В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.
Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит. Тогда устремляем диаметр к 0, и получаем 3/4*pi * H * H * H / 8
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
E>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит. Тогда устремляем диаметр к 0, и получаем 3/4*pi * H * H * H / 8
Совершенно верно. Я проверял, если взять интеграл по объему, то результирующем выражении действительно кроме H ничего не остается.
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, deniok, Вы писали:
D>Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит...
D>Это восхитительное предположение (даже при том, что оно скорее всего верное) имеет довольно рискованные методологические обоснования, не так ли?
Тут возникает вопрос о доверии к условию задачи (точнее, к подсказке, содержащейся в условии задачи). Поэтому ответ можно сормулировать так: "Если условие задачи корректно то ..."
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит. Тогда устремляем диаметр к 0, и получаем 3/4*pi * H * H * H / 8
Коэффициент в формуле объема шара равен 4/3, а не 3/4. Поэтому: 4/3*pi * H * H * H / 8 = pi * H * H * H / 6
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Если не считать блестящего ответа про диаметр отверстия устремленный к нулю, то без интегралов тоже решается где-то минут за пять при помощи аналитической геометрии. Во всяком случае, мне эту задачу наш общий знакомый Halt озвучивал пару лет назад.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R> R>В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Предполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Можно и без интегралов, и без подсказки.
Пусть R — радиус шара, L — диаметр цилиндра, a — угол при основании (в прямоугольнике изображающем на картинке цилиндр проводим диагональ, tg a = H/L, а длина диагонали 2*R)
L = 2*R*cos a
H = 2*R*sin a
Vшара = 4/3*Pi*R^3
Vцилиндра = Pi*(L/2)^2*H=...=2*Pi*R^3*(sin a - sin^3 a)
Vсегмента=1/3*Pi*h^2*(3*R-h)=...= 1/3*Pi*R^3*(2 - 3*sin a + sin^3 a)
(здесь h =R-H/2 это высота сегмента-колпачка)
V=Vшара-Vцилиндра-2*Vсегмента-колпачка=...=4/3*Pi*R^3*sin^3 a=Pi*H^3/6
Все действительно сокращается, выживает зависимость только от H
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Я настолько глупый, что не понимаю, в чем тут сложность. Объем шара — 4/3 pi * r^3. Длина циллиндрического отверстия, очевидно, совпадает с диаметром шара, иначе данных было бы просто недостаточно. Следовательно, получается 4/3 * pi * (h/2)^3.
Но я очевидно где-то ошибаюсь, и не вижу подвоха. Где?
Здравствуйте, Vamp, Вы писали:
R>>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье). V>Я настолько глупый, что не понимаю, в чем тут сложность. Объем шара — 4/3 pi * r^3. Длина циллиндрического отверстия, очевидно, совпадает с диаметром шара, иначе данных было бы просто недостаточно. Следовательно, получается 4/3 * pi * (h/2)^3. V>Но я очевидно где-то ошибаюсь, и не вижу подвоха. Где?
1. Высота цилинда не равна диметру шара, на рисунке это видно.
2. В задаче требуется найти не просто объем шара, а объем шара мниус объем высверленного материала.
3. Объем высверленного материала равен объему цилиндра плюс два сферическиих сегмента (по форме они напоминают шапочку кардинала)
4. Ну и изюминка задачи — ни диаметр цилиндрического отверстия, ни диаметр шара не известны.
--
Не можешь достичь желаемого — пожелай достигнутого.
Здравствуйте, rg45, Вы писали:
R> R>В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
, понятны не всем. Поэтому хочу дать некоторые пояснения с рисунком.
На этом рисунке изображены два шара разного диаметра. Диаметры высверленных в шарах отверстий также различны. Но(!) высоты образовавшихся после высверливания отверстий равны. Равны также и объемы этих двух тел. А все дело в том, что формулу для вычисления, объема таких фигур можно привести к виду, в котором содержится только H (радиусы шара и отверстия не фигурируют). Вывод этой формулы дан здесь
Здравствуйте, ДимДимыч, Вы писали:
ДД>Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит.
ДД>Ответ зависит от H, а H в свою очередь — от диаметра.
Каким образом H зависит от диаметра?
можно взять любой шар, взять любое H и подобрать необходимое сверло чтоб высверлить необходимым образом.
Так что H не зависит от диаметра шара.
Можно сказать, что H зависит от соотношения диаметра шара и диаметра сверла, но тут вопрос спорный что от чего зависит.
R>Равны также и объемы этих двух тел. А все дело в том, что формулу для вычисления, объема таких фигур можно привести к виду, в котором содержится только H (радиусы шара и отверстия не фигурируют)
Можно доказать, что объемы этих тел равны, не вычисляя эти объемы и почти не используя интегралы.
Основная идея, лежащая в основе этого доказательства, заключается в следующем.
Пусть у нас есть 2 тела: Т1 и Т2. Будем пересекать их, скажем, плоскостями z=x. Каждый раз в сечении будут получаться фигуры S1(x) и S2(x). Так вот, если площади этих 2 фигур всегда равны между собой, то и объемы тел Т1 и Т2 равны.
Это легко доказать, используя интегралы: объем тела T равен значению определенного интеграла от функции S(x).
Наверное, можно доказать этот факт и без использования интегралов.
Вернемся к задаче. Посмотрим, что получится, если мы пересечем наше тело плоскостью z=x:
Здесь, OK=x.
В сечении получится кольцо. Внешний радиус равен KB, внутренний — KA.
Площадь кольца равна pi * (KB^2 — KA^2). Попробуем вычислить.
Используя теорему Пифагора, получаем:
KB^2 = OB^2 — OK^2 = OB^2 — x^2;
KA^2 = K'A' ^ 2 = OA' ^ 2 — OK' ^ 2 = OA' ^ 2 — (H/2)^2.
Вспомним, что OB = OA' как радиусы шара. Значит, площадь фигуры можно вычислить как pi * (OB^2 — x^2 — OA' ^ 2 + (H/2)^2) = pi * ((H/2)^2 — x^2)
Получили, что площадь фигуры не зависит от радиуса шара. Значит, и объемы тел будут равны, ввиду рассуждений, приведенных выше.
Все.
Вдогонку пара зарисовок на похожие темы.
1. О независимости от радиуса.
Апельсин и земной шар обмотали по периметру веревкой, получилось эдакое веревечное кольцо. Потом каждую веревку растянули так, что она стала находиться на расстоянии 1 метра над поверхностью апельсина и земли соответственно. Естественно, что длина каждой веревки увеличилась. Вопрос в том — в каком случае она увеличится больше?
Задача простая, просто в тему пришлась
2. Нахождение объема тел.
Пусть у нас есть 2 бесконечных цилиндра единичного радиуса, "насаженных" на оси OX и OY. То есть, один задается формулой y^2 + z^2 <= 1, второй — x^2 + z^2 <= 1.
В пересечении они образуют некоторое тело. Найти объем этого тела.
Эта задача была для 9-го или 10-го класса. То есть, в то время, когда интегралы не были известны школьникам.
Ее красивое решение использует схожие рассуждения об объемах 2-х тел, которые я привел выше. Единственное, закрывались глаза на доказательство равенства объемов — считалось, что это можно "понять на пальцах"