Вы приглашены в гости к своему другу. Вы знаете, что у него двое детей, но не знаете их пол. Когда вы пришли в гости, в дверях вас встретил один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Потом вышел папа и сказал "Это — мой старший". Какова теперь вероятность, что оба ребенка — мальчики?
Будем считать, что рождение мальчика и девочки равновероятны, и пол двух детей независим.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Вы приглашены в гости к своему другу. Вы знаете, что у него двое детей, но не знаете их пол. Когда вы пришли в гости, в дверях вас встретил один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Потом вышел папа и сказал "Это — мой старший". Какова теперь вероятность, что оба ребенка — мальчики?
N>Будем считать, что рождение мальчика и девочки равновероятны, и пол двух детей независим.
Смутное ощущение, что задача уже была и было сломано много копий, но исхода не помню .
На первый взгляд ответ 0.5 и 0.5, т.к. в обоих ситуациях возможных исходов ровно два (оба мальчики/мальчик и девочка) и они по условию равновероятны.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Вы приглашены в гости к своему другу. Вы знаете, что у него двое детей, но не знаете их пол. Когда вы пришли в гости, в дверях вас встретил один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Потом вышел папа и сказал "Это — мой старший". Какова теперь вероятность, что оба ребенка — мальчики?
Задача решается прямым подсчетом. Пусть левая буква — это пол старшего ребенка, а правая — пол младшего. Изначально возможны 4 равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ, ДД.
После того, как мы увидели, что один из детей — мальчик (мы пока не знаем, старший это или младший), вариант ДД отпадает. Остаются 3 равновероятных варианта ММ, МД, ДМ. Вероятность исхода ММ — 1/3.
После того, как мы узнаем, что мальчик — это старший ребенок, остаются равновероятные варианты ММ и МД. Вероятность исхода ММ — 1/2.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Задача решается прямым подсчетом. Пусть левая буква — это пол старшего ребенка, а правая — пол младшего. Изначально возможны 4 равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ, ДД.
Тут ошибка. Старшинство нас в этой задаче не интересует, поэтому полная группа событий включает три исхода: ММ, ДД, МД. И ее искусственное расширение неправомерно.
P.S. А следуя вашей логике, можно еще добавить вариант мальчика и девочки одного возраста.
Здравствуйте, wildwind, Вы писали:
W>Тут ошибка. Старшинство нас в этой задаче не интересует, поэтому полная группа событий включает три исхода: ММ, ДД, МД. И ее искусственное расширение неправомерно.
Хорошо, давай попробуем отвлечся от возрастов. С чего ты решил что три исхода ММ, ДД, МД равновероятны?
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Вы приглашены в гости к своему другу. Вы знаете, что у него двое детей, но не знаете их пол. Когда вы пришли в гости, в дверях вас встретил один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Потом вышел папа и сказал "Это — мой старший". Какова теперь вероятность, что оба ребенка — мальчики?
N>Будем считать, что рождение мальчика и девочки равновероятны, и пол двух детей независим.
Такая же, как и в прошлый раз: 1/3 и 1/2, соответственно.
В коробку положили две монетки и потрясли, затем достали одну, оказалось, что она лежала орлом вверх, значит из четырех возможных положений монеток невозможным оказалось только одно, решка-решка, а все остальные три по-прежнему равновероятные, одно из которых мальчик-мальчик, т.е., я хотел сказать, орел-орел. Теперь две монетки кидают на стол, первый бросок вы видите, выпал орел, из четырех возможных комбинаций остались две, одна из которых орел-орел.
