расстояние от вершины до центра основания = srqt(3)/2
расстояние от вершины до проекции центра основания на плоскость = 3/4
расстояние между центрами оснований = srqt(3)/2
расстояние между проекциями центров оснований = srqt(3)/2
расстояние от вершины до середины отрезка, соединяющего проекции центров оснований = sqrt(6)/4
расстояние от вершины до середины отрезка, соединяющего центры оснований = 3/4
косинус угла между плоскостью и отрезком, по которому касаются конусы = sqrt(6)/3
синус того же угла = sqrt(3)/3
расстояние от плоскости до дальнего конца отрезка, по которому касаются конусы = sqrt(3)/3
Из соображений симметрии (аналогичная плоскость сверху) следует, что отрезки "вершина — центры оснований" и отрезок касания лежат в одной плоскости. Также известна высота центра основания (любого). Дальше расчёт.
Аналогичное применимо и к конусам с разным диаметром оснований. При расчёте тогда нужно будет учесть высоты обоих оснований. Угол 60 сначала ошибочно считал (ответ 1/2), но он больше, т.к. конусы раздвинуты.
N>расстояние от вершины до центра основания = srqt(3)/2
N>расстояние от вершины до проекции центра основания на плоскость = 3/4
N>расстояние между центрами оснований = srqt(3)/2
Разве из этого не следует (или наоборот), конусы касаются по прямой проходящей через вершину и точку пересечения "горизонтальный диаметров оснований"? Из чего последняя и является максимально удаленной от плоскости на sqrt(3)/4 :xz:
N>расстояние между проекциями центров оснований = srqt(3)/2
N>расстояние от вершины до середины отрезка, соединяющего проекции центров оснований = sqrt(6)/4
N>расстояние от вершины до середины отрезка, соединяющего центры оснований = 3/4
N>косинус угла между плоскостью и отрезком, по которому касаются конусы = sqrt(6)/3
N>синус того же угла = sqrt(3)/3
N>расстояние от плоскости до дальнего конца отрезка, по которому касаются конусы = sqrt(3)/3
N>
Здравствуйте, Iso, Вы писали:
Iso>Два одинаковых конуса с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях лежат на плоскости (т.е. в плоскости находится вершина каждого конуса, ровно одна точка с окружности и отрезок между ними). При этом конусы касаются друг друга так, что их вершины совпадают. Надо найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания одного конуса другим.
Iso>Пожалуйста, не пишите здесь решение, чтобы не лишать других удовольствия справиться самостоятельно.
У меня тоже получилось sqrt(3) / 4
Почему-то это не является правильным ответом, хотя выше говорилось, что решение приблизительно равно 0.43...
sqrt(3) / 4 = 0.4330127018922193
Здравствуйте, Beam, Вы писали:
B>У меня тоже получилось sqrt(3) / 4
B>Почему-то это не является правильным ответом, хотя выше говорилось, что решение приблизительно равно 0.43... B>sqrt(3) / 4 = 0.4330127018922193
Ой! Автор задачи про 0,43 ничего такого не говорил... Сорри
Здравствуйте, Iso, Вы писали:
Iso>Два одинаковых конуса с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях лежат на плоскости (т.е. в плоскости находится вершина каждого конуса, ровно одна точка с окружности и отрезок между ними). При этом конусы касаются друг друга так, что их вершины совпадают. Надо найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания одного конуса другим.
Здравствуйте, Iso, Вы писали:
SC>>1/2 Iso>Тоже хороший ответ. Iso>Я знаю два разных неправильных способа его получения
А обещал, что по ответу можешь указать ошибку...
Вот у меня ответ 0,42. И какая ошибка?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
D>Сабж. ~0.577. Если неверно, проверю все выкладки в четвёртый раз (первые два получалась фигня, сейчас вроде бы похоже на правду).
Ну раз выше уже алгоритмы решений пошли, то и я отмечусь: http://dimgel.ru/rsdn/etude.png (вид сбоку и вид сверху). Касательная на втором рисунке — проекция вертикальной плоскости, разделяющей два конуса.
Благодаря тому, что конусы особенные -- построены на равносторонних треугольниках -- тот же расчет можно сделать проще, без записей.
Легко заметить, что высоты конусов (обе длиной sin60) составляют равносторонний треугольник. Его третья сторона соединяет центры конусов и поднята над опорной плоскостью на 0.5sin60.
Медиана этого треугольника (та из медиан, которая разбивает третью сторону пополам) лежит в отрезке касания конусов. Ее длина sin60^2.
То есть медиана длиной sin60^2 возвышается над плоскостью на 0.5sin60.
Значит, отрезок касания длиной 1, который ее включает, "поднимется" над плоскостью на высоту 0.5sin60 / sin60^2 = 0.5 / sin60 = 1/sqrt3.
Тот, кто желает, но не делает, распространяет чуму.
Напишите, пожалуйста, как решали.
Уже второй раз вижу такую версию ответа, поэтому интересно разобраться, где ошибка
(первый раз показалось, что просто арифметический обсчёт)
Здравствуйте, Erop
SC>>>1/2 Iso>>Тоже хороший ответ. Iso>>Я знаю два разных неправильных способа его получения E>А обещал, что по ответу можешь указать ошибку...
