Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

CSR>>ты спрашиваешь у друга есть ли у него дети и он отвечает: "Да двое и один из них точно мальчик".
CSR>>Вероятность того, что второй мальчик — 1/2.
VEA>Нет, 1/3.
CSR>>С другой стороны, ты знаешь, что среди двухдетных семей с мальчиками два мальчика — у каждой третьей семьи. Тогда вероятность 1/3.

IMHO все проблемы людей, которые пытаются смоделировать эту задачу путём задавания вопросов гипотетическому другу, и не могут придумать такой ответ, котрорый бы вменяемый друг мог дать, чтобы не упорядочить детей.

Вот ещё вариант, для любителей пофлемить:

--Дети есть?
-- Да! Руслан и Женя.

Какова вероятность, что Женя -- мальчик?

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?

Сори за оффтоп. Когда на лекциях по математическим основам криптографии мы изучали комбинаторику, у нас был парень в группе который не слишком хорошо учился, но моментально как семечки в уме щёлкал задачи про карты, после произнесения условия задачи вслух. Он работал крупье в казино. Так я узнал что никогда не смогу чесно обыграть казино.

ЗЫ. чёт вдруг вспомнилось када прочитал условие...

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

E>IMHO все проблемы людей, которые пытаются смоделировать эту задачу путём задавания вопросов гипотетическому другу, и не могут придумать такой ответ, котрорый бы вменяемый друг мог дать, чтобы не упорядочить детей.

E>Вот ещё вариант, для любителей пофлемить:

--Дети есть?
E>-- Да! Руслан и Женя.

E>Какова вероятность, что Женя -- мальчик?

Чуть было ты меня не убедил Я не большой любитель флейма, но попробую дать наглядную иллюстрацию без упорядочивания детей. Из утверждения "детей зовут Руслан и Женя" сразу сделаем вывод, что один ребенок мальчик, а второй — не известно кто. Итак, имеем большую выборку семей с двумя детьми, в которых дети рождались с равновероятным распределением полов. 1/2 семей имеют детей разных полов, 1/4 — двух мальчиков и 1/4 — двух девочек. Число семей, где есть хотя бы один мальчик составляет 3/4 от общего числа семей и состоит на (1/4)/(3/4) = 1/3 из семей, в которых два мальчика и на (1/2)/(3/4) = 2/3 из семей, имеющих разнополых детей. Если про какую-то семью известно, что в ней есть хотя бы один мальчик, значит эта семья достоверно принадлежит к упомянутым трем четвертям семей, и с вероятностью 1/3 входит в число семей, где оба ребенка мальчики.

Здравствуйте, andy1618, Вы писали:

A>Очень интересно слышать такие заявления от Анонима

Систему недавно переустановил, старые кукисы не действуют, а залогиниться заново все недосуг Вообще, мой ник Sophist.


A>Мне кажется, задачу про Руслана и Женю можно решить "на пальцах" примерно так:
A>Возьмём 4 равновероятных семьи с двумя детьми, причём в этих семьях любят давать детям имена Руслан и Женя (мальчик/девочка).
A>Семья1: М+М — Руслан + ЖеняМ
A>Семья2: М+Д — Руслан + ЖеняД
A>Семья3: Д+М — ЖеняД + Руслан
A>Семья4: Д+Д — ЖеняД + Василиса

A>Это генеральная совокупность, все 4 исхода равновероятны.

Неверно. В первом случае вероятность в два раза выше.

A>Кстати, вот тут

Автор: rg45
Дата: 21.06.08

привели ссылку на статью, где рассматривается подобная задача (про семью Ивановых).
В семье Ивановых дети безымянные. Тут возражений нет, однозначно 1/3.

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>А сколько карт в колоде, есть ли джокеры?

Это преферанс

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?


D>Без условия "если хотя бы один из них точно мальчик" было бы 4 равновозможных варианта:
D>ММ МД ДМ ДД
D>С условием остается 3:
D>ММ МД ДМ
D>Благоприятствует по-прежнему одно (ММ).

D>1/3.

Правильный ответ 1/2.
МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

1/3 — это, например, для вопроса "какова вероятность того, что мальчик — старший и у него есть сестра?".

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Тогда, конечно, 1/7
CSR>- 1/15

CSR>Странный ребенок этот Женя — его пол зависит не от отца, как у всех детей, а от пола и количества других детей в семье.
А почему "этот"? Ведь вероятность того, что Жаня мальчик колеблется от 1/3 до 1/15 -- то есть это почти наверняка девочка

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>>Даже сам не знаю, почему я так решил... показалось
R>>

E>Возможно вера твоя в вероятность 1/3 недостаточно крепка?

Вера — следствие незнания или неуверенности.
В случае с встречей с другом правильный ответ — 1/2 независимо от количества детй.
Ведь мы с одинаковой вероятностью можем встретить друга и с дочкой.
Встретив его с сыном, мы отсеяли всех семей ДД и половину ДМ/МД.
Т.е. произошло первое событие с вероятностью 1/2.
Второе событие — пол второго ребенка с той же вероятностью 1/2. Итого 1/4.
Другое дело,что эта ситуация не моделирует заданную задачу.
В первоначальной задаче мы наверняка знаем, что в семье есть хотя бы один мальчик.
Т.е. вариант ДД запрещен. Правильный ответ — 1/3.
Смоделировать этот вариант "из жизни" без искусственных ухищрения у меня не удается.
Разве вариант, который я предлагал выше.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?

Если одна бубна уже открыта или ты просто подглядел нижнюю, то 7/31. Если некто посмотрел в прикуп и говорит: "там есть бубна!", то 7/55.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?
Пусть 36 карт, джокеров нет.

Различных пар — 36*35/2=630
Различных пар без бубн — 27*26/2=351
Различных пар только из бубн — 9*8/2=36

Итого, что вторая бубна = 36/(630-351)=36/279=4/31

Вы ожидали 8/35?

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>>Какова вероятность, что Женя -- мальчик?

R>Чуть было ты меня не убедил Я не большой любитель флейма, но попробую дать наглядную иллюстрацию без упорядочивания детей. Из утверждения "детей зовут Руслан и Женя" сразу сделаем вывод, что один ребенок мальчик, а второй — не известно кто. Итак, имеем большую выборку семей с двумя детьми, в которых дети рождались с равновероятным распределением полов. 1/2 семей имеют детей разных полов, 1/4 — двух мальчиков и 1/4 — двух девочек. Число семей, где есть хотя бы один мальчик составляет 3/4 от общего числа семей и состоит на (1/4)/(3/4) = 1/3 из семей, в которых два мальчика и на (1/2)/(3/4) = 2/3 из семей, имеющих разнополых детей. Если про какую-то семью известно, что в ней есть хотя бы один мальчик, значит эта семья достоверно принадлежит к упомянутым трем четвертям семей, и с вероятностью 1/3 входит в число семей, где оба ребенка мальчики.

Я, конечно, понимаю, что решать эту задачу "эксперементальным" путем не совсем правильно, но попробовал смоделировать и был очень удивлен, что действительно получается ~1/3 :

    class Pair
    {
        public bool first;
        public bool second;
    }

    class Program
    {
        static Random rnd = new Random();

        static IEnumerable<Pair> Pairs()
        {
            for (int i = 0; i < 10000000; ++i)
            {
                Pair pair = new Pair();
                pair.first = rnd.Next(2) == 0;
                pair.second = rnd.Next(2) == 0;
                yield return pair;

            }
        }

        static IEnumerable<Pair> PairsWithM()
        {
            foreach (Pair pair in Pairs())
            {
                if (pair.first || pair.second)
                    yield return pair;
            }
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            int N = 0;
            int count = 0;
            foreach (Pair pair in PairsWithM())
            {
                ++N;
                if (pair.first && pair.second)
                    ++count;
            }
            Console.WriteLine(N);
            Console.WriteLine(count);
            Console.WriteLine((double)count / N);
            Console.ReadKey();
        }
    }

Правда, остается вопрос о том, действительно ли модель правильно воспроизводит условия задачи? Я уверен, что правильно, но возражения принимаются

CSR>>Смоделировать этот вариант "из жизни" без искусственных ухищрения у меня не удается.
CSR>>Разве вариант, который я предлагал выше.