Вот еще одна интересная трактовка (только что придумал). Ваша любимая футбольная команда играет с другой командой две игры (на своем поле и на чужом) за выход в групповой этап турнира. За выигрыш команда получает 3 очка, за ничью -- 1 очко, за проигрыш -- 0 очков. В случае равенства очков по результатам двух игр Вы считаете, что шансы на выход 50 на 50. Изначально вы расцениваете вероятности Вашей команды выиграть и проиграть в каждом из матчей как приблизительно равные, но есть еще какая-то вероятность того, что матч закончится вничью. Сегодня Вы услышали, что Ваша любимая команда в борьбе за выход в групповой турнир одержала победу. Какова МАКСИМАЛЬНАЯ вероятность того, что Ваша команда все же не выйдет в групповой турнир, в случае, если Вы понятия не имеете был ли это первый матч или уже второй, и в случае, если Вы следите за турниром и знаете, что сегодня была первая встреча двух команд.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Хорошо, давай попробуем отвлечся от возрастов. С чего ты решил что три исхода ММ, ДД, МД равновероятны?
Этого я не утверждал. После того, как увидели мальчика, исход ДД отпал. А вот оставшиеся ММ и МД равновероятны. Эта ситуация аналогична следующей: в семье уже есть n детей в любой пропорции, и завтра должен родиться n+1-й. По условию пол следующего не зависит от пола предыдущих, следовательно оба исхода равновероятны.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>В коробку положили две монетки и потрясли, затем достали одну, оказалось, что она лежала орлом вверх, значит из четырех возможных положений монеток невозможным оказалось только одно, решка-решка, а все остальные три по-прежнему равновероятные
Как так только одно? решка-орел также уже невозможно! Мы ведь достали конкретную монету, значит оба положения, где она решкой, невозможны.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Такая же, как и в прошлый раз: 1/3 и 1/2, соответственно.
Как раз-таки при такой постановке задачи ответ будет 1/2 и 1/2. Попробуй написать моделирующую программу, в которой рождаются двое детей случайного пола, случайный из них выходит на крыльцо и выбираются случаи, когда он оказался мальчиком. Потом подсчитывается доля случаев из них, когда оба ребенка оказались мальчиками. Частота будет около 1/2.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>>Вы приглашены в гости к своему другу. Вы знаете, что у него двое детей, но не знаете их пол. Когда вы пришли в гости, в дверях вас встретил один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Потом вышел папа и сказал "Это — мой старший". Какова теперь вероятность, что оба ребенка — мальчики?
N>>Будем считать, что рождение мальчика и девочки равновероятны, и пол двух детей независим.
V>Такая же, как и в прошлый раз: 1/3 и 1/2, соответственно.
V>В коробку положили две монетки и потрясли, затем достали одну, оказалось, что она лежала орлом вверх, значит из четырех возможных положений монеток невозможным оказалось только одно, решка-решка, а все остальные три по-прежнему равновероятные, одно из которых мальчик-мальчик, т.е., я хотел сказать, орел-орел.
Какие три комбинации? Было четыре комбинации ОО, ОР, РО, РР. Узнали, что первая монета лежит орлом вверх. Осталось ОР и ОО.
То же с М (мальчиками) и Д (девочками). Узнали, что один мальчик, значит второй либо М, либо Д. А то, что он старщий, вообще ни на что не влияет. => 1/2 и 1/2
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Задача решается прямым подсчетом. Пусть левая буква — это пол старшего ребенка, а правая — пол младшего. Изначально возможны 4 равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ, ДД. А>После того, как мы увидели, что один из детей — мальчик (мы пока не знаем, старший это или младший), вариант ДД отпадает. Остаются 3 равновероятных варианта ММ, МД, ДМ. Вероятность исхода ММ — 1/3. А>После того, как мы узнаем, что мальчик — это старший ребенок, остаются равновероятные варианты ММ и МД. Вероятность исхода ММ — 1/2.
Задача решается прямым подсчетом. Пусть левая буква — это пол ребенка, которому суждено встретить гостя в назначенный день, а правая — пол другого. Изначально возможны 4 равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ, ДД.
После того, как мы увидели, что вышел мальчик, варианты ДД и ДМ отпадают. Остаются 2 равновероятных варианта ММ и МД. Вероятность исхода ММ — 1/2.
