Здравствуйте,

Я прорешиваю задачки из учебника Гмурмана, и некоторые вызывают затруднения.
К примеру, следующая:

Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра.
Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны.
Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:
а) в первый раз
б) во второй раз
в) в оба раза

Ответы: а) 3/5; б) 3/5; в) 3/10;

Первое просто — три благоприятствующих исхода из пяти
Третье у меня тоже получилось просто — вероятность первого (3/5) умножить на условную вероятность второго (2/4), вычисленную в предположении, что первое событие наступило.

Второй ответ у меня не получается — чтобы нечетная цифра получилась только во второй раз, нужно вероятность отрицательного первого исхода 2/5 умножить на вероятность положительного второго (3/4), что дает в результате снова 3/10, а совсем не 3/5.

Как моя жена заметила — у учебника двенадцатое переиздание, так что вероятность ощибки ничтожно мала.

Так вот, вопрос — в чем я ошибаюсь?

Заранее благодарю,

Андрей

Здравствуйте, Andrew S., Вы писали:

AS>Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра.
AS>Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны.
AS>Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:
AS>а) в первый раз
AS>б) во второй раз
AS>в) в оба раза

AS>Второй ответ у меня не получается — чтобы нечетная цифра получилась только во второй раз, нужно вероятность отрицательного первого исхода 2/5 умножить на вероятность положительного второго (3/4), что дает в результате снова 3/10, а совсем не 3/5.

Ты смотришь только вариант: четная цифра — нечетная цифра.
Но условию "б" удовлетворяет также: нечетная цифра — нечетная цифра.

Итого: 2/5 * 3/4 + 3/5 * 2/4 = 12/20 = 3/5

Здравствуйте, Andrew S., Вы писали:

AS>Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра.
AS>Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны.
AS>Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:
AS>а) в первый раз
AS>б) во второй раз
AS>в) в оба раза

AS>Второй ответ у меня не получается — чтобы нечетная цифра получилась только во второй раз, нужно вероятность отрицательного первого исхода 2/5 умножить на вероятность положительного второго (3/4), что дает в результате снова 3/10, а совсем не 3/5.

Твоя ошибка в выделенном слове. В условии задачи в варианте б) нет слова "только". Т.е. исход когда обе выбранные цифре нечетные также удовлетворяют этому варианту.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Твоя ошибка в выделенном слове. В условии задачи в варианте б) нет слова "только". Т.е. исход когда обе выбранные цифре нечетные также удовлетворяют этому варианту.

Точно, так сходится! Спасибо!

Поскольку моя задача тоже типовая по ТВ, решил не открывать новую тему, написать здесь.
Запутался в решении

Есть три непересекающихся множества мощностью в 16, 16 и 17 элементов.
Из этих множеств строится союз (сумма).
Наугад берутся семь элементов из суммы.
Какая вероятность, что пять из взятых или больше окажутся из одного и того же подмножества.

Я считаю так, но уверен, что тут ошибка.
Задача равносильна следующей.
Итак, разложить семь шаров по шести коробкам можно следующим образом:

7 0 0 — три варианта
6 1 0 — шесть вариантов
5 2 0 — шесть
5 1 1 — три
4 3 0 — 6
и тд.
Получается, что пять или больше случается в 18 из 36 случаев, что равно вероятности в 0.5 (что кажется мне завышенным)

Проблема в том, что задача не сводится к шарам и коробкам, поскольку множества уменьшаются
по мере выборки из них элементов.

Будет что-то типа:

17/49 * 16/49 * 15/49 * 14/49 * 13/49 +
16/49 * 15/49 * 14/49 * 13/49 * 12/49 +
16/49 * 15/49 * 14/49 * 13/49 * 12/49 +

что кажется мне слишком заниженным.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Поскольку моя задача тоже типовая по ТВ, решил не открывать новую тему, написать здесь.
А>Запутался в решении

А>Есть три непересекающихся множества мощностью в 16, 16 и 17 элементов.
А>Из этих множеств строится союз (сумма).
А>Наугад берутся семь элементов из суммы.
А>Какая вероятность, что пять из взятых или больше окажутся из одного и того же подмножества.

Считай влоб.
C(x,n) — кол-во вариантов выбора х элементов из n. = n! / (x!*(n-x)!)
C(7,49) — всего вариантов.
N1 = C(5,16) * C(2,33) + C(6,16) * C(1,33) + C(6, 16) — случаи когда все выбранные элементы из 1ого множества
N2 = (5,16) * C(2,33) + C(6,16) * C(1,33) + C(6, 16) — случаи когда все выбранные элементы из 2ого множества
N3 = (5,17) * C(2,32) + C(6,17) * C(1,32) + C(7, 17) — случаи когда все выбранные элементы из 3его множества
случаи не пересекаются и описывают все случаи. так что вероятность будет
(N1 + N2 + N3) / C(7,49)
подсчет и оптимизация за вами



А>Я считаю так, но уверен, что тут ошибка.
А>Задача равносильна следующей.
А>Итак, разложить семь шаров по шести коробкам можно следующим образом:

А>7 0 0 — три варианта
А>6 1 0 — шесть вариантов
А>5 2 0 — шесть
А>5 1 1 — три
А>4 3 0 — 6
А>и тд.
А>Получается, что пять или больше случается в 18 из 36 случаев, что равно вероятности в 0.5 (что кажется мне завышенным)

А>Проблема в том, что задача не сводится к шарам и коробкам, поскольку множества уменьшаются
А>по мере выборки из них элементов.

А>Будет что-то типа:

А> 17/49 * 16/49 * 15/49 * 14/49 * 13/49 +
А> 16/49 * 15/49 * 14/49 * 13/49 * 12/49 +
А> 16/49 * 15/49 * 14/49 * 13/49 * 12/49 +

А>что кажется мне слишком заниженным.

G>Считай влоб.
G>C(x,n) — кол-во вариантов выбора х элементов из n. = n! / (x!*(n-x)!)
G>C(7,49) — всего вариантов.
G>N1 = C(5,16) * C(2,33) + C(6,16) * C(1,33) + C(6, 16) — случаи когда все выбранные элементы из 1ого множества
G>N2 = (5,16) * C(2,33) + C(6,16) * C(1,33) + C(6, 16) — случаи когда все выбранные элементы из 2ого множества
G>N3 = (5,17) * C(2,32) + C(6,17) * C(1,32) + C(7, 17) — случаи когда все выбранные элементы из 3его множества
G>случаи не пересекаются и описывают все случаи. так что вероятность будет
G>(N1 + N2 + N3) / C(7,49)
G>подсчет и оптимизация за вами

Ага, спасибо!
Получилось 0.10.., что вполне логично.