E>А чем тебе "Руслан и Женя" не нравятся?

Мне этот вариант кажется более красивым, чем исходная задача. Интересно, если какое-нибудь убедительное объяснение, что правильный ответ тут — 1/3, а не первое приходящее в голову 1/2?
(Для исходной формулировки мне понравилось объяснение с коробкАми

Автор: deniok
Дата: 23.05.08

)

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Пусть у нас есть четыре семейные двухдетные пары, и пол детей рапределился в точном соответствии с теорией вероятности — MM MD DM DD.
CSR>Мы провели опрос и получили следующие ответы, без информации в скобках.
CSR>1 Ивановы — Руслан и Женя ( Женя — мальчик)
CSR>2 Петровы — Руслан и Женя ( Женя — девочка)
CSR>3 Сидоровы — Света и Женя ( Женя — мальчик)
CSR>4 Абрамовичи — Света и Женя ( Женя — девочка)

CSR>Варианты 1 и 2 — в семье двое детей и один из них точно мальчик.
CSR>Вероятность М/Д — 1/2.
CSR>Варианты 3 и 4 — в семье может быть мальчик, а может и не быть.
CSR>Вероятность М/Д та же — 1/2.

CSR>Условию задачи
>>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?
CSR>не противоречит наличие вариантов 3 и 4.
CSR>Т.е. нас спрашивают о конкретной семье, выбранной из множества других нормальных семей, о которой мы ЗНАЕМ, что один ребенок — мальчик, но не запрещают НЕ ЗНАТЬ это о других семьях.

Я понимаю, что если начну возражать против приведенных рассуждений, то мы просто пойдем на очередной круг обсуждения, поэтому я не буду этого делать.

Вместо этого хочу попробовать зайти с другой стороны. Как известно, традиционный подход к решению задач заключается в том, чтобы, имея условие, получить решение. А давайте попробуем сделать наоборот: имея решение, сформулировать условие. Точнее переформулировать, потому, что не хотелось бы получить задачу с условием не узнаваемо далеким от исходного.

Итак, что мы имеем:
1. Вероятность рождения мальчика и вероятности рождения девочки равны 1/2 и не зависят от того, какого пола дети уже имеются в семье.
2. Как следствие, вероятности сочетания полов детей в любой двухдетной семье имеют следующие значения: P(MM) = P(MD) = P(DM) = P(DD) = 1/4.

Требуется сформулировать событие X, вероятность которого вычисляется по формуле: P(X) = P(MM) / ( P(MM) + P(MD) + P(DM) )

Возможно ли это?

Ну и в дополнение хочу привести ссылку на статью, в которой разбирается похожая задача, возможно, статья окажется более убедительной.

Здравствуйте, ausergiy, Вы писали:

A>Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>>И что? Это условие и должно быть наложено на равновозможные итоги случайного эксперимента: ММ, ДМ, МД и ДД. Если бы тебе сообщили, что старший — мальчик, или про вошедшего мальчика сказали бы: "это наш сын", то твои рассуждения были бы верны. Но в условии задачи меньше информации: сообщается лишь что мальчик в семье есть. Это не позволяет нам разрезать задачу на две тривиальные подзадачи — нет критерия выделения первого элемента пары и второго.

A>можно рассмотреть аналогичную задачу. В коробке два шара: они могут быть равновероятно окрашены в белый и черный цвет. Вынимаем один шар — он черный.

Нет, неправильно. Это не аналогичная задача. Читай внимательно, я выше писал, что если сообщать, что один конкретный из двух мальчик (в терминах твоей модели: вынимать шар и обнаруживать, что он черный) — то 1/2. А сообщение, что один из детей мальчик, без конкретизации какой, несет меньше информации и приводит к ответу 1/3.

A>Если это не убедило, можно взять пример человека который бросает монетку два раза. Один раз выпал орел. Какова вероятность что второй раз выпадет орел? Логично предположить что тоже 0,5. Так как вероятность события не зависит от предшевствующих опытов.

Меня не надо убеждать, ты оба раза моделируешь не ту задачу. Давай смоделируем в точности ту, которая дана в условии, и исследуем статистику. Возьми 100 коробков, положи в них по 2 монетки и потряси каждый. У тебя будет приблизительно 25 коробков ОрелОрел (моделирует, допустим, ММ), 25 РешкаРешка (моделирует ДД) и 50 ОрелРешка. Условие наличия мальчика в семье сокращает генеральную совокупность до 75 (заранее известно, что наш коробок не входит в число тех 25-ти, где лежит РешкаРешка). Из этих 75-ти в 25 лежит ОрелОрел (оба мальчики). 1/3.

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>>Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>>>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?


D>>Без условия "если хотя бы один из них точно мальчик" было бы 4 равновозможных варианта:
D>>ММ МД ДМ ДД
D>>С условием остается 3:
D>>ММ МД ДМ
D>>Благоприятствует по-прежнему одно (ММ).

D>>1/3.

MF>Правильный ответ 1/2.
MF>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

Если считать, что МД и ДМ — это одно и тоже, то рассуждения должны быть такими:
Если известно, что в семье два ребенка и боьше ничего не сказано, то распределение вероятностей выглядит следующим образом:
МД — 1/2
ММ — 1/4
ДД — 1/4
Надеюсь, это не вызывает возражений.

Теперь добавляем условие: "один из детей мальчик". Тем самым мы отсекли вариант ДД. Но соотношение вероятностей оставшихся двух вариантов — МД и ММ — не должны от этого поменяться и первоначальное соотношение 2:1 должно сохраниться. Таким образом распределение вероятностей, описанное полным условием задачи будет таким:
МД — 2/3
ММ — 1/3
Собственно последнее выражение и является ответом задачи: 1/3

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>Окей, переформулируем вопрос.

При этом получится другая задача (см. ниже)

MF>Какова вероятность, что ребенок — мальчик?
MF>Один уже и так мальчик, а испытания независимые — на вероятность того, что второй мальчик не влияет.

В чём испытания (которые независимые) заключаются?

MF>Можешь взять монетку, побросать ее, пока не выпадеть орел (пусть это будет мальчик).
MF>В этот момент ты выполнишь условие "один из них — мальчик".
MF>Теперь побросай еще и увидишь, что второй мальчик выпадает с вероятностью 1/2.

Это модель эксперимента эквивалентного "В семье очень много детей. Перебираем их, пока не наткнёмся на мальчика. Какова веоятность, что следующий попавшийся — мальчик?"

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>>Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>>>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

VEA>>Занумерованы. Как Вы себе представляете ОДНОВРЕМЕННОЕ рождение 2-х детей (не сиамские близнецы)?

MF>В задаче сказано "_хотя бы_ один из них" — значит не занумерованы.
MF>Ты их пытааешься занумеровать, когда говоришь, что ДМ и МД — разные.
Они рождались в определенном порядке.
MF>Но ведь ДМ и МД — это и есть "хотя бы один из них — мальчик", поэтому они эквивалентны.

А Вы как сумму вероятностей находите?

Т.е. давайте так:
Р(Д+М) = 2*Р(М+М) = 2*Р(Д+Д)

Или как?

Здравствуйте, artelk, Вы писали:

A>Я, конечно, понимаю, что решать эту задачу "эксперементальным" путем не совсем правильно, но попробовал смоделировать и был очень удивлен, что действительно получается ~1/3 :

A>...

A>Правда, остается вопрос о том, действительно ли модель правильно воспроизводит условия задачи? Я уверен, что правильно, но возражения принимаются

Браво! На мой взгляд, модель полностью соответсвует условию задачи. Изначально имеется поток пар детей, сформированный в условиях равновероятного рождения мальчиков и девочек. Условие "хотя бы один мальчик" работает подобно фильтру, убирая из потока пары девочка-девочка.