После того, как мы узнаем, что мальчик — это старший ребенок, ничего не меняется.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Такая же, как и в прошлый раз: 1/3 и 1/2, соответственно.
V>В коробку положили две монетки и потрясли, затем достали одну, оказалось, что она лежала орлом вверх, значит из четырех возможных положений монеток невозможным оказалось только одно, решка-решка, а все остальные три по-прежнему равновероятные, одно из которых мальчик-мальчик, т.е., я хотел сказать, орел-орел. Теперь две монетки кидают на стол, первый бросок вы видите, выпал орел, из четырех возможных комбинаций остались две, одна из которых орел-орел.
Не-не-не. Видя конкретную монетку (или мальчика) так говорить уже нельзя. Есть эта монетка, и, та, другая. 1/3 появляется, когда нам дают меньше информации; говорят "один из", без конкретизации — какой именно.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Задача решается прямым подсчетом. Пусть левая буква — это пол старшего ребенка, а правая — пол младшего. Изначально возможны 4 равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ, ДД. А>После того, как мы увидели, что один из детей — мальчик (мы пока не знаем, старший это или младший), вариант ДД отпадает.
Объясню еще по другому. Если бы кто-то зашел в дом, посмотрел на обоих детей, вышел и сказал бы нам: "Хотя бы один из детей — мальчик", то вероятность, что там два мальчика, действительно была бы 1/3.
Но способ узнавания информации, описанный в задаче — другой. При нем мы, увидев одного ребенка на крыльце, не всегда узнаем, что хотя бы один из детей мальчик, если это действительно так.
Здравствуйте, nikov, Вы писали:
N>Вы приглашены в гости к своему другу. Вы знаете, что у него двое детей, но не знаете их пол. Когда вы пришли в гости, в дверях вас встретил один из детей — мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Потом вышел папа и сказал "Это — мой старший". Какова теперь вероятность, что оба ребенка — мальчики?
N>Будем считать, что рождение мальчика и девочки равновероятны, и пол двух детей независим.
Я кажется не учел постановки вопроса. Сейчас популярно объясню, когда вероятность получается 1/3, а когда 1/2. Рассмотрим две разные версии вопроса.
Первая: "я знаю, что у Петровых двое детей, один из которых мальчик", вторая: "я знаю, что у Петровых есть двое детей, а вчера я встретил их на улице с одним из них -- мальчиком".
Чтобы стало яснее, перевожу на шары. В корзину кладут два шара, каждый с вероятностью 1/2 белый, с вероятностью 1/2 черный. Первая постановка вопроса: "я знаю, что там точно есть белый шар", вторая: "я достал наугад один шар, он оказался белым".
Есть четыре изначально равновероятных гипотезы: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
Первая постановка. Есть достоверная информация, что там точно есть белый. Вероятность того, что такая информация достоверна в случае ЧЧ равна 0, а в остальных случаях равна 1. Т.е. такая информация отметает одну гипотезу, но не пересчитывает вероятности остальных. Т.е. вероятность ББ равна 1/3. Можно прямо убедиться в этом по формуле Байеса: Вер(ББ при условии, что есть белый)=Вер(есть белый при условии ББ)*Вер(ББ)/[1.4*(Вер(есть белый при условии ББ) + Вер(есть белый при условии БЧ) + Вер(есть белый при условии ЧБ) + Вер(есть белый при условии ЧЧ))]=(1/4)/(3/4)=1/3.
Вторая постановка. Есть информация, что наугад выбранный шар оказался белым. Вероятность того, что такое случилось в случае ЧЧ равна 0, в случаях БЧ и ЧБ равна 1/2, а в случае ББ равна 1. Таким образом такая информация отметает одну гипотезу, а также делает одну из оставшихся вдвое более вероятной, чем остальные две. Т.е. в итоге вероятность того, что там ББ равна 1/2. Проверим по Байесу: Вер(ББ при условии, что наугад выбранный белый)=Вер(наугад выбранный белый при условии ББ)*Вер(ББ)/[1/4*(Вер(наугад белый при ББ)+Вер(наугад белый при БЧ)+Вер(наугад белый при ЧБ)+Вер(наугад белый при ЧЧ)]=(1/4)/(2/4)=1/2.
