На окружности точки А и В зафиксированы, а точка М пробегает всю окружность. Из середины К отрезка МВ опускается перпендикуляр КР на прямую МА

а) Докажите, что все прямые КР проходят через одну точку.
б) Найдите множество точек Р.

P.S. Не уверен, что такие задачи интересны сообществу. С другой стороны, может это субъективно Просьба пометить "+"(задача нравится) или "-"-ами

Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>На окружности точки А и В зафиксированы, а точка М пробегает всю окружность. Из середины К отрезка МВ опускается перпендикуляр КР на прямую МА

Les>а) Докажите, что все прямые КР проходят через одну точку.
Les>б) Найдите множество точек Р.

Это доказательство я проверял, но поскольку от ошибок никто не застрахован, то читайте внимательно
Рассмотрим чертёжик:

Известно, что если вершина углов лежит на окружности и опирается на одну и ту же хорду, то эти углы равны. Поэтому углы BM'A и BM''A равны. Отсюда следует, что треугольники K'M'P' и K''M''P'' подобны. Откуда в свою очередь следует, что углы BK'P' и BK''P'' равны.

Но это влечёт, что треугольники BK'P' и BK''P'' подобны. (Для этого нужно ещё вспомнить, что стороны K'P' и K''P'' пропорциональны из-за подобия K'M'P' и K''M''P'', а стороны BK' и BK'' пропорциональны, потому что K* — середины своих отрезков BM' и BM'').

Поскольку у подобных треугольников BK'P' и BK''P'' углы равны, следовательно, углы BP'A и BP''A равны. Таким образом, точка P является вершиной равных углов, опирающихся на один и тот же отрезок AB. Следовательно P лежит на окружности. Наконец заметим, что построение точки P по точке M есть биективное отображение, следовательно точка P образует всю окружность (а не какую-то часть этой окружности). (Док-во биективности я приводить не буду, просто скажу что это очевидно из рисунка) Данная окружность нарисована жёлтым цветом.

Теперь, почему все прямые KP проходят через точку O? Поскольку углы BP'K' и BP''K'' равны, вершины P' и P'' лежат на окружности, одна сторона этих углов проходит через фиксированную точку B на этой окружности, следовательно вторая сторона проходит через другую фиксированную точку. То есть эти углы есть опять же семейство углов, опирающихся на одну и ту же хорду BO.

Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>На окружности точки А и В зафиксированы, а точка М пробегает всю окружность. Из середины К отрезка МВ опускается перпендикуляр КР на прямую МА

Les>а) Докажите, что все прямые КР проходят через одну точку.
Les>б) Найдите множество точек Р.

При всем уважении к LCR вынужден привести собственное решение, которое имхо гораздо прозрачнее и более информативное.

Сразу приведу рисунок, ибо, хороший он — это половина решения.


1. Вписываем в окружность прямоугольник AA'B'B. Q — пересечение диаметра, параллельного AB, и прямой, перпендикулярной AB и проходящей через B, т.е. BB'.
2. BA' проходит через центр O окружности. Следовательно <OBK = <A'AM. <OKB = 90гр. = <OQB. Следовательно точки O, B, K и Q лежат на одной окружности и <OBK = <OQK. Итак <A'AM = <OQK.
3. AA' перпендикулярно OQ, следовательно AM перпендикулярно QK.
Итак, все перпендикуляры KP проходят через Q.

P.S. Конструктивное построение Q выделено выше жирным.
P.P.S. ГМТ точек P — окружность, построенная на AQ, как на диаметре. Кстати, точка B тоже лежит на ней.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>1. Вписываем в окружность прямоугольник AA'B'B. Q — пересечение диаметра, параллельного AB, и прямой, перпендикулярной AB и проходящей через B, т.е. BB'.
A>2. BA' проходит через центр O окружности. Следовательно <OBK = <A'AM. <OKB = 90гр. = <OQB.
Имхо, лучше, если <OBK=<A'AM потому что эти углы опираются на одну и ту же хорду A'M.. BA' проходит через центр O окружности, отсюда следует, что BO=OA', но как дальше перейти к углам?