Мне кажется, что спор возник в данной теме именно из-за разного понимания условия задачи. Если это так, то те, кто утверждал, что ответом этой задачи должно быть 1/2, должны так же и не согласиться с предложенной моделью. В таком случае, интересно было бы взглянуть на их модель.

Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?


Без условия "если хотя бы один из них точно мальчик" было бы 4 равновозможных варианта:
ММ МД ДМ ДД
С условием остается 3:
ММ МД ДМ
Благоприятствует по-прежнему одно (ММ).

1/3.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?
А сколько карт в колоде, есть ли джокеры?

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>При n, стремящемся к бесконечности:
R>

R>P -> 1/7
R>

ну понятно

W(Б*Б)=n*(n-1)
W(одна из них — бубна)=W(Б*что_угодно+Н*Б)=n*(4*n-1)+(3*n)*n

В знаменателе откидывается один из восьми вариантов (Н*Н)

AMR>женщина:
AMR> — хм.. ну как ? ну или встречу или нет!

В данном случае именно что не 50%.

Здравствуйте, deniok, Вы писали:



D>Это модель эксперимента эквивалентного "В семье очень много детей. Перебираем их, пока не наткнёмся на мальчика. Какова веоятность, что следующий попавшийся — мальчик?"

Все равно 1/2.
Вот если в семье 7 мальчиков, то вероятность, что следующий — мальчик уже не из области статистики.

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Здравствуйте, CSR, Вы писали:

VEA>Другая у Вас задача получается.

CSR>>На твой вопрос, — это первенец, друг отвечает с гордостью:
CSR>>"Нет это мой второй ребенок".
VEA>Вот именно такой информации в первоначальной задаче и нет...

Хорошо, другой вариант ответа.
Да, отвечает друг, это мой первый, но ожидаем второго.
Обратите внимание — ребенок еще не родился и никто не знает его пол.
Какова вероятность, что будет мальчик?
И как эта вероятность зависит от того, что мы знаем пол второго ребенка?

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Не так немного. В твоей трактовке условия задачи, знание о том, что один из детей мальчик оказывается лишним, т.к. оно никак не участвует в твоих выкладках и не влияет на ответ. Также никак не влияет на ответ знание о том, что детей двое. Таким образом, ты свел задачу к следующей формулировке:
А>

А>Какова вероятность того, что в семье родится мальчик.

Согласен. Но эта задача сама сводится к этому. Во всех предыдущих вариантах ответ один — 1/2.
Такова вероятность рождения мальчика.
С другой стороны и вероятность (ММ) 1/3 тоже имеет место. В чем прикол (или прокол)?
И в чем отличие в трактовках?
1."В семье два ребенка. Один из них точно мальчик".
2."В [моей] семье два ребенка. Один из них мальчик".

А>А особенность статистических задач как раз в том и заключается, что бы учесть *все* знания о ситуации, и с учетом этих знаний вычислить вероятности. Появление одного нового факта может изменить ответ кардинально, если его учитывать, конечно Например, добаление в задаче информации об очередности появления детей влияет на ответ.

Нет возражений. Теория вероятности имеет обширный математический аппарат и эта задача наверняка имеет четкое математическое решение. Я, к сожалению, не любитель математики. К примеру не могу обьяснить как из двух событий с равновероятными исходами (М-Д) получаются 3 варианта. Сумма вероятностей должна быть равна 1, у нас же один вариант, который вполне может получиться по сумме двух экспериментов куда-то исчезает.
Даже, если усложнить условие. Скажем ВСЕ родители договорились, что из двух первенцев один будет точно мальчик и делать аборт, если после рождения девочки ожидается опять девочка и количество детей ограничить строго двумя.
В таком случае вероятность ММ будет 1/3, P(M)=2/3 вместо 1/2, однако все равно эта фиксированная величина и не зависит от сестер и братьев.


А>Попробую дать альтернативную формулировку оригинальной задачи:
А>

А>Какова вероятность, что семья с двумя детьми, из которых один мальчик, принадлежит подмножеству семей, в которых оба ребенка мальчики.

Ну это гипотетический друг, конечно, вряд ли выговорит.

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Но интересно тут не это...
E>А вот то, что ты решил, что это аргумент в пользу 1/2, это вот интересно...

Даже сам не знаю, почему я так решил... показалось

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>Даже сам не знаю, почему я так решил... показалось
R>

Возможно вера твоя в вероятность 1/3 недостаточно крепка?

Здравствуйте, CSR, Вы писали:



>>DМеня не надо убеждать, ты оба раза моделируешь не ту задачу. Давай смоделируем в точности ту, которая дана в условии, и исследуем статистику. Возьми 100 коробков, положи в них по 2 монетки и потряси каждый. У тебя будет приблизительно 25 коробков ОрелОрел (моделирует, допустим, ММ), 25 РешкаРешка (моделирует ДД) и 50 ОрелРешка. Условие наличия мальчика в семье сокращает генеральную совокупность до 75 (заранее известно, что наш коробок не входит в число тех 25-ти, где лежит РешкаРешка). Из этих 75-ти в 25 лежит ОрелОрел (оба мальчики). 1/3.

CSR>Это тоже не та модель. По условию мы знаем, что в семье есть мальчик и не знаем ничего о поле другого ребенка.

Это, на самом деле, единственная адекватная действительности модель. Вся "вероятностность" в задаче базируется на единственном соображении: вероятность рождения мальчика равна 1/2 (и девочки тоже). Поскольку ребенка в семье два, то статистически семьи распределяются именно так, как описано в этой модели. Все дальнейшие вычисления (в том числе и накладывание условий типа 'в семье есть мальчик') стоит базировать именно на ней. Иначе результаты разойдутся с наблюдаемой статистикой, а мы же теорию вероятностей развиваем не для интеллектуальных упражнений, а для практических оценок, нес па?

CSR>Вы вытаскиваете из любой коробки монету — Орел! — узнаете, что есть мальчик.
CSR>Из другой коробки — Решка? — мальчик может быть, а может и не быть.Каким образом мы отделим семьи с двумя девочками?
CSR>И где тут вероятность 1/3?

E>>>А чем тебе "Руслан и Женя" не нравятся?

A>>Мне этот вариант кажется более красивым, чем исходная задача. Интересно, если какое-нибудь убедительное объяснение, что правильный ответ тут — 1/3, а не первое приходящее в голову 1/2?

А>Для безымянных детей вероятность 1/3, это несомненно. А вот для Руслана и Жени таки 1/2.

Мне вот тоже сначала так казалось Но потом я вынужден был признать, что постановка задачи с Русланом и Женей в точности эквивалентна постановке исходной задачи.
Тут, наверное, возникает путаница с другой задачей:
"В семье родился мальчик — Руслан. Какова вероятность, что родится ещё один мальчик?" (ответ — 1/2).
А у нас постановка вот какая:
"В семье родилось 2 ребёнка. Известно, что один из них — мальчик (Руслан). Какова вероятность, что второй ребёнок — тоже мальчик?" (ответ — 1/3).

Здравствуйте, andy1618, Вы писали:

A>"В семье родилось 2 ребёнка. Известно, что один из них — мальчик (Руслан). Какова вероятность, что второй ребёнок — тоже мальчик?" (ответ — 1/3).

Именование мальчика имеет значение . Раньше мы рассматривали множества семей с различной структурой детей. Теперь мы сужаем их до подмножеств, где мальчиков зовут Руслан. Но если для структур М+Д и Д+М у нас мальчик один, то для структуры М+М их двое, и каждый из них может зваться Русланом. Поэтому для этой структуры подмножество вдвое больше.

Вот и залогинился . Аноним 859 -- это я.

A>>Это генеральная совокупность, все 4 исхода равновероятны.

А>Неверно. В первом случае вероятность в два раза выше.

Уточняю: вероятность, что в семье два мальчика, разумеется, 1/4. А вот вероятность, что в семье два мальчика, одного из которых зовут Руслан, а другого Женя, в два раза выше, чем вероятность, что в семье старшего мальчика зовут Руслан, а младшую девочку Женя (М+Д), или наоборот, старшую девочку -- Женя, а младшего мальчика -- Руслан (Д+М).