Итак, надо различать две постановки. Первая, когда информация о том, что один ребенок мальчик, не говорит ничего о том, при каком раскладе получение этой информации было более вероятным, а вторая -- когда сам факт получения этой информации говорит о том, при каком раскладе получение ее было более вероятным.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Рассмотрим две разные версии вопроса.
V>Первая: "я знаю, что у Петровых двое детей, один из которых мальчик", вторая: "я знаю, что у Петровых есть двое детей, а вчера я встретил их на улице с одним из них -- мальчиком".
Я все-таки не вижу разницы. В обоих случаях мы получаем одинаковую информациию, неважно каким способом.
Здравствуйте, wildwind, Вы писали:
W>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Рассмотрим две разные версии вопроса.
V>>Первая: "я знаю, что у Петровых двое детей, один из которых мальчик", вторая: "я знаю, что у Петровых есть двое детей, а вчера я встретил их на улице с одним из них -- мальчиком".
W>Я все-таки не вижу разницы. В обоих случаях мы получаем одинаковую информациию, неважно каким способом.
Так именно, что важно! Потому как мы получаем РАЗНУЮ информацию. В первом случае вся информация -- у них есть мальчик. Во втором случае информация -- у них есть мальчик, и наугад выбранный нами ребенок оказался мальчиком.
Вот смотри. Опять усиливаю эффект. Перед тобой корзина с 1001 шаром. С вероятностью 1/3 все белые, с вероятностью 1/3 все кроме одного черные, с вероятностью 1/3 -- все черные. В одном случае я тебе говорю, там есть белый. Остаются первые две с вероятностью 1/2. Во втором я вытаскиваю случайно шар, он белый. Вроде как та же информация -- там есть белый. Та, да не та. Я вытащил шар наугад, он белый. Это делает первую корзину очень вероятной, вторую -- с малой вероятностью, но возможной, третью -- невозможной вовсе. Вот и вся разница.
Здравствуйте, wildwind, Вы писали:
W>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Рассмотрим две разные версии вопроса.
V>>Первая: "я знаю, что у Петровых двое детей, один из которых мальчик", вторая: "я знаю, что у Петровых есть двое детей, а вчера я встретил их на улице с одним из них -- мальчиком".
W>Я все-таки не вижу разницы. В обоих случаях мы получаем одинаковую информациию, неважно каким способом.
Вот, в подтверждение набросал программку. Наугад рождаются двое детей. Встречаем одного из них случайно. Смотрим, если это мальчик, то смотрим как часто при этом второй также оказался мальчиком. Далее смотрим, если родился хоть один мальчик, то мы "сообщаем" об этом третьему лицу, и смотрим с какой вероятностью оба мальчика. Т.е. первая вероятность в постановке "я увидел их с мальчиком", а вторая -- "я знаю, что у них есть мальчик".
Результат:
Pairs born: 524799
Pr{1st is a boy}: 0.498587
Pr{2nd is a boy}: 0.499704
Pr{2 boys when met a boy}: 0.49945
Pr{2 boys when one is a boy}: 0.33185
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>В первом случае вся информация -- у них есть мальчик. Во втором случае информация -- у них есть мальчик, и наугад выбранный нами ребенок оказался мальчиком.
То что наугад выбранный ребёнок оказался мальчиком не даёт никакой новой информации к тому факту что один из детей мальчик.
Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Первая: "я знаю, что у Петровых двое детей, один из которых мальчик", вторая: "я знаю, что у Петровых есть двое детей, а вчера я встретил их на улице с одним из них -- мальчиком".
Давай, я усложню ситуацию. Ты встречаешь Петрова на улице и он тебе говорит: "Хотя бы один из моих детей — мальчик. Кстати, вот его фотография". Какая теперь вероятность?
.