Да, есть такой косяк, что 0.5 неоднозначно указывает на ошибку.
Но если знать, сколько времени человек решал задачу, то можно весьма точно указать
Потому что одна ошибка получается на первых минутах решения, а другая — минут через 10-15.
E>Вот у меня ответ 0,42. И какая ошибка?
Sqrt(3)/4?
Это весьма типичный ответ.
И ошибку можно характеризовать как "неверный чертёж"
В том смысле, что рисуется не очень корректная картинка, которая навязывает неправильные алгебраические действия.
S>Получил такой же ответ. Подвоха только не нашел. Задача показалась очень простой. Наверное, ошибся. S>0.5 * sin(pi/3) = sqrt(3)/4
В этом и прелесть задачки, что она кажется простой
Более того, она простая, только обманки раскиданы вокруг решения, поэтому получаются неверные ответы (как и в Вашем случае).
Так и хочется сказать про задачку "сейчас таких не делают"... увы, это правда.
А было время, когда такая задача считалась нормальной вступительной в ВУЗ...
Здравствуйте, Iso, Вы писали:
S>>Получил такой же ответ. Подвоха только не нашел. Задача показалась очень простой. Наверное, ошибся. S>>0.5 * sin(pi/3) = sqrt(3)/4
Iso>В этом и прелесть задачки, что она кажется простой Iso>Более того, она простая, только обманки раскиданы вокруг решения, поэтому получаются неверные ответы (как и в Вашем случае).
Iso>Так и хочется сказать про задачку "сейчас таких не делают"... увы, это правда. Iso>А было время, когда такая задача считалась нормальной вступительной в ВУЗ...
Да. Я осознал правильное решение. Только осознал своим сопособом. Представил, что конусы развернуты вершинами в противоположные стороны. Тогда они касаются основанием в самой нижней точке. Если их начинать поворачивать вершинами друг к другу, то точка касания начнет подниматься. Решение sqrt(3)/4 получится в момент, когда конусы лежат параллельно (их высоты параллельны). Поворачивая их дальше, получаем еще большую высоту. и Максимум получим, когда вершины сомкнуться.
При поступлении в ВУЗ все таки голова лучше работает, чем через N лет после его окончания. Я уже к 5-му курсу не решил бы и половины вступительных задач.
Здравствуйте, Iso, Вы писали:
B>>sqrt(1/5). Да? Iso>Увы.
Iso>Напишите, пожалуйста, как решали. Iso>Уже второй раз вижу такую версию ответа, поэтому интересно разобраться, где ошибка Iso>(первый раз показалось, что просто арифметический обсчёт)
Iso>Заранее спасибо!
1. По условию, вершины обоих конусов лежат на плоскости. Представим немного другую картину — вершина находится на расстоянии 1/2 от плоскости. В этом случае оси конусов будут параллельны плоскости.
2. Обозначим вершину конусов как B, точку соприкосновения оснований конусов как A. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость. Получим точку C на плоскости. У нас получился прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке A. AB = 1, AC = 1/2. Откуда BC = sqrt(5) / 2
3. Теперь вернем вершину на место — на плоскость — "повернем" конусы При этом треугольник ABC ляжет на плоскость своей гипотенузой BC. Опустим из точки A высоту AD на гипотенузу BC. AD — это и есть искомая величина.
Т.к. ACD и ADB — прямоугольные треугольник, составляем уравнения:
CD^2 + AD^2 = AC^2 = 1/4
BD^2 + AD^2 = AB^2 = 1
BD + CD = CB = sqrt(5) / 2
Из первых двух: BD^2 — CD^2 = (BD-CD)(BD+CD) = 3/4
Далее находим (BD-CD), BD, а затем и AD = sqrt(5) / 2
S>Да. Я осознал правильное решение. Только осознал своим сопособом. Представил, что конусы развернуты вершинами в противоположные стороны. Тогда они касаются основанием в самой нижней точке. Если их начинать поворачивать вершинами друг к другу, то точка касания начнет подниматься.
Спасибо, что так подробно записали. Я иногда работаю со школьниками, поэтому мне важны различные взгляды на одинаковые вещи Чтобы их лучше понимать.
S>При поступлении в ВУЗ все таки голова лучше работает, чем через N лет после его окончания. Я уже к 5-му курсу не решил бы и половины вступительных задач.
Это верно, если Вы говорите о тех задачах, что пришлось решать "тогда давно". А нынешние вступительные стали совсем простыми. Иногда не понятно, как замотивировать ребёнка учиться, если школьные выпускные и ВУЗовские вступительные варианты больше похоже на отбор из подготовительной группы детского сада в первый класс
B>Далее находим (BD-CD), BD, а затем и AD = sqrt(5) / 2 B>Мне тоже интересно, где ошибка...
Спасибо большое, что так подробно всё записали.
Ошибка у Вас в чертеже, если хотите, то укажу точнее.
Но полагаю, что гораздо интереснее найти её без чьих-то помех
Удачи!
Тот, кто желает, но не делает, распространяет чуму.