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Ты всё время слегка меняешь вопросы в задаче, оставляя предыдущее решение. Твоя текущая модель подробно:

D>Вася Петя
D>Коля Оля
D>Дима Таня
//Галя Тоня - эту пару выкинули
D>

D>Вопросы: Сколько осталось мальчиков? Сколько из них имеют брата?
Осталось 4 мальчика — из них двое имеют брата, Вася(брат Петя), Петя(брат Вася),
двое — сестру, Коля и Дима. Вероятность иметь брата/сестру для каждого мальчика — 1/2.
Для девочек выбора нет, но не о них речь.
D>Мораль: вероятность для наудачу взятого мальчика иметь брата (сестру) и вероятность для второго ребенка быть мальчиком (девочкой) — не одно и то же.
Для меня это слишком сложно.
D>Что, вобщем, понятно; выше я как раз обращал внимание на необходимость точных формулировок.
Да я ведь и хочу точной формулировки задачи. Первоначальное условие допускает неоднозначное толкование и результат 1/3 получается только в том случае, если нам уже известен точный состав семей. Но это уже не вероятность, а статистика.

В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

50%. Нам уже известно, что один из них мальчик. Какой именно не важно.
Другой может быть или мальчиком или девочкой.

Считаем, что вероятность рождения мальчиков и девочек одинакова.

Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

1/3
А в чем прикол? Вспомнить формулу Байеса для условной вероятности?
Хотя некоторые слажали )

_>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

Еще одна зачада. Дополнительное условие — известно, что этот мальчик старший из двух детей.

Здравствуйте, vitaly_spb, Вы писали:

_>>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

_>Еще одна зачада. Дополнительное условие — известно, что этот мальчик старший из двух детей.

Тогда совсем другое дело

1/2

В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?
VEA>А сколько карт в колоде, есть ли джокеры?

Ах, да, это действительно важно. В колоде 32 карты — по 8 карт каждой масти. Больше ничего не известно.

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?
VEA>Пусть 36 карт, джокеров нет.

VEA>Различных пар — 36*35/2=630
VEA>Различных пар без бубн — 27*26/2=351
VEA>Различных пар только из бубн — 9*8/2=36

VEA>Итого, что вторая бубна = 36/(630-351)=36/279=4/31

Ожидалось, вообще-то для 32-х карт А вообще правильно, конечно.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

R>В прикупе 2 карты, одна из них — бубна. Какова вероятность, что вторая тоже бубна?

Интересный результат получается в пределе, когда число карт в колоде стремится к бесконечности.
Если обозначим n — количество карт каждой масти, вероятность того, что в прикупе две бубны, при условии, что одна из карт бубна:

P = (n - 1) / (7 * n - 1);

При n, стремящемся к бесконечности:

P -> 1/7

Здравствуйте, Nuzhny, Вы писали:

N>Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>>А сколько карт в колоде, есть ли джокеры?

N>Это преферанс
Я уже понял, просто мы же не отясаные только в штуку играем

Отвечу анекдотом:
Социолог задает вопрос прохожему мужчине:
-какова вероятность, выйдя на улицу встретить в городе динозавра
м:
-ээ. ничтожно мала, я бы сказал, меньше 10^-12
социолог задает тот же вопрос женщине, женщина отвечает:
-50%
социолог:
— почему 50?
женщина:
— хм.. ну как ? ну или встречу или нет!

Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:
_>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

Здравствуйте, vitaly_spb, Вы писали:

_>В данном случае именно что не 50%.
В данном случае почемуто все решатели этой задачи считают, что пол первого и второго ребёнка в семье статистически независимы... И при этом оба пола равновероятны...

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, vitaly_spb, Вы писали:

_>>В данном случае именно что не 50%.
E>В данном случае почемуто все решатели этой задачи считают, что пол первого и второго ребёнка в семье статистически независимы... И при этом оба пола равновероятны...

Не зависят, пока ни чего дополнительно не известно.
Почти равновероятны.

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Не зависят, пока ни чего дополнительно не известно.
VEA>Почти равновероятны.
VEA>

IMHO это неправда. Таки вероятности рождения таких или других детей существуют объективно, то что ты, я или кто-то ещё не в курсе, ещё не значит, что их нет.
Обычно у каждой конкретной пары есть сильный перевес в сторону детей одного пола. Правда сейчас рожают мало, так что проверить это утверждение трудно

Можешь, например, семью Николя II вспомнить

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>>Не зависят, пока ни чего дополнительно не известно.
VEA>>Почти равновероятны.
VEA>>

E>IMHO это неправда. Таки вероятности рождения таких или других детей существуют объективно, то что ты, я или кто-то ещё не в курсе, ещё не значит, что их нет.
Ну да.
E>Обычно у каждой конкретной пары есть сильный перевес в сторону детей одного пола. Правда сейчас рожают мало, так что проверить это утверждение трудно

М.б. NikeByNike проверит

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

D>>Без условия "если хотя бы один из них точно мальчик" было бы 4 равновозможных варианта:
D>>ММ МД ДМ ДД
D>>С условием остается 3:
D>>ММ МД ДМ
D>>Благоприятствует по-прежнему одно (ММ).

D>>1/3.

MF>Правильный ответ 1/2.
MF>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.



Побросай пару "незанумерованных" монеток. Не учитывай те результаты, где 2 решки, и посчитай относительную частоту пары орлов. Бросаний 50 должно хватить

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

Занумерованы. Как Вы себе представляете ОДНОВРЕМЕННОЕ рождение 2-х детей (не сиамские близнецы)?

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

VEA>Занумерованы. Как Вы себе представляете ОДНОВРЕМЕННОЕ рождение 2-х детей (не сиамские близнецы)?

В задаче сказано "_хотя бы_ один из них" — значит не занумерованы.
Ты их пытааешься занумеровать, когда говоришь, что ДМ и МД — разные.
Но ведь ДМ и МД — это и есть "хотя бы один из них — мальчик", поэтому они эквивалентны.

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

D>>>Без условия "если хотя бы один из них точно мальчик" было бы 4 равновозможных варианта:
D>>>ММ МД ДМ ДД
D>>>С условием остается 3:
D>>>ММ МД ДМ
D>>>Благоприятствует по-прежнему одно (ММ).

D>>>1/3.

MF>>Правильный ответ 1/2.
MF>>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

D>

D>Побросай пару "незанумерованных" монеток. Не учитывай те результаты, где 2 решки, и посчитай относительную частоту пары орлов. Бросаний 50 должно хватить

Окей, переформулируем вопрос.
Какова вероятность, что ребенок — мальчик?
Один уже и так мальчик, а испытания независимые — на вероятность того, что второй мальчик не влияет.
Можешь взять монетку, побросать ее, пока не выпадеть орел (пусть это будет мальчик).
В этот момент ты выполнишь условие "один из них — мальчик".
Теперь побросай еще и увидишь, что второй мальчик выпадает с вероятностью 1/2.

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>>Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

MF>>>МД и ДМ — это одно и то же, так как дети не занумерованы.

VEA>>Занумерованы. Как Вы себе представляете ОДНОВРЕМЕННОЕ рождение 2-х детей (не сиамские близнецы)?

MF>В задаче сказано "_хотя бы_ один из них" — значит не занумерованы.
MF>Ты их пытааешься занумеровать, когда говоришь, что ДМ и МД — разные.
Они рождались в определенном порядке.
MF>Но ведь ДМ и МД — это и есть "хотя бы один из них — мальчик", поэтому они эквивалентны.

А Вы как сумму вероятностей находите?

Т.е. давайте так:
Р(Д+М) = 2*Р(М+М) = 2*Р(Д+Д)

Или как?

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Т.е. давайте так:
VEA>Р(Д+М) = 2*Р(М+М) = 2*Р(Д+Д)

VEA>Или как?

