Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>На окружности точки А и В зафиксированы, а точка М пробегает всю окружность. Из середины К отрезка МВ опускается перпендикуляр КР на прямую МА

Les>а) Докажите, что все прямые КР проходят через одну точку.
Les>б) Найдите множество точек Р.

Это доказательство я проверял, но поскольку от ошибок никто не застрахован, то читайте внимательно
Рассмотрим чертёжик:

Известно, что если вершина углов лежит на окружности и опирается на одну и ту же хорду, то эти углы равны. Поэтому углы BM'A и BM''A равны. Отсюда следует, что треугольники K'M'P' и K''M''P'' подобны. Откуда в свою очередь следует, что углы BK'P' и BK''P'' равны.

Но это влечёт, что треугольники BK'P' и BK''P'' подобны. (Для этого нужно ещё вспомнить, что стороны K'P' и K''P'' пропорциональны из-за подобия K'M'P' и K''M''P'', а стороны BK' и BK'' пропорциональны, потому что K* — середины своих отрезков BM' и BM'').

Поскольку у подобных треугольников BK'P' и BK''P'' углы равны, следовательно, углы BP'A и BP''A равны. Таким образом, точка P является вершиной равных углов, опирающихся на один и тот же отрезок AB. Следовательно P лежит на окружности. Наконец заметим, что построение точки P по точке M есть биективное отображение, следовательно точка P образует всю окружность (а не какую-то часть этой окружности). (Док-во биективности я приводить не буду, просто скажу что это очевидно из рисунка) Данная окружность нарисована жёлтым цветом.

Теперь, почему все прямые KP проходят через точку O? Поскольку углы BP'K' и BP''K'' равны, вершины P' и P'' лежат на окружности, одна сторона этих углов проходит через фиксированную точку B на этой окружности, следовательно вторая сторона проходит через другую фиксированную точку. То есть эти углы есть опять же семейство углов, опирающихся на одну и ту же хорду BO.