A>... Следовательно точки O, B, K и Q лежат на одной окружности и <OBK = <OQK. Итак <A'AM = <OQK.
Лихо! Правда я понял это с некоторым трудом, только после того как заметил, что OKB и OQB опираются на хорду OB, поэтому и существует эта окружность, и <A'AM = <OQK, потому что опираются на хорду OK.

A>3. AA' перпендикулярно OQ, следовательно AM перпендикулярно QK.
A>Итак, все перпендикуляры KP проходят через Q.
Да!

Ой-ой. Ты доказал, что P лежит на окружности. Однако нужно доказать чуть-чуть больше: что все точки P образуют окружность (а не какую-то её часть). Я для этой цели притянул за уши биективность M и P. А что сделаешь ты?

Твоё доказательство немного симпатичнее, правда (как же без ложки чего-нибудь ) если излагать подробнее, то уже не будет таким кратким.

Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>>1. Вписываем в окружность прямоугольник AA'B'B. Q — пересечение диаметра, параллельного AB, и прямой, перпендикулярной AB и проходящей через B, т.е. BB'.

Это главный пункт. До него я не сразу дошел...

A>>2. BA' проходит через центр O окружности. Следовательно <OBK = <A'AM. <OKB = 90гр. = <OQB.
LCR>Имхо, лучше, если <OBK=<A'AM потому что эти углы опираются на одну и ту же хорду A'M.. BA' проходит через центр O окружности, отсюда следует, что BO=OA', но как дальше перейти к углам?
A>>... Следовательно точки O, B, K и Q лежат на одной окружности и <OBK = <OQK. Итак <A'AM = <OQK.
LCR>Лихо! Правда я понял это с некоторым трудом, только после того как заметил, что OKB и OQB опираются на хорду OB, поэтому и существует эта окружность, и <A'AM = <OQK, потому что опираются на хорду OK.

Да. Оба этих равенства углов следуют из того, что они вписаны в одну окружность и опираются на общую хорду с одной стороны. В первом случае мы уточняем, что BO и BA' — это одно и тоже. Во втором случае мы замечаем, что углы OKB и OQB прямые, т.е. точки K и Q лежат на окружности, построенной на OB как на диаметре.

A>>3. AA' перпендикулярно OQ, следовательно AM перпендикулярно QK.
A>>Итак, все перпендикуляры KP проходят через Q.
LCR>Да!

LCR>Ой-ой. Ты доказал, что P лежит на окружности. Однако нужно доказать чуть-чуть больше: что все точки P образуют окружность (а не какую-то её часть). Я для этой цели притянул за уши биективность M и P. А что сделаешь ты?

Этот пункт я нарочно оставил, т.к. ты его тоже не рассматривал.
1) ГМТ точек K — это окружность, построенная на OB как на диаметре (за исключением, пожалуй, точки B и середины AB).
2) Когда K пробегает свою окружность, P пробегает свою.
Кстати, две точки из ГМТ P выпадают — это точка B и основание перпендикуляра из Q на касательную к окружности в точке A (этот перпендикуляр проходит через середину AB).

LCR>Твоё доказательство немного симпатичнее, правда (как же без ложки чего-нибудь ) если излагать подробнее, то уже не будет таким кратким.

Я про краткость и не утверждал. Оно более прозрачное, что ли. Основано на равенстве двух конкретных углов, доказать которое можно используя всего лишь один промежуточный угол (если догадаться вписать прямоугольник). Конечно, если все подробно расписывать так, чтобы никто не придрался, рассматривать все варианты, то можно и брошюрку написать!

Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>P.S. Не уверен, что такие задачи интересны сообществу. С другой стороны, может это субъективно Просьба пометить "+"(задача нравится) или "-"-ами

Задачи на нахождение ГМТ лично мне очень нравятся (но не подумайте, что мне нравятся только они ). Позволю себе классификацию:

0. ГМТ строится неким простым образом, и само ГМТ — простой объект.
1. ГМТ строится неким простым образом, но само ГМТ — сложный объект.
2. ГМТ строится неким сложным образом, но само ГМТ — простой объект.
3. ГМТ строится неким сложным образом, и само ГМТ — сложный объект.

Данная задача имхо принадлежит к классу 2. Но ещё хотелось бы побольше задач класса 1 и 3. Может найдётся в твоей подборке две-три таких задачки?