Согласен.
Плюс поставил

Здравствуйте, kirilloid, Вы писали:

K>Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

K>1/3
K>А в чем прикол? Вспомнить формулу Байеса для условной вероятности?

прикол в том что по формуле Байеса как раз получается 0,5.
p(a/b) = p(b/a) * p(a) / p(b) = p (a и b) / p(b) * p(a) / p(b) = 0.25 / 0.5 * 0.5 / 0.5 = 0.5

Здравствуйте, ausergiy, Вы писали:

K>>1/3
K>>А в чем прикол? Вспомнить формулу Байеса для условной вероятности?

A>прикол в том что по формуле Байеса как раз получается 0,5.
A>p(a/b) = p(b/a) * p(a) / p(b) = p (a и b) / p(b) * p(a) / p(b) = 0.25 / 0.5 * 0.5 / 0.5 = 0.5

Байес ни при чем тут.
Обычная условная вероятность
P(A|B) =
P(A&B) / P(B) =
P(оба пацана & хотя бы один пацан) / P(хотя бы один пацан) =
P(оба пацана) / P(хотя бы один пацан) =
(1/4) / (3/4) =
1/3

Здравствуйте, MatFiz, Вы писали:

A>>прикол в том что по формуле Байеса как раз получается 0,5.
A>>p(a/b) = p(b/a) * p(a) / p(b) = p (a и b) / p(b) * p(a) / p(b) = 0.25 / 0.5 * 0.5 / 0.5 = 0.5

MF>Байес ни при чем тут.
MF>Обычная условная вероятность
MF>P(A|B) =
MF>P(A&B) / P(B) =
MF>P(оба пацана & хотя бы один пацан) / P(хотя бы один пацан) =
MF>P(оба пацана) / P(хотя бы один пацан) =
MF>(1/4) / (3/4) =
MF>1/3

Байенс тут действительно ни при чем. Эта теорема для определения вероятности событий с изестной историей и сюда она просто притянута за уши. Так же как, кстати, и условная вероятность.
Имхо жизнь сложна и упрощать ее не стоит :
1. вероятность двух событий равно произведению вероятностей этих событий
P(ММ) = P1(М) * P2(М)
2. поскольку один ребенок — мальчик P1 = 1
3. вероятность рождения второго мальчика P2 = 0.5
4. итого: P(ММ) = 1 * 0.5 = 0.5

Никаких вариантов ММ ДМ МД ДД в этой задаче нет. Откуда им взяться?
Есть варианты М и Д.

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Байенс тут действительно ни при чем. Эта теорема для определения вероятности событий с изестной историей и сюда она просто притянута за уши. Так же как, кстати, и условная вероятность.

Оговорка в условии ", если хотя бы один из них точно мальчик" не оставляет нам шанса обойтись без условной вероятности, поскольку накладывает на семью с двумя детьми дополнительное условие.

CSR>Имхо жизнь сложна и упрощать ее не стоит :
CSR>1. вероятность двух событий равно произведению вероятностей этих событий
CSR> P(ММ) = P1(М) * P2(М)
CSR>2. поскольку один ребенок — мальчик P1 = 1

В этом моменте ты либо привлек условную вероятность, либо доказал, что 1/2=1

CSR>3. вероятность рождения второго мальчика P2 = 0.5
CSR>4. итого: P(ММ) = 1 * 0.5 = 0.5

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Оговорка в условии ", если хотя бы один из них точно мальчик" не оставляет нам шанса обойтись без условной вероятности, поскольку накладывает на семью с двумя детьми дополнительное условие.

D>В этом моменте ты либо привлек условную вероятность, либо доказал, что 1/2=1

Условная вероятность касается событий, которые зависят друг от друга. Пол ребенка, абсолютно не зависит от пола других детей в семье. Поэтому дополнительное условие означает только, что одно событие (М) имеет 100% вероятность. При этом неважно первое это событие или второе — от перестановки сомножителей произведение не меняется.
Даже в том случае, если вероятность рождения мальчика в конкретном случае отличается по каким-либо причинам от 0.5, она все равно не изменится от того сколько у него братьев и сестер, а имеет другую природу.

В случае с картами — другое дело. Одна карта не может быть сдана дважды, поэтому в этом случае условная вероятность вполне применима.

итого: P(ММ) = 1 * 0.5 = 0.5 * 1 = 0.5

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>>Оговорка в условии ", если хотя бы один из них точно мальчик" не оставляет нам шанса обойтись без условной вероятности, поскольку накладывает на семью с двумя детьми дополнительное условие.

D>>В этом моменте ты либо привлек условную вероятность, либо доказал, что 1/2=1

CSR>Условная вероятность касается событий, которые зависят друг от друга. Пол ребенка, абсолютно не зависит от пола других детей в семье. Поэтому дополнительное условие означает только, что одно событие (М) имеет 100% вероятность.

И что? Это условие и должно быть наложено на равновозможные итоги случайного эксперимента: ММ, ДМ, МД и ДД. Если бы тебе сообщили, что старший — мальчик, или про вошедшего мальчика сказали бы: "это наш сын", то твои рассуждения были бы верны. Но в условии задачи меньше информации: сообщается лишь что мальчик в семье есть. Это не позволяет нам разрезать задачу на две тривиальные подзадачи — нет критерия выделения первого элемента пары и второго.

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>И что? Это условие и должно быть наложено на равновозможные итоги случайного эксперимента: ММ, ДМ, МД и ДД. Если бы тебе сообщили, что старший — мальчик, или про вошедшего мальчика сказали бы: "это наш сын", то твои рассуждения были бы верны. Но в условии задачи меньше информации: сообщается лишь что мальчик в семье есть. Это не позволяет нам разрезать задачу на две тривиальные подзадачи — нет критерия выделения первого элемента пары и второго.

можно рассмотреть аналогичную задачу. В коробке два шара: они могут быть равновероятно окрашены в белый и черный цвет. Вынимаем один шар — он черный. Какое это возымело воздействие на оставшийся шар? Ровным счетом никакого — значит и вероятность что оставшийся шар тоже черный — 0,5.
Если это не убедило, можно взять пример человека который бросает монетку два раза. Один раз выпал орел. Какова вероятность что второй раз выпадет орел? Логично предположить что тоже 0,5. Так как вероятность события не зависит от предшевствующих опытов.

Здравствуйте, ausergiy, Вы писали:

A>можно рассмотреть аналогичную задачу. В коробке два шара: они могут быть равновероятно окрашены в белый и черный цвет. Вынимаем один шар — он черный.
Вот именно, что мы мальчика "не вынемаем из семьи".
A> Какое это возымело воздействие на оставшийся шар? Ровным счетом никакого — значит и вероятность что оставшийся шар тоже черный — 0,5.
В коробке два шара, один из них чёрный. Какова вероятность, что и второй.
A>Если это не убедило, можно взять пример человека который бросает монетку два раза. Один раз выпал орел. Какова вероятность что второй раз выпадет орел? Логично предположить что тоже 0,5.
Вот именно, что дети уже "брошены" и один из них оказался мальчиком.
A> Так как вероятность события не зависит от предшевствующих опытов.
Человек бросил 2 раза монетку, 100% известно, что орел выпадал. Какова вероятность, что орел выпадал 2 раза?

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>И что? Это условие и должно быть наложено на равновозможные итоги случайного эксперимента: ММ, ДМ, МД и ДД. Если бы тебе сообщили, что старший — мальчик, или про вошедшего мальчика сказали бы: "это наш сын", то твои рассуждения были бы верны. Но в условии задачи меньше информации: сообщается лишь что мальчик в семье есть. Это не позволяет нам разрезать задачу на две тривиальные подзадачи — нет критерия выделения первого элемента пары и второго.

deniok, по условиям задачи мы находимся в тот период времени, когда первое событие уже произошло.
И событие это — не рождение ребенка, а информация о том, что в семье есть мальчик.
Второй ребенок может быть мальчиком или девочкой.Он может быть старшим в семье или младшим — это не имеет значение.
Дети уже родились. Мы не влияли на это никак и даже не наблюдали за процессом.
Давай смоделируем ситуацию по мотивам задачи.
Ты идешь по улице и встречаещь однокашника, которого не видел очень давно.
У него на руках прелестный мальчуган.
На твой вопрос, — это первенец, друг отвечает с гордостью:
"Нет это мой второй ребенок".
Ты задаешь вопрос,- "Второй тоже мальчик?"
Сколько вариантов ответа ты можешь услышать? Если три, то который третий?

