надо воспользоваться центральной симметрией чертежа.

Я дам своё не очень изящное доказательство.



Попробую объяснить, что на этой картинке нарисовано. Возьмём точку A и построим точки B и C с помощью касательных к эллипсу. Пусть центрально симметричная точке А точка D не совпала с точкой С. Предположим произошёл "недолёт". Построим симметричные точки точкам А, В и С. Назовём их D, E и F. Теперь начнём двигать точку D по направлению к A. Это в свою очередь приведёт к движению точки F. Будем продолжать движение пока F не совпадёт с A. В то же время точки C и D не будут совпадать, так как при движении точка D всё больше удалялась от C. Согласно Поризму Понселе ломанная C, B,A(F),E, D должна быть замкнутой. Противоречие.

Здравствуйте, Nuseraro, Вы писали:

N>Я так чую от такой формулировки до доказательства 1 шаг, но никак не придумаю его.

Есть еще варианты.

Первая теорема Аполлония: сумма квадратов сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная, равная сумме квадратов его полуосей.

Т.е. как раз то, что нам нужно.

Есть еще:

Вторая теорему Аполлония: площадь описанного около эллипса параллелограмма, стороны которого имеют сопряженные направления, постоянна и равна 4ab

Вроде тоже проходит.

О сопряженных диаметрах эллипса:

Если провести хорды окружности, параллельные ее диаметру, то середины этих хорд принадлежат перпендикулярному диаметру. Середины хорд, параллельных второму диаметру, принадлежат первому диаметру. При сжатии два перпендикулярных диаметра окружности отображаются в два диаметра эллипса, которые называются сопряженными. Два направления, параллельных направлениям сопряженных диаметров, называются сопряженными.
Если хорды, параллельные одному диаметру эллипса делятся другим диаметром пополам, то и хорды, параллельные другому диаметру эллипса, делятся первым диаметром пополам. Такие два диаметра являются сопряженными диаметрами эллипса. Каждому диаметру отвечает вполне определенный сопряженный ему диаметр. Главные диаметры (оси) эллипса одновременно являются перпендикулярными и сопряженными диаметрами.

Более подробно об этом см.
http://www.pm298.ru/ellips17.php
http://www.pm298.ru/ellips18.php

Может быть из этого что-нибудь придумать. У меня не получилось

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

Всё немного проще



Ну а гмт точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух точек постоянна -- окружность.

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы