Шар с отверстием
От: rg45 СССР  
Дата: 04.07.08 14:02
Оценка:
http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore.JPG
В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.

Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re: 3/4*pi * H * H * H / 8?
От: Erop Россия  
Дата: 04.07.08 14:05
Оценка: 21 (3) +1 :)
Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).


Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит. Тогда устремляем диаметр к 0, и получаем 3/4*pi * H * H * H / 8
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Re[2]: 3/4*pi * H * H * H / 8?
От: rg45 СССР  
Дата: 04.07.08 14:20
Оценка:
Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, rg45, Вы писали:


R>>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).


E>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит. Тогда устремляем диаметр к 0, и получаем 3/4*pi * H * H * H / 8



Совершенно верно. Я проверял, если взять интеграл по объему, то результирующем выражении действительно кроме H ничего не остается.
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re[2]: 3/4*pi * H * H * H / 8?
От: deniok Россия  
Дата: 04.07.08 14:24
Оценка:
Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит...


Это восхитительное предположение (даже при том, что оно скорее всего верное) имеет довольно рискованные методологические обоснования, не так ли?
Re[3]: 3/4*pi * H * H * H / 8?
От: rg45 СССР  
Дата: 04.07.08 14:34
Оценка: +2
Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Здравствуйте, Erop, Вы писали:


E>>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит...


D>Это восхитительное предположение (даже при том, что оно скорее всего верное) имеет довольно рискованные методологические обоснования, не так ли?


Тут возникает вопрос о доверии к условию задачи (точнее, к подсказке, содержащейся в условии задачи). Поэтому ответ можно сормулировать так: "Если условие задачи корректно то ..."
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re[2]: Поправочка
От: rg45 СССР  
Дата: 04.07.08 14:40
Оценка: +1 :)
Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит. Тогда устремляем диаметр к 0, и получаем 3/4*pi * H * H * H / 8


Коэффициент в формуле объема шара равен 4/3, а не 3/4. Поэтому: 4/3*pi * H * H * H / 8 = pi * H * H * H / 6
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re[2]: 3/4*pi * H * H * H / 8?
От: ДимДимыч Украина http://klug.org.ua
Дата: 04.07.08 14:47
Оценка:
Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит.


Ответ зависит от H, а H в свою очередь — от диаметра.
http://files.rsdn.org/25994/sign.gif Обязательно бахнем! И не раз. Весь мир в труху! Но потом. (ДМБ)
Re: Шар с отверстием
От: SE Украина  
Дата: 04.07.08 15:05
Оценка: 8 (1)
Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).


Если не считать блестящего ответа про диаметр отверстия устремленный к нулю, то без интегралов тоже решается где-то минут за пять при помощи аналитической геометрии. Во всяком случае, мне эту задачу наш общий знакомый Halt озвучивал пару лет назад.

P.S. rg45, не собираешься на киевскую встречу RSDN в субботу?
http://www.rsdn.ru/forum/message/3010805.1.aspx
Автор: Cyberax
Дата: 03.07.08
Re: Шар с отверстием
От: deniok Россия  
Дата: 04.07.08 15:12
Оценка: 24 (2)
Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore.JPG

R>В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.

R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Предполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).


Можно и без интегралов, и без подсказки.
Пусть R — радиус шара, L — диаметр цилиндра, a — угол при основании (в прямоугольнике изображающем на картинке цилиндр проводим диагональ, tg a = H/L, а длина диагонали 2*R)
L = 2*R*cos a
H = 2*R*sin a
Vшара = 4/3*Pi*R^3
Vцилиндра = Pi*(L/2)^2*H=...=2*Pi*R^3*(sin a - sin^3 a)
Vсегмента=1/3*Pi*h^2*(3*R-h)=...= 1/3*Pi*R^3*(2 - 3*sin a + sin^3 a)
  (здесь h =R-H/2 это высота сегмента-колпачка)

V=Vшара-Vцилиндра-2*Vсегмента-колпачка=...=4/3*Pi*R^3*sin^3 a=Pi*H^3/6

Все действительно сокращается, выживает зависимость только от H
Re[2]: Шар с отверстием
От: rg45 СССР  
Дата: 04.07.08 16:39
Оценка:
Здравствуйте, SE, Вы писали:

SE>P.S. rg45, не собираешься на киевскую встречу RSDN в субботу?

SE>http://www.rsdn.ru/forum/message/3010805.1.aspx
Автор: Cyberax
Дата: 03.07.08


здесь
Автор: rg45
Дата: 04.07.08
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re: Шар с отверстием
От: Vamp Россия  
Дата: 07.07.08 18:23
Оценка:
R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).
Я настолько глупый, что не понимаю, в чем тут сложность. Объем шара — 4/3 pi * r^3. Длина циллиндрического отверстия, очевидно, совпадает с диаметром шара, иначе данных было бы просто недостаточно. Следовательно, получается 4/3 * pi * (h/2)^3.
Но я очевидно где-то ошибаюсь, и не вижу подвоха. Где?
Да здравствует мыло душистое и веревка пушистая.
Re[2]: Шар с отверстием
От: rg45 СССР  
Дата: 07.07.08 19:04
Оценка:
Здравствуйте, Vamp, Вы писали:

R>>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).