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

Другая у Вас задача получается.
CSR>Давай смоделируем ситуацию по мотивам задачи.
CSR>Ты идешь по улице и встречаещь однокашника, которого не видел очень давно.
CSR>У него на руках прелестный мальчуган.
CSR>На твой вопрос, — это первенец, друг отвечает с гордостью:
CSR>"Нет это мой второй ребенок".
Вот именно такой информации в первоначальной задаче и нет...
CSR>Ты задаешь вопрос,- "Второй тоже мальчик?"
CSR>Сколько вариантов ответа ты можешь услышать? Если три, то который третий?

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Давай смоделируем ситуацию по мотивам задачи.
CSR>Ты идешь по улице и встречаещь однокашника, которого не видел очень давно.
CSR>У него на руках прелестный мальчуган.
CSR>На твой вопрос, — это первенец, друг отвечает с гордостью:
CSR>"Нет это мой второй ребенок".
CSR>Ты задаешь вопрос,- "Второй тоже мальчик?"
CSR>Сколько вариантов ответа ты можешь услышать? Если три, то который третий?

В этой новой задаче ответ 1/2. А в исходной 1/3, потому что сообщается не то, что конкретный ребенок мальчик, а абстрактная информация, что среди двух есть мальчик. Наличие среди двоих детей мальчика — свойство именно пары детей, а не отдельного ребенка. В случае, если мальчика два, сообщающий может и не подразумевать конкретного ребенка.

Здравствуйте, <Аноним>, Вы писали:

А>Хорошо, другой вариант ответа.
А>Да, отвечает друг, это мой первый, но ожидаем второго.
Опять же, в изначальной задаче не было известно первый или второй.
А>Обратите внимание — ребенок еще не родился и никто не знает его пол.
А>Какова вероятность, что будет мальчик?
1/2
А>И как эта вероятность зависит от того, что мы знаем пол второго ребенка?
не зависет.

Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

VEA>Здравствуйте, <Аноним>, Вы писали:

А>>Хорошо, другой вариант ответа.
А>>Да, отвечает друг, это мой первый, но ожидаем второго.
VEA>Опять же, в изначальной задаче не было известно первый или второй.
А>>Обратите внимание — ребенок еще не родился и никто не знает его пол.
А>>Какова вероятность, что будет мальчик?
VEA>1/2
А>>И как эта вероятность зависит от того, что мы знаем пол второго ребенка?
VEA>не зависет.

Интересно, чем изначальная задача отличается от этих вариантов?
В конце концов может быть и такой вариант:
ты спрашиваешь у друга есть ли у него дети и он отвечает: "Да двое и один из них точно мальчик".
Вероятность того, что второй мальчик — 1/2.
С другой стороны, ты знаешь, что среди двухдетных семей с мальчиками два мальчика — у каждой третьей семьи. Тогда вероятность 1/3.

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Интересно, чем изначальная задача отличается от этих вариантов?
В изначальной известно, что ребенка 2 и один из них точно мальчик, но не известно какой.
CSR>В конце концов может быть и такой вариант:
CSR>ты спрашиваешь у друга есть ли у него дети и он отвечает: "Да двое и один из них точно мальчик".
CSR>Вероятность того, что второй мальчик — 1/2.
Нет, 1/3.
CSR>С другой стороны, ты знаешь, что среди двухдетных семей с мальчиками два мальчика — у каждой третьей семьи. Тогда вероятность 1/3.

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Здравствуйте, VEAPUK, Вы писали:

CSR>>>ты спрашиваешь у друга есть ли у него дети и он отвечает: "Да двое и один из них точно мальчик".
CSR>>>Вероятность того, что второй мальчик — 1/2.
VEA>>Нет, 1/3.
CSR>>>С другой стороны, ты знаешь, что среди двухдетных семей с мальчиками два мальчика — у каждой третьей семьи. Тогда вероятность 1/3.

E>IMHO все проблемы людей, которые пытаются смоделировать эту задачу путём задавания вопросов гипотетическому другу, и не могут придумать такой ответ, котрорый бы вменяемый друг мог дать, чтобы не упорядочить детей.

E>Вот ещё вариант, для любителей пофлемить:

--Дети есть?
E>-- Да! Руслан и Женя.

E>Какова вероятность, что Женя -- мальчик?

Еще одна наглядная иллюстрация, данная тобой же в соседней теме простая задачка

Автор: Erop
Дата: 24.05.08

, по смыслу очень близкой, кстати. В задаче про детей пары девочка-девочка отсеиваются по тому же принципу, по которому отбрасывались пары решка-решка в задаче про монеты. Более близко к жизни можно придумать что-то типа такого: в какую-то школу (акробатики, например) приводят пары детей с равновероятным распределением полов. Но принимают только те пары, где есть хотя бы один мальчик, а пары давочка-девочка отсеивают.

R>Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>>IMHO все проблемы людей, которые пытаются смоделировать эту задачу путём задавания вопросов гипотетическому другу, и не могут придумать такой ответ, котрорый бы вменяемый друг мог дать, чтобы не упорядочить детей.

Ну вот и другу досталось. Ему то за что?

E>>Вот ещё вариант, для любителей пофлемить:

--Дети есть?
E>>-- Да! Руслан и Женя.

E>>Какова вероятность, что Женя -- мальчик?

Известно какова:

R>Из утверждения "детей зовут Руслан и Женя" сразу сделаем вывод, что один ребенок мальчик, а второй — не известно кто. Итак, имеем большую выборку семей с двумя детьми, в которых дети рождались с равновероятным распределением полов. 1/2 семей имеют детей разных полов, 1/4 — двух мальчиков и 1/4 — двух девочек. Число семей, где есть хотя бы один мальчик составляет 3/4 от общего числа семей и состоит на (1/4)/(3/4) = 1/3 из семей, в которых два мальчика и на (1/2)/(3/4) = 2/3 из семей, имеющих разнополых детей. Если про какую-то семью известно, что в ней есть хотя бы один мальчик, значит эта семья достоверно принадлежит к упомянутым трем четвертям семей, и с вероятностью 1/3 входит в число семей, где оба ребенка мальчики.

Т.е. (A|B) = P(A^B)/P(D) = 1/4 / 3/4 = 1/3

А вот если
> -Да! Руслан, Иван и Женя.
Тогда, конечно, 1/7

> -Да! Руслан, Иван, Егор и Женя
— 1/15

> -Да! Женя.
— 1/2

Странный ребенок этот Женя — его пол зависит не от отца, как у всех детей, а от пола и количества других детей в семье.

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

R>>Из утверждения "детей зовут Руслан и Женя" сразу сделаем вывод, что один ребенок мальчик, а второй — не известно кто. Итак, имеем большую выборку семей с двумя детьми, в которых дети рождались с равновероятным распределением полов. 1/2 семей имеют детей разных полов, 1/4 — двух мальчиков и 1/4 — двух девочек. Число семей, где есть хотя бы один мальчик составляет 3/4 от общего числа семей и состоит на (1/4)/(3/4) = 1/3 из семей, в которых два мальчика и на (1/2)/(3/4) = 2/3 из семей, имеющих разнополых детей. Если про какую-то семью известно, что в ней есть хотя бы один мальчик, значит эта семья достоверно принадлежит к упомянутым трем четвертям семей, и с вероятностью 1/3 входит в число семей, где оба ребенка мальчики.

