Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что каждая из диагоналей AD, BE и CF делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что каждая из диагоналей AD, BE и CF делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

//Моя попытка избежать вычислений площадей треугольников

Рассмотрим гипотетическую картинку:


По условию площади четырёхугольников BAFE и AFED равны S/2, где S — площадь шестиугольника. С другой стороны площади этих четырёхугольников равны s(ABX1)+s(AFEX1) и s(AFEX1)+s(EDX1). Следовательно площади треугольников ABX1 и EDX1 равны. Обозначим эту площадь s1. Аналогично для других пар треугольников:

  s(BCX2)=s(FEX2)=s2
  s(AFX3)=s(CDX3)=s3

Ну так вот, там есть гипотетический маленкий треугольничек X1X2X3, пусть у него площадь e. Опять же по условию площади четырёхугольников ABCD и AFED равны, и мы можем их выразить так:

  s(ABCD) = s1 + s2 + s3 - e
  s(AFED) = s3 + s2 + s1 - 2e

Обе площади равны S/2, следовательно e=0.

Итак, треугольник X1X2X3 образован тремя непараллельными прямыми, и его площадь равна 0, следовательно это — точка.

Dobryj den'.
Ne hotelos' by Vas ogor4at' no reshenie nepravil'noe... (

LCR>Ну так вот, там есть гипотетический маленкий треугольничек X1X2X3, пусть у него площадь e. Опять же по условию площади четырёхугольников ABCD и AFED равны, и мы можем их выразить так:
LCR>

LCR>  s(ABCD) = s1 + s2 + s3 - e
LCR>  s(AFED) = s3 + s2 + s1 - 2e

s(ABEF) = s3 + s2 + s1 -2e + e = s3 + s2  + s1 - e  - neobhodimo takzhe pribavit' ploschad' malen'kogo treugol'ni4ika.


LCR>

LCR>Обе площади равны S/2, следовательно e=0.

LCR>Итак, треугольник X1X2X3 образован тремя непараллельными прямыми, и его площадь равна 0, следовательно это — точка.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Dobryj den'.
А>Ne hotelos' by Vas ogor4at' no reshenie nepravil'noe... (

LCR>>Ну так вот, там есть гипотетический маленкий треугольничек X1X2X3, пусть у него площадь e. Опять же по условию площади четырёхугольников ABCD и AFED равны, и мы можем их выразить так:
LCR>>

LCR>>  s(ABCD) = s1 + s2 + s3 - e
LCR>>  s(AFED) = s3 + s2 + s1 - 2e

А>s(ABEF) = s3 + s2 + s1 -2e + e = s3 + s2  + s1 - e  - neobhodimo takzhe pribavit' ploschad' malen'kogo treugol'ni4ika.

izvenite: s(AFED)


LCR>>

LCR>>Обе площади равны S/2, следовательно e=0.

LCR>>Итак, треугольник X1X2X3 образован тремя непараллельными прямыми, и его площадь равна 0, следовательно это — точка.

Ni4ego 4to ja prodolzhu...

Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>>Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что каждая из диагоналей AD, BE и CF делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

LCR>//Моя попытка избежать вычислений площадей треугольников

LCR>Рассмотрим гипотетическую картинку:
LCR>

LCR>По условию площади четырёхугольников BAFE и AFED равны S/2, где S — площадь шестиугольника. С другой стороны площади этих четырёхугольников равны s(ABX1)+s(AFEX1) и s(AFEX1)+s(EDX1).
Следовательно площади треугольников ABX1 и EDX1 равны. => AX1*BX1 = EX1*DX1
Krome togo <AX1B = <EX1D (ugly) => ABX1 i EDX1 podobnye treugol'niki.

Analogi4no dlja BCX2 i EFX3, CDX3 i FAX3.



Krome etogo polu4aem: AC paralelna DF, CE paralelna FB, EA paralelna BD.

Teper legko pokazat', 4to u treugol'nikov ACE i BDF ugly ravny. Sledovatel'no oni podobny.

BF/CE = BD/AE


Polu4aem (BX1 + X1X2)/EX2 = BF/CE i BX1/(EX2 + X2X1) = BD/AE => (BX1 + X1X2)(EX2 + X2X1) = EX2*BX1 => X1X2^2 + (BX1 + EX2)*X1X2 + BX1*EX2 = EX2*BX1 => X1X2^2 + (..)*X1X2 = 0 => X1X2 = 0 ili X1X2 + BX1 + EX2 = BE = 0 (t.k. B != E) => X1X2 = 0 => X1 = X2

Analogi4no X2X3 = X3X1 = 0;

Sledovatel'no X1 = X2 = X3.

Здравствуйте, _lex, Вы писали:


LCR>>По условию площади четырёхугольников BAFE и AFED равны S/2, где S — площадь шестиугольника. С другой стороны площади этих четырёхугольников равны s(ABX1)+s(AFEX1) и s(AFEX1)+s(EDX1).
_>Следовательно площади треугольников ABX1 и EDX1 равны. => AX1*BX1 = EX1*DX1
_>Krome togo <AX1B = <EX1D (ugly) => ABX1 i EDX1 podobnye treugol'niki.

Здесь можно поподробнее?

Здравствуйте, Les, Вы писали:

Les>Здравствуйте, _lex, Вы писали:


LCR>>>По условию площади четырёхугольников BAFE и AFED равны S/2, где S — площадь шестиугольника. С другой стороны площади этих четырёхугольников равны s(ABX1)+s(AFEX1) и s(AFEX1)+s(EDX1).
_>>Следовательно площади треугольников ABX1 и EDX1 равны. => AX1*BX1 = EX1*DX1
_>>Krome togo <AX1B = <EX1D (ugly) => ABX1 i EDX1 podobnye treugol'niki.

Les>Здесь можно поподробнее?

Nemnozhko naputal...nado drugie treugol'niki rassmotret'

(1)
1/2*AX1*BX1*sin<AX1B = s(ABX1) = s(DEX1) = 1/2*EX1*DX1*sin<EX1D
i
<AX1B = <EX1D
Polu4aem : AX1*BX1 = EX1*DX1

(2)
<BX1D = <EX1A
AX1*BX1 = EX1*DX1 , t.e AX1/DX1 = EX1/BX1
Polu4aem, 4to treugol'niki podobny : BDX1 ~ EAX1

i Analogi4no dlja CEX2 i FBX3, DFX3 i ACX3.

vot.

Здравствуйте, _lex, Вы писали:

Эх, поздно я отвечаю, доказательство уже походу есть. Да, моё докво имело маленький глюк. Идею _les уже довёл до конца (респект!), так что мне остаётся только сделать маленькое замечание: взгляните на картинку

Здесь любая прямая типа L делит эту фигуру на две равные по площади части. И площади противолежащих треугольников равны, но при этом маленький треугольничек не вырождается в точку. То есть нужно пользоваться тем, что прямая-диагональ делит фигуру именно на 2 четырёхугольника.

Здравствуйте, _lex, Вы писали:

_>BF/CE = BD/AE
С этим согласен...

_>Polu4aem (BX1 + X1X2)/EX2 = BF/CE
А это откудава? Можно подробнее...

Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Здравствуйте, _lex, Вы писали:

_>>BF/CE = BD/AE
LCR>С этим согласен...

_>>Polu4aem (BX1 + X1X2)/EX2 = BF/CE
LCR>А это откудава? Можно подробнее...

iz pododnosti treugol'nikov CEX2 i FBX2 (v4erashnij post, punkt (2)).