V>Я настолько глупый, что не понимаю, в чем тут сложность. Объем шара — 4/3 pi * r^3. Длина циллиндрического отверстия, очевидно, совпадает с диаметром шара, иначе данных было бы просто недостаточно. Следовательно, получается 4/3 * pi * (h/2)^3.
V>Но я очевидно где-то ошибаюсь, и не вижу подвоха. Где?

http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore_2.JPG

1. Высота цилинда не равна диметру шара, на рисунке это видно.
2. В задаче требуется найти не просто объем шара, а объем шара мниус объем высверленного материала.
3. Объем высверленного материала равен объему цилиндра плюс два сферическиих сегмента (по форме они напоминают шапочку кардинала)
4. Ну и изюминка задачи — ни диаметр цилиндрического отверстия, ни диаметр шара не известны.
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re: Объяснение
От: rg45 СССР  
Дата: 07.07.08 19:57
Оценка:
Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore.JPG

R>В шаре просверлили сквозное цилиндрическое отверстие, ось которого проходит через центр шара. Длина образующей этого отверстия равна H. Найти объем тела. Подсказка: данных достаточно для ответа.

R>Задача расчитана на сообразительность, а не на владение интегралами. Преполагается достаточно быстрое получение ответа (1-2 минуты на раздумье).


Как я понял, решения и объяснения, данные здесь
Автор: Erop
Дата: 04.07.08
и здесь
Автор: deniok
Дата: 04.07.08
, понятны не всем. Поэтому хочу дать некоторые пояснения с рисунком.

http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore_3.JPG

На этом рисунке изображены два шара разного диаметра. Диаметры высверленных в шарах отверстий также различны. Но(!) высоты образовавшихся после высверливания отверстий равны. Равны также и объемы этих двух тел. А все дело в том, что формулу для вычисления, объема таких фигур можно привести к виду, в котором содержится только H (радиусы шара и отверстия не фигурируют). Вывод этой формулы дан здесь
Автор: deniok
Дата: 04.07.08
.
Никогда не говори "никогда". Всегда говори "иногда".
--
Re[3]: 3/4*pi * H * H * H / 8?
От: ghost92  
Дата: 08.07.08 11:35
Оценка:
Здравствуйте, ДимДимыч, Вы писали:

ДД>Здравствуйте, Erop, Вы писали:


E>>Ну можно предположить, что от диаметра отверстия ответ не зависит.


ДД>Ответ зависит от H, а H в свою очередь — от диаметра.


Каким образом H зависит от диаметра?
можно взять любой шар, взять любое H и подобрать необходимое сверло чтоб высверлить необходимым образом.
Так что H не зависит от диаметра шара.
Можно сказать, что H зависит от соотношения диаметра шара и диаметра сверла, но тут вопрос спорный что от чего зависит.
Re: Шар с отверстием
От: urquan  
Дата: 10.07.08 19:49
Оценка:
Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore.JPG


Что-то подобное я, кажется, видел на могиле старины Архимеда!
Re[2]: Объяснение
От: Eugene Sh Россия  
Дата: 11.07.08 09:59
Оценка: 22 (2)
Здравствуйте, rg45, Вы писали:

http://files.rsdn.org/49596/ball_with_bore_3.JPG

R>Равны также и объемы этих двух тел. А все дело в том, что формулу для вычисления, объема таких фигур можно привести к виду, в котором содержится только H (радиусы шара и отверстия не фигурируют)


Можно доказать, что объемы этих тел равны, не вычисляя эти объемы и почти не используя интегралы.

Основная идея, лежащая в основе этого доказательства, заключается в следующем.
Пусть у нас есть 2 тела: Т1 и Т2. Будем пересекать их, скажем, плоскостями z=x. Каждый раз в сечении будут получаться фигуры S1(x) и S2(x). Так вот, если площади этих 2 фигур всегда равны между собой, то и объемы тел Т1 и Т2 равны.
Это легко доказать, используя интегралы: объем тела T равен значению определенного интеграла от функции S(x).
Наверное, можно доказать этот факт и без использования интегралов.

Вернемся к задаче. Посмотрим, что получится, если мы пересечем наше тело плоскостью z=x:
http://files.rsdn.org/19499/ball_with_bore_3_mine2.JPG

Здесь, OK=x.

В сечении получится кольцо. Внешний радиус равен KB, внутренний — KA.
Площадь кольца равна pi * (KB^2 — KA^2). Попробуем вычислить.
Используя теорему Пифагора, получаем:
KB^2 = OB^2 — OK^2 = OB^2 — x^2;
KA^2 = K'A' ^ 2 = OA' ^ 2 — OK' ^ 2 = OA' ^ 2 — (H/2)^2.

Вспомним, что OB = OA' как радиусы шара. Значит, площадь фигуры можно вычислить как pi * (OB^2 — x^2 — OA' ^ 2 + (H/2)^2) = pi * ((H/2)^2 — x^2)

Получили, что площадь фигуры не зависит от радиуса шара. Значит, и объемы тел будут равны, ввиду рассуждений, приведенных выше.
Все.


Вдогонку пара зарисовок на похожие темы.

1. О независимости от радиуса.
Апельсин и земной шар обмотали по периметру веревкой, получилось эдакое веревечное кольцо. Потом каждую веревку растянули так, что она стала находиться на расстоянии 1 метра над поверхностью апельсина и земли соответственно. Естественно, что длина каждой веревки увеличилась. Вопрос в том — в каком случае она увеличится больше?

Задача простая, просто в тему пришлась

2. Нахождение объема тел.
Пусть у нас есть 2 бесконечных цилиндра единичного радиуса, "насаженных" на оси OX и OY. То есть, один задается формулой y^2 + z^2 <= 1, второй — x^2 + z^2 <= 1.

В пересечении они образуют некоторое тело. Найти объем этого тела.

Эта задача была для 9-го или 10-го класса. То есть, в то время, когда интегралы не были известны школьникам.
Ее красивое решение использует схожие рассуждения об объемах 2-х тел, которые я привел выше. Единственное, закрывались глаза на доказательство равенства объемов — считалось, что это можно "понять на пальцах"
 
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.