CSR>Т.е. (A|B) = P(A^B)/P(D) = 1/4 / 3/4 = 1/3

CSR>А вот если
>> -Да! Руслан, Иван и Женя.
CSR>Тогда, конечно, 1/7

>> -Да! Руслан, Иван, Егор и Женя
CSR>- 1/15

>> -Да! Женя.
CSR>- 1/2

CSR>Странный ребенок этот Женя — его пол зависит не от отца, как у всех детей, а от пола и количества других детей в семье.

Не так немного. В твоей трактовке условия задачи, знание о том, что один из детей мальчик оказывается лишним, т.к. оно никак не участвует в твоих выкладках и не влияет на ответ. Также никак не влияет на ответ знание о том, что детей двое. Таким образом, ты свел задачу к следующей формулировке:

Какова вероятность того, что в семье родится мальчик.

А особенность статистических задач как раз в том и заключается, что бы учесть *все* знания о ситуации, и с учетом этих знаний вычислить вероятности. Появление одного нового факта может изменить ответ кардинально, если его учитывать, конечно Например, добаление в задаче информации об очередности появления детей влияет на ответ.

Попробую дать альтернативную формулировку оригинальной задачи:

Какова вероятность, что семья с двумя детьми, из которых один мальчик, принадлежит подмножеству семей, в которых оба ребенка мальчики.

Подразумевается, что вероятность рождения детей разных полов равновероятна. Это абсолютно эквивалентная формулировка, но, как мне кажется, более наглядная и иллюстративная.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, CSR, Вы писали:

Это был мой пост. Забыл залогиниться.

Здравствуйте, rg45, Вы писали:

E>>Вот ещё вариант, для любителей пофлемить:

--Дети есть?
E>>-- Да! Руслан и Женя.

E>>Какова вероятность, что Женя -- мальчик?

R>Еще одна наглядная иллюстрация, данная тобой же в соседней теме простая задачка

Автор: Erop
Дата: 24.05.08

, по смыслу очень близкой, кстати. В задаче про детей пары девочка-девочка отсеиваются по тому же принципу, по которому отбрасывались пары решка-решка в задаче про монеты. Более близко к жизни можно придумать что-то типа такого: в какую-то школу (акробатики, например) приводят пары детей с равновероятным распределением полов. Но принимают только те пары, где есть хотя бы один мальчик, а пары давочка-девочка отсеивают.

А я и считаю, что 1/3...
Просто такой вопрос задавать корректнее. IMHO
Но интересно тут не это...
А вот то, что ты решил, что это аргумент в пользу 1/2, это вот интересно...

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Смоделировать этот вариант "из жизни" без искусственных ухищрения у меня не удается.
CSR>Разве вариант, который я предлагал выше.

А чем тебе "Руслан и Женя" не нравятся?

A>>Правда, остается вопрос о том, действительно ли модель правильно воспроизводит условия задачи? Я уверен, что правильно, но возражения принимаются

R>Браво! На мой взгляд, модель полностью соответсвует условию задачи. Изначально имеется поток пар детей, сформированный в условиях равновероятного рождения мальчиков и девочек. Условие "хотя бы один мальчик" работает подобно фильтру, убирая из потока пары девочка-девочка.

R>Мне кажется, что спор возник в данной теме именно из-за разного понимания условия задачи.
Согласен
R>Если это так, то те, кто утверждал, что ответом этой задачи должно быть 1/2, должны так же и не согласиться с предложенной моделью.
Да не соглашусь.
R>В таком случае, интересно было бы взглянуть на их модель.
Может быть мое понимание условия задачи будет ясно без матмодели.
Каюсь, я никогда не любил математику и она платила мне взаимностью.
Известно, что с помощью математики можно доказать все что угодно:
-что бегун никогда не догонит черепаху;
-что шмель не может летать;
........
-что пол ребенка зависит от пола и количества сестер и братьев.
Эта задача IMHO из разряда математических приколов.
Итак:
Пусть у нас есть четыре семейные двухдетные пары, и пол детей рапределился в точном соответствии с теорией вероятности — MM MD DM DD.
Мы провели опрос и получили следующие ответы, без информации в скобках.
1 Ивановы — Руслан и Женя ( Женя — мальчик)
2 Петровы — Руслан и Женя ( Женя — девочка)
3 Сидоровы — Света и Женя ( Женя — мальчик)
4 Абрамовичи — Света и Женя ( Женя — девочка)

Варианты 1 и 2 — в семье двое детей и один из них точно мальчик.
Вероятность М/Д — 1/2.
Варианты 3 и 4 — в семье может быть мальчик, а может и не быть.
Вероятность М/Д та же — 1/2.

Условию задачи
>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?
не противоречит наличие вариантов 3 и 4.
Т.е. нас спрашивают о конкретной семье, выбранной из множества других нормальных семей, о которой мы ЗНАЕМ, что один ребенок — мальчик, но не запрещают НЕ ЗНАТЬ это о других семьях.

Здравствуйте, andy1618, Вы писали:

A>Мне этот вариант кажется более красивым, чем исходная задача. Интересно, если какое-нибудь убедительное объяснение, что правильный ответ тут — 1/3, а не первое приходящее в голову 1/2?
A>(Для исходной формулировки мне понравилось объяснение с коробкАми

Автор: deniok
Дата: 23.05.08

)

>DМеня не надо убеждать, ты оба раза моделируешь не ту задачу. Давай смоделируем в точности ту, которая дана в условии, и исследуем статистику. Возьми 100 коробков, положи в них по 2 монетки и потряси каждый. У тебя будет приблизительно 25 коробков ОрелОрел (моделирует, допустим, ММ), 25 РешкаРешка (моделирует ДД) и 50 ОрелРешка. Условие наличия мальчика в семье сокращает генеральную совокупность до 75 (заранее известно, что наш коробок не входит в число тех 25-ти, где лежит РешкаРешка). Из этих 75-ти в 25 лежит ОрелОрел (оба мальчики). 1/3.

Это тоже не та модель. По условию мы знаем, что в семье есть мальчик и не знаем ничего о поле другого ребенка.
Вы вытаскиваете из любой коробки монету — Орел! — узнаете, что есть мальчик.
Из другой коробки — Решка? — мальчик может быть, а может и не быть.Каким образом мы отделим семьи с двумя девочками?
И где тут вероятность 1/3?

E>>А чем тебе "Руслан и Женя" не нравятся?

A>Мне этот вариант кажется более красивым, чем исходная задача. Интересно, если какое-нибудь убедительное объяснение, что правильный ответ тут — 1/3, а не первое приходящее в голову 1/2?

Для безымянных детей вероятность 1/3, это несомненно. А вот для Руслана и Жени таки 1/2. В первом случае у нас неразличимые мальчики, во втором случае присутствует дополнительная информация об имени.
На множествах: для множества М+Д нас интересует только подмножество М(Руслан)+Д(Женя). Пусть вероятность, что мальчика назовут Руслан, равна a, вероятность, что мальчика назовут Женя, равна b, а вероятность, что девочку назовут Женя, равна c. Тогда интересующее нас подмножество встретится с вероятностью (2/3)ac (учитываем М+Д и Д+М).
Для множества М+М подмножество (М(Руслан)+М(Женя))^(М(Женя)+М(Руслан)) встретится с вероятностью (2/3)ab.
((2/3)ab)/((2/3)(ab+ac))=b/(b+c). Если считать b=c, искомая вероятность 1/2.

Здравствуйте, andy1618, Вы писали:

A>Мне вот тоже сначала так казалось Но потом я вынужден был признать, что постановка задачи с Русланом и Женей в точности эквивалентна постановке исходной задачи.

