Известный математик В.И.Арнольд в одном из своих интервью привел задачу, которую ему задал в 5-м классе учитель математики. Сам Арнольд оценил задачу очень высоко. По его словам на решение этой задачи у него ушло много времени. Вот она:
Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?
Понятно, что путем несложного, но несколько утомительного перебора задача решается: рассвет наступил в 6 часов утра. Но надо решить задачу аналитически
06.08.08 11:37: Перенесено модератором из 'Алгоритмы' — Кодт
Приходиться заниматься гадостью — зарабатывать на жизнь честным трудом (Б.Шоу)
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
F>Известный математик В.И.Арнольд в одном из своих интервью привел задачу, которую ему задал в 5-м классе учитель математики. Сам Арнольд оценил задачу очень высоко. По его словам на решение этой задачи у него ушло много времени. Вот она:
F>Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?
F>Понятно, что путем несложного, но несколько утомительного перебора задача решается: рассвет наступил в 6 часов утра. Но надо решить задачу аналитически
А в чем задача то? решить сначала систему из двух линейных,а потом квадратное уравнение?
Здравствуйте, Хитрик Денис, Вы писали:
ХД>Совсем несложно.
ХД>Приравнивая правые части получаем квадратное уравнение с корнями 6 и 18. ХД>По смыслу подходит первый корень.
Не помню уже — а разве в 5-м классе (а речь идет о задаче, заданной пятиклассникам) изучают квадратные уравнения ? У кого дети учатся в 5 классе — подскажите, плиз
Приходиться заниматься гадостью — зарабатывать на жизнь честным трудом (Б.Шоу)
Здравствуйте, Андрей, Вы писали:
А>Здравствуйте, fplab, Вы писали:
А>skip
А>так вот поэтому Арнольд в свое время на нее и потратил много времени
Видимо так
Приходиться заниматься гадостью — зарабатывать на жизнь честным трудом (Б.Шоу)
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
ХД>>Приравнивая правые части получаем квадратное уравнение с корнями 6 и 18. F>Не помню уже — а разве в 5-м классе (а речь идет о задаче, заданной пятиклассникам) изучают квадратные уравнения ? У кого дети учатся в 5 классе — подскажите, плиз
Там не совсем квадратное уравнение. Там получится
(12 - x)^2 = 36
А понятие квадрата числа проходят как раз в пятом классе, если содержание учебника не врёт (здесь).
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
F>Известный математик В.И.Арнольд в одном из своих интервью привел задачу, которую ему задал в 5-м классе учитель математики. Сам Арнольд оценил задачу очень высоко. По его словам на решение этой задачи у него ушло много времени. Вот она:
F>Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?
F>Понятно, что путем несложного, но несколько утомительного перебора задача решается: рассвет наступил в 6 часов утра. Но надо решить задачу аналитически
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
F>Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?
F>Понятно, что путем несложного, но несколько утомительного перебора задача решается: рассвет наступил в 6 часов утра. Но надо решить задачу аналитически
Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:
VEA>Здравствуйте, fplab, Вы писали:
VEA>А в тот же день они встретились и дошли?
Да, в один и тот же день и встретились, и дошли
Приходиться заниматься гадостью — зарабатывать на жизнь честным трудом (Б.Шоу)
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
S>>А графически можно? F>Интересно даже
Все очень просто: рисуем графики зависимости пути от времени (время по вертикали, а путь по горизонтали):
Из графика видно, что, вследствие подобия треугольников, |AC|/|CB|=9/x и |AC|/|BC|=x/4. Отсюда получаем 9/x=x/4 или x=6.
Следовательно, рассвет наступает в 12-6=6 часов.
Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>Здравствуйте, fplab, Вы писали:
S>>>А графически можно? F>>Интересно даже
S>Все очень просто: рисуем графики зависимости пути от времени (время по вертикали, а путь по горизонтали):
S>Из графика видно, что, вследствие подобия треугольников, |AC|/|CB|=9/x и |AC|/|BC|=x/4. Отсюда получаем 9/x=x/4 или x=6. S>Следовательно, рассвет наступает в 12-6=6 часов.
Красиво
Приходиться заниматься гадостью — зарабатывать на жизнь честным трудом (Б.Шоу)
Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>Из графика видно, что, вследствие подобия треугольников, |AC|/|CB|=9/x и |AC|/|BC|=x/4. Отсюда получаем 9/x=x/4 или x=6. S>Следовательно, рассвет наступает в 12-6=6 часов.
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
F>Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?
При некоторой извращённости ума, эту задачу можно воспринять как задачу на пропорции.
Действительно, у нас есть "быстрая старушка" (пусть это будет старушка из А) и "медленная старушка" (старушка из Б).
Соответсвенно скорости старушек прямо пропорциональны пройденным ими до встречи путям (так как они шли одинаковое время).
Соотвественно после встречи медленная старушка шла отрезок пути, пройденный до встречи быстрой и наоборот.
Соответсвенно отношение их времён в пути после встречи было обратно квадрату отношения скоростей.
То есть скорости старушек относились как 3 к 2 (так как время в пути после встречи относилось как 4 к 9)
Соответственно и пути до встречи относились, как 3 к 2.
Возьмём, например, быструю старушку. Она прошла 3/5 пути до встречи и 2/5 после. Соотвественно полсе встречи она шла 4 часа, составим пропорцию и получим, что до встречи она шла 6 часов.
Для проверки рассмотрим и медленную старушку. До встречи она прошла 2/5 пути, а 3/5 после. При этом 3/5 заняли у неё 9 часов, занчит (по анологичной пропорции) 2/5 должны были занять 6 часов.
Итого: обе старушки вышли за 6 часов до полудня, то есть в 6 часов утра. Согласно условию задачи тогда и был рассвет
p. s.
А решать задачи при помощи уравнений и алгебраических выкладок в пятом классе ученики ещё не умеют, во всяком случае их этому вроде бы не учат. Учат решать по действиям...
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>При некоторой извращённости ума, эту задачу можно воспринять как задачу на пропорции.
Прикольно. Где-то в этой теме была ссылка на интервью Арнольда. Он в пятом классе тоже через пропорции решал. Только он демагог знатынй, так как приплёл сбда зачем-то Леонардо и подобие слонов китам
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Тут в топике приводилась уже ссылка на интервью Арнольда, в котором он рассказал много странного, но и много интересного.
Среди прочего он претендовал на авторство следующей проблемы:
У нас имеется лист бумаги, мы его складываем — получается какой-то многоугольник. Складываем еще. Периметр нового многоугольника, получившегося после нескольких складываний, будет больше, чем периметр исходных. Да или нет?.. Решения пока нет.
Кто-нибудь понимает о чём тут идёт речь? Или, может быть, знает где почитать?
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Пусть V1 - скорость движения первой бабушки
V2 - второй.
А - пункт, из которого вышла первая бабушка, B - пункт, из которого вышла вторая бабушка, C - точка встречи.
X - время, прошедшее с момента выход до встречи (время рассвета, очевидно, 12 - X).
Теперь, что мы имеем:
AC = V1*x = V2*9
CB = V1*4 = V2*x
отсюда имеем:
V1/V2 = 9/x, с другой стороны V1/V2 = x/4, т.е. 9/x = x/4 или x^2 = 36 (квадраты и корни в пятом классе уже знают, вроде).
X = +-6, по смыслу подходит +6, т.е. рассвет наступил в 12-6 или в 6 утра.
Здравствуйте, fplab, Вы писали:
F>Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?
Непонятно, сколько времени они сплетничали друг с другом. К тому же не указано, что их скорость была постоянной в течение дня.