Не-а. Путаницы не возникает. Для Руслана и Жени ответ 1/2 в обоих случаях. Штука в том, что мы рассматриваем не пару М+М, а две пары: М(Руслан)+М(Женя) и М(Женя)+М(Руслан). В исходной постановке задачи мы учитываем два варианта М+Д и Д+М и вот эти два варианта М+М. Если задачу переформулировать как "...Руслан-первенец и Женя", то мы станем учитывать только вариант М(Руслан)+М(Женя), но тогда и только один вариант М+Д.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Не-а. Путаницы не возникает. Для Руслана и Жени ответ 1/2 в обоих случаях. Штука в том, что мы рассматриваем не пару М+М, а две пары: М(Руслан)+М(Женя) и М(Женя)+М(Руслан). В исходной постановке задачи мы учитываем два варианта М+Д и Д+М и вот эти два варианта М+М. Если задачу переформулировать как "...Руслан-первенец и Женя", то мы станем учитывать только вариант М(Руслан)+М(Женя), но тогда и только один вариант М+Д.

Вообще-то вероятность рождения мальчика 1/2, а не обнаружения мальчика в ребёнке.
Так как кто там за кем рожался не известно, то и нет такой связи. Вероятность таки 1/3
Либо продемонстрируй связь вероятность рождаения мольчика и этой задачи, из которой следует ответ 1/2...

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

E>Вообще-то вероятность рождения мальчика 1/2, а не обнаружения мальчика в ребёнке.
E>Так как кто там за кем рожался не известно, то и нет такой связи. Вероятность таки 1/3
E>Либо продемонстрируй связь вероятность рождаения мольчика и этой задачи, из которой следует ответ 1/2...

Извини, не понял .
Я и говорю, что так как кто за кем рожался, неизвестно, следовательно, нужно рассматривать оба варианта: и М(Руслан)+М(Женя), и М(Женя)+М(Руслан).
Вероятность рождения мальчика равна вероятности обнаружить мальчика в наугад взятом ребенке. Но в этой задаче также существенна вероятность обнаружить, что этого мальчика зовут Руслан (или Женя). Посмотри мой первый пост, там интересующая тебя связь как раз описана.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Именование мальчика имеет значение

Очень интересно слышать такие заявления от Анонима


Мне кажется, задачу про Руслана и Женю можно решить "на пальцах" примерно так:
Возьмём 4 равновероятных семьи с двумя детьми, причём в этих семьях любят давать детям имена Руслан и Женя (мальчик/девочка).
Семья1: М+М — Руслан + ЖеняМ
Семья2: М+Д — Руслан + ЖеняД
Семья3: Д+М — ЖеняД + Руслан
Семья4: Д+Д — ЖеняД + Василиса

Это генеральная совокупность, все 4 исхода равновероятны.
Теперь отфильтровываем подходящие под условие задачи ("Руслан и Женя") варианты. Получаем семьи: 1, 2, 3. Из них только в первой семье Женя — мальчик, т.е. вероятность — 1/3.

Кстати, вот тут

Автор: rg45
Дата: 21.06.08

привели ссылку на статью, где рассматривается подобная задача (про семью Ивановых).

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, Erop, Вы писали:

А>Вероятность рождения мальчика равна вероятности обнаружить мальчика в наугад взятом ребенке.
IMHO этот тезис требует обоснования. Как только ты заявляешь, что любой ребёнок неизвестного пола с вероятностью 0.5 мальчик, дальше можно ничего больше не решать

Кроме того я всё-таки считаю, что сначала дети рождаются, а потом, с учётом их пола, их называют. У тебя аксиоматика такая, что 0.5 -- это именно вероятность рождения мальчика в каких-то конкретных родах. А фокусы с именами обозначают только то, что отбирают ситуации которые могли быть в принципе среди остальных.

Здравствуйте, Erop, Вы писали:

А>>Вероятность рождения мальчика равна вероятности обнаружить мальчика в наугад взятом ребенке.
E>IMHO этот тезис требует обоснования. Как только ты заявляешь, что любой ребёнок неизвестного пола с вероятностью 0.5 мальчик, дальше можно ничего больше не решать

Я заинтригован . А какова, по-твоему, вероятность, что наугад взятый ребенок -- мальчик?

E>Кроме того я всё-таки считаю, что сначала дети рождаются, а потом, с учётом их пола, их называют. У тебя аксиоматика такая, что 0.5 -- это именно вероятность рождения мальчика в каких-то конкретных родах. А фокусы с именами обозначают только то, что отбирают ситуации которые могли быть в принципе среди остальных.

Я тоже считаю, что дети сначала рождаются, а потом их называют. Именно так я и рассуждал. Я рассмотрел три уже известные нам группы семей (М+Д, Д+М, М+М), и уже в них вычислял вероятность найти Руслана или Женю. А фокус с именами именно в том, что в последней из этих групп такая вероятность в два раза больше.

Здравствуйте, deniok, Вы писали:

D>Это, на самом деле, единственная адекватная действительности модель. Вся "вероятностность" в задаче базируется на единственном соображении: вероятность рождения мальчика равна 1/2 (и девочки тоже). Поскольку ребенка в семье два, то статистически семьи распределяются именно так, как описано в этой модели. Все дальнейшие вычисления (в том числе и накладывание условий типа 'в семье есть мальчик') стоит базировать именно на ней. Иначе результаты разойдутся с наблюдаемой статистикой, а мы же теорию вероятностей развиваем не для интеллектуальных упражнений, а для практических оценок, нес па?

Ну не думаю, что все иак серьезно. Этюды — гимнастика для ума, ничего более. Это вам любой шахматист скажет.Вообще условная вероятность — скользкая вещь и имеет неоднозначное толкование даже среди математиков, особенно в части практических приложений.
В нашем случае имеем 4 пары ММ МД ДМ ДД — 8 детей, из них 4 мальчика и 4 девочки.
два мальчика имеют брата, еще двое — сестру
две девочки имеют брата, две других — сестру.
убираем пару ДД, получаем:
для мальчиков — абсолютно ничего не изменилось — двое имеют брата, двое — сестру, но вероятность иметь брата снижается с 1/2 до 1/3.
количество девочек уменьшается вдвое, но вероятность для мальчика заиметь сестру возрастает с 1/2 до 2/3.
?

Здравствуйте, CSR, Вы писали:

CSR>Ну не думаю, что все иак серьезно. Этюды — гимнастика для ума, ничего более. Это вам любой шахматист скажет.Вообще условная вероятность — скользкая вещь и имеет неоднозначное толкование даже среди математиков, особенно в части практических приложений.

Не вижу ничего скользкого в условной вероятности; в обсуждаемом классе задач (классическая вероятность) ее определение абсолютно однозначно. Другое дело, что требуется точно формулировать, в чём заключается случайный эксперимент, и какое случайное событие мы хотим наблюдать. А этюды, конечно, гимнастика для ума, но результатом этой гимнастики должно быть обоснованное решение, а не раздача всем сестрам по серьгам: и ты прав, и ты, и ты

CSR>В нашем случае имеем 4 пары ММ МД ДМ ДД — 8 детей, из них 4 мальчика и 4 девочки.
CSR> два мальчика имеют брата, еще двое — сестру
CSR> две девочки имеют брата, две других — сестру.
CSR>убираем пару ДД, получаем:
CSR>для мальчиков — абсолютно ничего не изменилось — двое имеют брата, двое — сестру, но вероятность иметь брата снижается с 1/2 до 1/3.

Это почему это? Ты всё время слегка меняешь вопросы в задаче, оставляя предыдущее решение. Твоя текущая модель подробно:

Вася Петя
Коля Оля
Дима Таня
//Галя Тоня - эту пару выкинули

Вопросы: Сколько осталось мальчиков? Сколько из них имеют брата?

CSR>количество девочек уменьшается вдвое, но вероятность для мальчика заиметь сестру возрастает с 1/2 до 2/3.

Аналогично

Мораль: вероятность для наудачу взятого мальчика иметь брата (сестру) и вероятность для второго ребенка быть мальчиком (девочкой) — не одно и то же. Что, вобщем, понятно; выше я как раз обращал внимание на необходимость точных формулировок.

Здравствуйте, russian_bear, Вы писали:

_>В семье 2 ребенка. Какая вероятность того, что оба ребенка мальчики, если хотя бы один из них точно мальчик?

Хмм, сочувствую тем, кто до сих пор считает, что ответ 1/2, после стольких попыток разжевывания на простых примерах.